Bayesi teoreem / valepositiivsete uurija

kuidas levimus muudab positiivse testitulemuse usaldusväärsust

Algväärtused — Bayesi teoreem / valepositiivsete uurija

Levimus	0,10%
Tundlikkus	99,0%
Spetsiifilisus	99,0%

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

miks täpsus on vaid pool lugu 🖖

Tundlikkus ja spetsiifilisus kirjeldavad testi; levimus kirjeldab populatsiooni enne testimist. Bayesi teoreem ühendab mõlemad. Kui levimus on madal, võib isegi väike valepositiivsete määr tekitada palju valehäireid, sest enamikul testitutest haigust ei ole. Seepärast vajab positiivne sõeltesti tulemus tihti kinnitust, samas kui sama test võib kõrge riskiga rühmas olla väga veenev.

test uuendab eeldust, ei asenda seda 🖖

Bayesi teoreem on reegel oma hinnangu muutmiseks tõendite valguses. Alustad eeltõenäosusest — parimast hinnangust enne testi, milleks siin on levimus — ja tulemus nihutab seda üles või alla järeltõenäosuseks. Üksik positiivne vastus viib harva otse kindluseni; see korrutab su alguse tõenäosust, mitte ei kirjuta seda üle. Õppetund: enne kui tulemust usaldad, küsi kõigepealt, kui tõenäoline see asi üldse oli.

sama lõks viis kellegi vanglasse 🖖

P(positiivne | haigus) segiajamisel P(haigus | positiivne)-ga on kohtusaalis oma nimi: prokuröri eksijäreldus. Sally Clarki 1999. aasta kohtuprotsessil kuulis vandekohus, et kahe imiku äkksurma tõenäosus ühes peres on 1 73 miljonist, ja tõlgendas seda tema süütuse tõenäosusena. Need on erinevad arvud — teine eirab, kui haruldane on ka alternatiiv (kaksikmõrv). Tema süüdimõistmine tühistati 2003. aastal ja Royal Statistical Society mõistis väärkasutuse avalikult hukka.

BAYES — POSITIIVNE TULEMUS EI TÄHENDA SEDA, ET SA OLED HAIGE

Millist sõeluuringu juhtumit sa loed?

Kolm arvu otsustavad, mida positiivne test tähendab: kui levinud haigus on, kui sageli test selle üles leiab ja kui sageli ta valehäiret annab. Tundlikkus ja spetsiifilisus kirjeldavad testi, levimus kirjeldab elanikkonda — ja tavaliselt teebki kahju just levimus. Arvuta protsentide asemel loomulikes sagedustes ja vastus lakkab olemast vastuoluline: kujuta ette 1000 inimest, loe kokku õiged positiivsed, loe kokku valed ja võrdle.

Haruldane haigus, suurepärane test — enamik positiivseid on ikka valed PPV ≈ 9%

Levinud haigus — levimus päästab nõrgema testi PPV ≈ 51%

Keskmine levimus — ja mida negatiivne tulemus väärt on PPV ≈ 60%, NPV ≈ 99%

Kõrge tundlikkus, keskpärane spetsiifilisus — vale nupp PPV ≈ 29%

Haruldane haigus, suurepärane test — enamik positiivseid on ikka valed

Mida sa tead: Levimus 0,1 %, tundlikkus 99 %, spetsiifilisus 99 %. Paremaks testid vaevalt lähevad; haigus on tõesti haruldane.

Tulemus: PPV ≈ 9%

Näidisarvutus: 10 000 inimesest: 10 on haiged ja umbes 10 saab positiivse; 9990 ei ole ja neist 100 saab siiski positiivse → PPV = 10/110 ≈ 9 %

Ava see juhtum: haruldane, täpne test

Haruldane haigus, suurepärane test — enamik positiivseid on ikka valed. Kümme õiget positiivset on maetud saja vale sisse — baasmäär võidab. Levimus 0,1 %, tundlikkus 99 %, spetsiifilisus 99 %. Paremaks testid vaevalt lähevad; haigus on tõesti haruldane. — Kümme õiget positiivset on maetud saja vale sisse — baasmäär võidab.

