El problema de Monty Hall

Un coche y algunas cabras tras puertas cerradas. Elige una puerta, deja que el presentador abra otras y decide si cambias. La página calcula la probabilidad detrás de cada puerta a partir de la regla del presentador y lo que hizo. También juega miles de partidas para comprobarlo o te permite jugar a ti mismo. La tabla inferior desgrana las matemáticas.

Ejemplo resuelto — El problema de Monty Hall

A priori, cada puerta	1/3
Verosimilitud, Puerta 1 · tu elección	1/2
Verosimilitud, Puerta 2 · cerrada	1
Verosimilitud, Puerta 3 · abierta	0 · cabra mostrada
Evidencia	1/2
A posteriori, Puerta 1 · tu elección	1/3
A posteriori, Puerta 2 · cerrada	2/3
A posteriori, Puerta 3 · abierta	0

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El problema de Monty Hall

La probabilidad de que el coche esté detrás de una puerta concreta tras la actuación del presentador se deriva del teorema de Bayes. Es la probabilidad a priori para esa puerta, 1 ÷ n, multiplicada por la verosimilitud de que el presentador hiciese exactamente lo que hizo si el coche estuviera allí, dividida entre la probabilidad total de su movimiento. La regla del presentador determina las verosimilitudes, de ahí que las mismas puertas abiertas puedan arrojar respuestas distintas bajo reglas diferentes. Con el presentador estándar, que sabe dónde está el coche y siempre abre k puertas con cabras elegidas al azar entre las disponibles, quedarse gana con probabilidad 1 ÷ n sin importar qué puertas abra.

Qué significa cada símbolo

n: el número de puertas
k: el número de puertas que abre el presentador
P(H | C_i): la verosimilitud: la probabilidad de que el presentador haga lo que hizo si el coche está en la puerta i
P(C_i | H): la probabilidad a posteriori: la probabilidad de que el coche esté en la puerta i tras ver qué hizo el presentador

Cambiar gana dos de cada tres veces 🖖

Pulsa Tres puertas. Eliges la puerta 1, que tiene una probabilidad entre tres de esconder el coche. Nada de lo que haga este presentador puede cambiarlo. Abriría la puerta 3 la mitad de las veces si el coche estuviera en tu puerta, y cuando puede elegir, lo hace al azar, así que su movimiento no aporta nueva información sobre la puerta 1. Abre la puerta 3 y muestra una cabra. Los dos tercios de probabilidad de que el coche estuviera en la puerta 2 o en la 3 recaen ahora en exclusiva sobre la puerta 2, así que cambiar gana 2 veces de cada 3. Pulsa 100 puertas y resulta evidente: elegiste una puerta entre cien, el presentador abre 98 de las demás para revelar cabras y la única puerta que deja cerrada es la que te conviene elegir, 99 veces de cada 100. En 1990 Marilyn vos Savant dio la solución de las tres puertas en su columna de Parade y recibió miles de cartas advirtiendo que se equivocaba, muchas de ellas firmadas por personas con doctorado.

La misma imagen da una respuesta distinta si el presentador no sabía 🖖

Pulsa Presentador que no sabe. Ves exactamente lo que veías antes: puerta 1 elegida, puerta 3 abierta, una cabra. Sin embargo, este presentador abrió una puerta al azar y por suerte no dio con el coche. Ahora tanto quedarse como cambiar ganan 1 vez de cada 2. La probabilidad depende de la regla que produjo lo que ves, no solo de lo que ves. Un presentador que sabe, que está obligado a mostrar una cabra y que elige al azar cuando puede, no te dice nada sobre tu propia puerta; toda la probabilidad que retira de la puerta 3 se traslada a la 2. Un presentador que abriese la puerta 3 al azar habría mostrado una cabra allí con la misma frecuencia con el coche en la puerta 1 que en la 2, de modo que esa cabra no favorece a ninguna de las opciones.

Qué puerta abre puede ser toda la respuesta 🖖

Pulsa Sesgado abre la 2. Este presentador siempre abre la puerta con la cabra del número más bajo posible. La puerta 2 es la que abriría tanto si el coche está en la 1 como en la 3, por lo que verla no inclina la balanza; quedarse y cambiar están a 1 de cada 2. Pulsa Sesgado abre la 3: pasó por alto la puerta 2, lo que solo haría si el coche estuviese en ella, así que cambiar gana todas las veces. Promediando las partidas, una probabilidad de la mitad dos tercios de las veces y una certeza un tercio de las veces, cambiar sigue ganando 2 veces de cada 3. El infierno de Monty es el presentador que ofrece cambiar solo cuando ya has encontrado el coche y, dada la oferta, cambiar siempre pierde.

Problema resuelto al detalle

Las tres puertas, por el teorema de Bayes 4 pasos
Eliges la puerta 1. El presentador, que sabe dónde está el coche y siempre abre una puerta con cabra, eligiendo al azar cuando tiene opciones, abre la puerta 3. Calcula la probabilidad de que el coche esté en la puerta 1 y en la puerta 2. Pulsa Tres puertas para comprobarlo.

Abre este problema en la herramienta
1. Antes de que actúe, todas las puertas tienen la misma probabilidad:
  
  $P (C_{1}) = P (C_{2}) = P (C_{3}) = \frac{1}{3}$
2. ¿Qué probabilidad hay de que abra la puerta 3 para cada lugar donde podría estar el coche?
  
  $P (H_{3} ∣ C_{1}) = \frac{1}{2}, P (H_{3} ∣ C_{2}) = 1, P (H_{3} ∣ C_{3}) = 0$
3. La probabilidad total de que abra la puerta 3:
  
  $P (H_{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 = \frac{1}{2}$
4. Divide la probabilidad a priori de cada puerta multiplicada por su verosimilitud entre ese total:
  
  $P (C_{1} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3}, P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{\frac{1}{3} \cdot 1}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$
Respuesta

El coche está en la puerta 1 con una probabilidad de 1/3 y en la puerta 2 con una probabilidad de 2/3. La respuesta completa se encuentra en el segundo paso: si el coche está en la puerta 2, se ve obligado a abrir la puerta 3; si está en la puerta 1, abre la puerta 3 solo la mitad de las veces. Su apertura de la puerta 3 es, por tanto, el doble de probable si el coche está en la puerta 2.

$P (C_{1} ∣ H_{3}) = \frac{1}{3}, P (C_{2} ∣ H_{3}) = \frac{2}{3}$

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.