Explorateur de limites

Explorez les limites visuellement. Observez si les valeurs de la fonction convergent (ou non) lorsque x se rapproche d'une valeur cible.

Valeurs de départ — Explorateur de limites

f(x)	sin(x)/x
x → a	0

Modifiez un réglage ci-dessus et les résultats sont recalculés.

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Toute dérivée est un 0/0 déguisé 🖖

Les limites ne sont pas une formalité sur le chemin de l’analyse : sans elles, l’analyse ne peut même pas commencer. La pente d’une courbe en un seul point vaut (f(x+h) − f(x)) / h avec h = 0, et cela donne 0/0 pour n’importe quelle fonction. La division n’y répond pas : 0/0 n’est pas un nombre, et aucune manipulation algébrique n’en fait un. La limite contourne la question : elle demande vers quoi tend le quotient quand h diminue, et non ce qu’il vaut lorsque h atteint 0. C’est précisément cet évitement qui donne une pente à la tangente.

Vers où va une fonction, pas sa valeur là 🖖

Une limite demande vers où se dirige une fonction quand x s'approche d'un point — pas ce qui se passe au point lui-même. Cette distinction compte : sin(x)/x n'est pas définie en x = 0 (elle donne 0/0), pourtant des deux côtés le graphe vise exactement 1. Fais glisser x vers le point cible et observe les valeurs à gauche et à droite coïncider ; quand elles coïncident, la limite existe, même si la courbe a un trou.

Quand le tableau de valeurs ment 🖖

Cet outil évalue f en x = 10⁻ⁿ pour n = 1, 2, …, 8. Saisis sin(π/x) près de 0 et chaque ligne affiche exactement 0, car sin(10ⁿπ) = 0 pour des exposants entiers — le tableau annonce joyeusement une limite de 0. Mais entre ces points la fonction oscille sans fin entre −1 et +1 : la vraie limite n'existe pas. La convergence numérique est un indice, jamais une preuve.

THÉORIE DES LIMITES — CE QUE FAIT LA COURBE QUAND x TEND VERS a

Dans quel cas de limite êtes-vous ?

Une limite demande vers quoi f se dirige quand x tend vers a, jamais ce que f vaut en a. Lisez d'abord les deux limites latérales : si elles coïncident, la limite existe et il reste seulement à vérifier si f(a) lui correspond. Si elles diffèrent, la forme du désaccord nomme le cas — un saut, une explosion ou une oscillation sans fin.

Trou éliminable — les deux côtés s'accordent, f(a) manque L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

0/0 qui se simplifie — factorisez avant de conclure 0/0 → ÷(x − a)

Saut — les deux côtés se contredisent L⁻ ≠ L⁺

Infinie — les valeurs sortent de l'échelle f → ±∞ at x = a

Oscillation — les valeurs ne se stabilisent jamais ∄L, |f| ≤ 1

Trou éliminable — les deux côtés s'accordent, f(a) manque

Ce que vous savez: Les limites à gauche et à droite sont égales et finies, mais f(a) n'est pas définie. Remplacer x par a donne 0/0, et aucun facteur ne se simplifie.

Test: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

Exemple résolu: f(x) = sin(x)/x en a = 0 → f(0) donne 0/0, pourtant f(±0,001) = 0,99999983 → limite = 1

Ouvrir ce cas: sinc sin(x)/x

Trou éliminable — les deux côtés s'accordent, f(a) manque. Les deux branches visent la même hauteur ; seul le point lui-même est retiré. Les limites à gauche et à droite sont égales et finies, mais f(a) n'est pas définie. Remplacer x par a donne 0/0, et aucun facteur ne se simplifie. — Les deux branches visent la même hauteur ; seul le point lui-même est retiré.

0/0 qui se simplifie — factorisez avant de conclure

Ce que vous savez: Remplacer x par a donne 0/0, et le numérateur et le dénominateur ont le facteur (x − a) en commun.

Test: 0/0 → ÷(x − a)

Exemple résolu: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) en a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → limite = 2

Ouvrir ce cas: L'Hôpital

0/0 qui se simplifie — factorisez avant de conclure. Après simplification, la courbe est la droite y = x + 1 privée d'un point. Remplacer x par a donne 0/0, et le numérateur et le dénominateur ont le facteur (x − a) en commun. — Après simplification, la courbe est la droite y = x + 1 privée d'un point.

Saut — les deux côtés se contredisent

Ce que vous savez: Les deux limites latérales sont finies mais différentes. La courbe passe d'un niveau à l'autre en a.

Test: L⁻ ≠ L⁺

Exemple résolu: f(x) = |x|/x en a = 0 → limite à gauche = −1, limite à droite = +1 → la limite n'existe pas

Ouvrir ce cas: Saut |x|/x

Saut — les deux côtés se contredisent. Deux branches plates à des hauteurs différentes : les côtés divergent. Les deux limites latérales sont finies mais différentes. La courbe passe d'un niveau à l'autre en a. — Deux branches plates à des hauteurs différentes : les côtés divergent.

Infinie — les valeurs sortent de l'échelle

Ce que vous savez: Au moins un côté croît sans borne. Remplacer x par a donne un nombre non nul divisé par zéro : il y a une asymptote verticale en x = a.

Test: f → ±∞ at x = a

Exemple résolu: f(x) = 1/x en a = 0 → à gauche → −∞ et à droite → +∞ → pas de limite finie

Ouvrir ce cas: Infini 1/x

Infinie — les valeurs sortent de l'échelle. Les deux branches fuient le long de l'asymptote verticale x = a. Au moins un côté croît sans borne. Remplacer x par a donne un nombre non nul divisé par zéro : il y a une asymptote verticale en x = a. — Les deux branches fuient le long de l'asymptote verticale x = a.