Levinud haigus — levimus päästab nõrgema testi

Mida sa tead: Levimus 10 %, tundlikkus 95 %, spetsiifilisus 90 %. Selgelt kehvem test, kasutatuna seal, kus haigus on tõesti levinud.

Tulemus: PPV ≈ 51%

Näidisarvutus: 1000 inimesest: 100 on haiged ja 95 saab positiivse; 900 ei ole ja 90 saab positiivse → PPV = 95/185 ≈ 51 %

Ava see juhtum: levinum haigus

Levinud haigus — levimus päästab nõrgema testi. Sama arvutus kümme korda suurema levimusega: nüüd on positiivne umbes kulli ja kirja mäng. Levimus 10 %, tundlikkus 95 %, spetsiifilisus 90 %. Selgelt kehvem test, kasutatuna seal, kus haigus on tõesti levinud. — Sama arvutus kümme korda suurema levimusega: nüüd on positiivne umbes kulli ja kirja mäng.

Keskmine levimus — ja mida negatiivne tulemus väärt on

Mida sa tead: Levimus 5 %, tundlikkus 85 %, spetsiifilisus 97 % — puhangu aegse antigeeni kiirtesti kuju.

Tulemus: PPV ≈ 60%, NPV ≈ 99%

Näidisarvutus: 1000 inimesest: 50 nakatunut, 43 tabatud ja 7 vahele jäänud; 950 tervet, 29 ekslikult märgitud → PPV = 43/72 ≈ 60 % ja NPV = 922/929 ≈ 99 %

Ava see juhtum: covid-sarnane

Keskmine levimus — ja mida negatiivne tulemus väärt on. Positiivne on kulli ja kirja mäng väikese kaldega; negatiivne on peaaegu selge. Levimus 5 %, tundlikkus 85 %, spetsiifilisus 97 % — puhangu aegse antigeeni kiirtesti kuju. — Positiivne on kulli ja kirja mäng väikese kaldega; negatiivne on peaaegu selge.

Kõrge tundlikkus, keskpärane spetsiifilisus — vale nupp

Mida sa tead: Levimus 2 %, tundlikkus 99 %, spetsiifilisus 95 %. Peaaegu ükski tarvitaja ei jää vahele, aga iga kahekümnes terve saab süüdistuse.

Tulemus: PPV ≈ 29%

Näidisarvutus: 1000 inimesest: 20 tarvitajat, 20 tabatud; 980 mittetarvitajat, 49 ikkagi märgitud → PPV = 20/69 ≈ 29 %, seega seitse positiivset kümnest on süütud

Ava see juhtum: narkotestimine

Kõrge tundlikkus, keskpärane spetsiifilisus — vale nupp. Kakskümmend tegelikku tarvitajat neljakümne üheksa vale süüdistuse vastu: parandada tuleb spetsiifilisust. Levimus 2 %, tundlikkus 99 %, spetsiifilisus 95 %. Peaaegu ükski tarvitaja ei jää vahele, aga iga kahekümnes terve saab süüdistuse. — Kakskümmend tegelikku tarvitajat neljakümne üheksa vale süüdistuse vastu: parandada tuleb spetsiifilisust.

Allikad (1)

Insight block 3 — the fallacy, and the name it goes by in court: W. C. Thompson and E. L. Schumann, "Interpretation of statistical evidence in criminal trials: The prosecutor's fallacy and the defense attorney's fallacy." Law and Human Behavior 11(3), 167–187, 1987.

Ülesanne täielikult lahendatud

Teine positiivne tulemus 0,1% levimuse korral 5 sammu
Teine positiivne tulemus. See on levimusega 0,1%, tundlikkusega 99% ja spetsiifilisusega 99% — haruldane seisund ja suurepärane test, kus üks positiivne tulemus on teadaolevalt nõrk tõend. Arvutage välja, mida väärib teine, sõltumatu positiivne tulemus.
1. Šansid, mitte tõenäosus, on see kuju, milles tõendid korrutuvad. Ühel inimesel tuhandest on see seisund, seega on algpositsioon 1 vastu 999 — ja just see 999, mitte kumbki skaala, teeb kahju.
  
