Reynoldsi arv ja voolurežiim

Vali vedelik, kiirus ja läbimõõt, et näha, kas voolamine on laminaarne või turbulentne ning kui vähesest piisab üleminekuks.

Näidisarvutus — Reynoldsi arv ja voolurežiim

Kinemaatiline viskoossus	1,00 × 10⁻⁶ m²/s
Reynoldsi arv	9966
Režiim	Turbulentne
Laminaarne alla	0,2308 m/s
Turbulentne alates	0,4014 m/s
Laminaarne torudes alla	2,31 × 10⁻³ m
Turbulentne torudes üle	4,01 × 10⁻³ m

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Reynoldsi arv ja voolurežiim

Reynoldsi arv võrdleb liikuvas vedelikus kaht nähtust: inertsi, mis kannab voolu edasi, ja viskoossust, mis seda summutab. Valemis Re = ρvD/η taanduvad ühikud välja. Tulemuseks on dimensioonita arv, mis ongi asja iva. Võrdse Reynoldsi arvuga voolamised käituvad ühtemoodi, olenemata oma mõõtmetest, kiirusest või vedelikust. Just seepärast saabki mudel veebasseinis ehtsat lennukit asendada.

Mida iga sümbol tähendab

Re: suhtarv ise, täiesti ilma ühikuteta
ν: kinemaatiline viskoossus, η/ρ, ainus siin oluline kombinatsioon

Eeldab: Sile, sirge ja ringikujulise ristlõikega toru ning täielikult väljakujunenud voolamine. Karedus, käänakud ja sissevoolupikkus nihutavad kõik üleminekupunkti. See ongi aus põhjus, miks siin lehel toodud lävendid on pigem kokkuleppelised kui ranged konstandid.

Kaks vedelikku, üks toru, üks kiirus, erinevad tulemused 🖖

Vesi 10 mm torus kiirusel 1 m/s annab tulemuseks Re = 9 966 ja voolamine on turbulentne. Vahetades vedelikuks mee ilma liugureid puutumata, on näit 1,420, mis on peaaegu maksimaalselt laminaarne vool. Toru ja kiiruse juures ei muutunud midagi, seega ei määranud kumbki neist tulemust.

Kinemaatilise viskoossuse rida näitab põhjuse: vee 1,00 × 10⁻⁶ m²/s mee 7,04 × 10⁻³ m²/s vastu. Kuna Re = vD/ν, sõltub nende kahe Reynoldsi arvu suhe üksnes neist omadustest. See suhe on 7018 ja püsib iga seadega, mida rakendus lubab: nihuta kiirust üle kuue kümnendjärgu ja läbimõõtu üle viie ning mõlemad Reynoldsi arvud liiguvad koos nii, et nende vahele jääb ikka 7018.

Jälgi vedelikke vahetades režiimikaarti. Märgitud punkt ei liigu. See muudab värvi, sest piir on selle ületamiseks nihkunud piki kiirusetelge peaaegu neli kümnendjärku.

Sinu torustikus pole peaaegu midagi laminaarset 🖖

Vesi 10 mm torus: rakendus näitab laminaarseks piiriks 0,2308 m/s ja sellest allpool muutub tulemus roheliseks. Ületades 0,4014 m/s, on voolamine täielikult turbulentne. Köögikraan voolab neist mõlemast kiiremini.

Laminaarsele toruvoolule kulutavad õpikud terveid peatükke, sest seda saab kinnisel kujul lahendada. Kiirusprofiil on täpne parabool, rõhulang on võrdeline vooluhulgaga ning kihtide vahel ei toimu segunemist. Peaaegu mitte miski majas voolavast veest ei käitu nii. Seinte sees olev vesi seguneb ning seda tuleb pigem mõõta või korreleerida kui tuletada.

Toru kitsendamine pigem tõstab kui langetab piiri. Määra läbimõõduks 5 mm ja laminaarne lagi muutub 0,4616 m/s, sest Re = vD/ν hoolib ainult korrutisest: poolita D ja sa pead v kahekordistama, et jõuda taas 2300-ni. Just seetõttu püsib vool kapillaaris laminaarsena, aga veetrassis mitte.

2300 ja 4000 on kokkulepped ning need käivad torude kohta 🖖

Arv, mille rakendus väljastab, on täpne matemaatiline tulemus sinu määratud nelja väärtuse põhjal. Sõna selle kõrval on kokkuleppeline. Nihuta 10 mm torus kiirus 0,3 m/s peale: Reynoldsi arvu näit on 2 990 ja tulemuseks on Siirdevool, mis tähendab, et rakendus keeldub õigustatult vastamast. 2300 ja 4000 kirjeldavad täielikult väljaarenenud voolamist siledas ümaras torus ning ei selle toru karedus ega sisselaskeava rahulikkus kajastu Reynoldsi arvus. Seetõttu on seal kollane riba, kus üksik joon oleks korrapärasem.

Mida madalam arv tähendab, otsustati 2011. aastal Avila, Moxey, de Lozari, Avila, Barkley ja Hofi poolt ajakirjas Science, ning nende meetod on see osa, mida tasub teada. Nad süstisid laminaarsesse toruvoolu turbulentsipuhanguid ja mõõtsid, kui kaua igaüks neist kestis. Kriitilisest punktist allpool puhang hääbub; sellest kõrgemal levib turbulents kiiremini, kui see vaibub. See lävi ei ole kiirus, mille juures toru lakkab olemast laminaarne. See on kiirus, millest alates turbulents enam iseenesest ei kao, kui miski on selle sinna tekitanud.