Oscillation — les valeurs ne se stabilisent jamais

Ce que vous savez: La fonction reste bornée mais balaie sans cesse le même intervalle, aussi près de a que vous regardiez.

Test: ∄L, |f| ≤ 1

Exemple résolu: f(x) = sin(1/x) en a = 0 → entre x = 0,001 et x = 0,002 la courbe effectue environ 80 cycles complets et atteint toutes les valeurs de [−1, 1]

Ouvrir ce cas: Oscillation sin(1/x)

Oscillation — les valeurs ne se stabilisent jamais. L'oscillation s'accélère, elle ne s'amortit pas, quand x tend vers 0. La fonction reste bornée mais balaie sans cesse le même intervalle, aussi près de a que vous regardiez. — L'oscillation s'accélère, elle ne s'amortit pas, quand x tend vers 0.

Problème entièrement résolu

Prouver que sin x / x → 1 avec un δ pour chaque ε 5 étapes
Prouvez que sin x / x → 1 en fournissant un δ pour chaque ε, et prédisez les deux lignes exploitables du tableau avant de les lire. Il s'agit de f(x) = sin(x)/x avec x → 0.
1. Diviser la série du sinus par x est licite pour tout x ≠ 0, ce qui est le seul endroit qu'une limite examine. Le résultat ne contient que des puissances paires de x, et c'est pourquoi les colonnes de gauche et de droite du tableau portent des chiffres identiques à chaque ligne.
  
  $\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120} - \dots$
2. Deux termes suffisent ici : le terme en x⁴ est déjà descendu à 8,33 × 10⁻⁷, trop petit pour affecter la sixième décimale.
  
  $x = \pm 0.1 : 1 - \frac{1 0 ^{- 2}}{6} + \frac{1 0 ^{- 4}}{120} - \dots = 1 - 1.666667 \times 1 0^{- 3} + 8.33 \times 1 0^{- 7} = 0.998334$
3. Rapprochez-vous d'un facteur dix et l'écart à 1 diminue d'un facteur cent. La convergence est quadratique en x, ce qui est une affirmation bien plus forte que “la limite est 1” — et les deux seules lignes du tableau suffisent à l'établir.
  
  $x = \pm 0.01 : 0.999983, \frac{1 - f ( 0.1 )}{1 - f ( 0.01 )} = \frac{1.665834 \times 1 0 ^{- 3}}{1.666658 \times 1 0 ^{- 5}} = 99.95$
4. Une constatation n'est pas une preuve, il faut donc majorer tout le reste d'un coup. Pour |x| ≤ 1, la série alterne avec des termes décroissants, ainsi tout ce qui suit le 1 est de taille inférieure au premier terme négligé, et ce terme vaut x²/6. Inverser l'inégalité fait de δ une formule plutôt qu'une recherche.
  
  $\frac{sin x}{x} - 1 \leq \frac{x ^{2}}{6} (∣ x ∣ \leq 1) ⟹ δ (ε) = 6 ε (ε \leq \frac{1}{6})$
5. Voyez ce que coûte la racine carrée. Rendre ε un million de fois plus strict ne fait gagner qu'un facteur mille sur x.
  
  $ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 3}; ε = 1 0^{- 12} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 6}$
Réponse

Le tableau affiche 0,998334 pour x = 0,1 et 0,999983 pour x = 0,01, et tous deux ont été calculés ici à partir de quatre termes d'une série avant de consulter le panneau. Ce que δ = √(6ε) apporte, c'est la certitude : donnez une tolérance quelconque et le x qui y satisfait se trouve à une racine carrée près, de sorte qu'aucun zoom supplémentaire ne peut réserver de surprise. Cela explique aussi pourquoi le tableau finit par ne plus rien apprendre. Ses lignes réduisent x d'un facteur dix tandis que l'écart diminue d'un facteur cent, si bien qu'à la troisième ligne cet écart vaut 1,6667 × 10⁻⁷ — moins d'une demi-unité à la sixième décimale — et cette ligne ainsi que les cinq suivantes affichent toutes 1,000000, bien que la valeur pour x = 0,001 soit 0,99999983. Conservons cet écart plutôt que de le jeter : divisez la valeur 1,665834 × 10⁻³ de la première ligne par 0,01 et vous obtenez 0,16658, c'est-à-dire 1/6. Une seconde limite se cache sous la plus célèbre, et la série l'avait annoncée d'avance.

$δ (ε) = 6 ε, x \to 0 lim \frac{1 - \frac{s i n x}{x}}{x ^{2}} = \frac{1}{6}$

Parcours

Pourquoi tout semble droit de près

Mène à La dérivée ce que signifie tendre vers lorsque la fonction n'est pas définie en un point.

Références (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

sinc sin(x)/x - Les deux côtés atteignent 1.000000 dès ε = 0.001 : la limite existe et la page la déclare continue
Saut |x|/x - L⁻ = −1 contre L⁺ = +1 à chaque ε — un saut, et la limite bilatérale n’existe pas
Infini 1/x - −∞ et +∞ : à ε = 10⁻⁶ les côtés affichent −1000000 et 1000000, sans borne
Oscillation sin(1/x) - Aucun côté ne se stabilise — la colonne de gauche donne 0.544021, puis 0.506366, puis −0.826880 — donc les deux limites unilatérales s’affichent comme indéfinies
L'Hôpital - 0/0 en x = 1, et pourtant les deux côtés tendent vers 2.000000 : discontinuité éliminable, et f(1) reste indéfinie