  $odds (D) = \frac{P ( D )}{1 - P ( D )} = \frac{0.001}{0.999} = \frac{1}{999}$
2. Tõepära suhe võrdleb seda, kui sageli positiivne tulemus igas rühmas ette tuleb. Mõlemad arvud pärinevad skaaladelt: 99% seisundiga inimestest annab positiivse testi ning spetsiifilisus 99% jätab ka 1% kõigist teistest positiivse testi andjateks.
  
  $LR^{+} = \frac{P ( + ∣ D )}{P ( + ∣ \neg D )} = \frac{0.99}{1 - 0.99} = \frac{0.99}{0.01} = 99$
3. Aprioorsete šansside korrutamine tõepära suhtega on kogu Bayesi teoreem selles kujus ja šansid a vastu b teisendatakse tagasi kujul a/(a+b). Kordaja 99 on hiiglaslik tõend ning see kaotab ikkagi, sest alustas 999 võrra tagapool.
  
  $\frac{1}{999} \times 99 = \frac{99}{999} ⟹ P = \frac{99}{99 + 999} = \frac{99}{1098} = 0.090164$
4. Teine test algab sealt, kus esimene lõppes — ühe tulemuse aposterioorne šanss on järgmise aprioorne šanss. Testi enda juures pole miski muutunud, seega kehtib sama kordaja 99, seekord šanssidele, mis pole enam lootusetud.
  
  $\frac{99}{999} \times 99 = \frac{9801}{999} ⟹ P = \frac{9801}{9801 + 999} = \frac{9801}{10800} = 0.9075$
5. Selles sammus eeldatakse, et kaks positiivset tulemust on sõltumatud, mis on täpselt see, mida sama testi kordamine ei suuda pakkuda. Kui mis tahes asjaolu, mis märgistas terve inimese esimest korda — ristreageeriv valk, valesti märgistatud proov —, märgistab ta uuesti pooltel juhtudest, ei vähene valepositiivsed tulemused peaaegu üldse.
  
  $N = 1000 : TP = 0.9801, FP = 9.99 \times 0.5 = 4.995 ⟹ P = \frac{0.9801}{5.9751} = 0.1640$
Vastus

Tööriist kuvab ühe positiivse tulemuse korral 9,0% asendusest, mille tulemus on 0,090164 — see sama 99/1098. Kaks sõltumatut positiivset tulemust annavad 90,75% ja kolm annavad 99,90%, sest kordaja 99 võetakse arvesse iga kord, samas kui aprioorse šansi 999 vastu 1 eest makstakse vaid üks kord. See on kinnitava testimise taga olev arütmeetika ja 5. samm on selle peenike kiri: korreleeritud kordus jõuab tulemuseni 16,4%, mis on vaevalt veenvam kui üksik tulemus, mida see pidigi kinnitama. Seetõttu peab teine test ebaõnnestuma teistmoodi kui esimene — erinev sihtmärkmolekul, erinev labor, erinev mehhanism —, vastasel juhul on korrutamine fiktsioon. Arv, mida kaasa võtta, on 99: tundlikkus jagatud valepositiivsuse määral on testi kogu tõenduslik kaal ning see on pigem šansside kordaja kui vastus.

$odds = \frac{1}{999} \times 9 9^{n} : n = 1 \Rightarrow 9.02%, n = 2 \Rightarrow 90.75%, n = 3 \Rightarrow 99.90%$

Õpitee

Aprioorsed tõenäosused ja nende päritolu

Viib edasi Bayesi piljard uuenduse, mille iga sisend on mõõdetav.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

haruldane, täpne test - levimus=0.1%, 99% täpsusega test -> PPV vaid 9%: enamik positiivseid tulemusi on valehäired
levinum haigus - levimus=10% -> PPV tõuseb 51%-ni; levimus on varjatud mõjutaja
covid-sarnane - COVID-i kiirtest 5% levimuse juures -> PPV ~ 60%
narkotestimine - Narkotestimine 2% levimuse juures -> PPV ~ 29%, hoolimata 99% tundlikkusest