Muuda geomeetriat ja võrdlus muutub koos sellega. Läbi sellesama vee langevat kera hinnatakse Re = 1 ja Re = 1000 juures; sileda plaadi piirikiht muutub turbulentseks Re 5 × 10⁵ lähedal.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kanal veetunnelis 7 sammu
Ümar 0,40 m läbimõõduga ventilatsioonikanal juhib õhku kiirusel 3,0 m/s. Sa soovid näha, mida voolamine selle sees teeb, seega plaanid katsetada 1:10 mudelit veetunnelis. Kui kiiresti peab vesi voolama, et mudeli voolamine oleks sama mis kanalis?

Ava see ülesanne tööriistas
1. Õhu tihedus ja selle viskoossus ei esine vastuses kunagi eraldi. Jaga teine esimesega ja saad kinemaatilise viskoossuse, 1,813 × 10⁻⁵ jagatud 1,204-ga, mis on 1,5058 × 10⁻⁵ m²/s. Kinemaatilise viskoossuse rida ümardab selle väärtuseks 1,51 × 10⁻⁵. See üks arv on kõik, mida Reynoldsi arv vedeliku kohta teada tahab.
  
  $ν_{a} = \frac{η}{ρ} = \frac{1.813 \times 1 0 ^{- 5}}{1.204} = 1.5058 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$
2. Kanali Re = vD/ν: 3,0 × 0,40 jagatud 1,5058 × 10⁻⁵-ga on 79 691. Režiimi real on kirjas Turbulentne, mida see näitaks iga väärtuse puhul üle 4000, ja see on piirist kakskümmend korda üle.
  
  $Re_{d} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 0.40}{1.5058 \times 1 0 ^{- 5}} = 79, 691 \geq 4000$
3. Kaks voolamist on samased, kui geomeetria on sarnane ja Reynoldsi arvud klapivad. Re on ülesande ainus dimensioonita suurus, seega selle ühtimine ongi kogu tingimus. Miski selles tingimuses ei ütle, et mudel peab kasutama sama vedelikku, ja vedelik on vabadus, mida tasub ära kasutada.
  
  $Re_{m} = Re_{d} ⟺ \frac{v _{m} D _{m}}{ν _{w}} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}}$
4. Vesi temperatuuril 20 °C: 1,0016 × 10⁻³ Pa·s jagatud 998,2 kg/m³ annab 1,0034 × 10⁻⁶ m²/s. Vesi on õhust ligikaudu kaheksasada korda tihedam ja umbes viiskümmend viis korda viskoossem ning need kaks tühistavad teineteist peaaegu ära. Järele jääb tegur 15,007 ja see toimib viisil, mida algajad ei oota: inertsiühiku kohta on õhk neist kahest vedelam.
  
  $ν_{w} = \frac{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}}{998.2} = 1.0034 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, \frac{ν _{a}}{ν _{w}} = 15.007$
5. Võrdsusta kaks Reynoldsi arvu ja avalda kiirus, mida tunnel vajab. Toru kümnekordne vähendamine korrutab nõutava kiiruse kümnega; õhu asendamine veega jagab selle 15,007-ga. Vedelik võidab ja vastuseks on 1,999 m/s. Kümme korda väiksem mudel ning selles olev vesi voolab aeglasemalt kui õhk, mida see esindab.
  
  $v_{m} = v_{d} \cdot \frac{D _{d}}{D _{m}} \cdot \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = 3.0 \cdot 10 \cdot \frac{1}{15.007} = 1.999 m/s$
6. Seadista rakendus veele, 1,999 m/s, 0,040 m. Reynoldsi arvu rida näitab 79 689 kanali 79 691 vastu, kusjuures see kahene erinevus on neljakohalisena antud kiiruse neljandas numbris. Rida Laminaarne alla on teine viis klappimise nägemiseks: kanali õhk peaks langema alla 0,0866 m/s ja mudeli vesi alla 0,0577 m/s, et muutuda laminaarseks, ning kumbki voolab 34,6 korda üle omaenda piiri.
  
  $Re_{m} = \frac{1.999 \cdot 0.040}{1.0034 \times 1 0 ^{- 6}} = 79, 689, \frac{3.0}{0.0866} \approx \frac{1.999}{0.0577} \approx 34.6$
7. Keegi ei seadista tunnelit 1,999 peale. Ümarda näit 2,0 m/s peale ja rida näitab 79 728, mis on 0,05% liiga kõrge, ning 0,05% Reynoldsi arvust on allpool igasugust tunnelis olevate instrumentide eraldusvõimet.
  
  $v_{m} = 2.0 \Rightarrow Re_{m} = 79, 728, \frac{79 , 728}{79 , 691} - 1 = 0.05%$
Vastus

Umbes 2,0 m/s läbi 40 mm mudeli: täpne nõue on 1,999 m/s. Leht kuvab ühe Reynoldsi arvu ühe seadistuse kohta ja selle arvu mõte on kahe võrdlemine, mistõttu 79 689 kõrvuti 79 691-ga on vastus, mitte juhus. See, mis mudelist tagasi kanalisse kandub, on dimensioonita. Hõõrdetegur ja rõhutegur kanduvad üle; paskalid ja njuutonid mitte. Vees mõõdetud rõhkude vahe teisendub ρv² suhte kaudu, 998,2 × 2,0² vastu 1,204 × 3,0², seega tunnel näitab 368 korda suuremat rõhku, kui kanal seda teeb.

$v_{m} = v_{d} \frac{D _{d}}{D _{m}} \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 10}{15.007} = 1.999 m/s$

Allikad (2)

Where the number and the threshold come from: O. Reynolds, "An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 174, 1883, pp. 935–982.
What the lower threshold actually marks, measured by timing whether turbulence survives: K. Avila, D. Moxey, A. de Lozar, M. Avila, D. Barkley & B. Hof, "The Onset of Turbulence in Pipe Flow." Science 333(6039), 2011, pp. 192–196.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.