Sécante, cosécante, cotangente et identités de Pythagore

Donnez la valeur d’une fonction trigonométrique et un quadrant : la page trouve l’angle, la valeur associée par l’identité qui lie les deux fonctions, et les quatre autres à partir du point P. Ou faites glisser l’angle et regardez sec θ, csc θ et cot θ changer, comme des longueurs sur la figure.

Sécante, cosécante, cotangente	$sec θ = \frac{1}{cos θ}, csc θ = \frac{1}{sin θ} cot θ = \frac{cos θ}{sin θ}$
Relation fondamentale	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
Divisée par cos²θ	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
Divisée par sin²θ	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

Exemple résolu — Sécante, cosécante, cotangente et identités de Pythagore

Angle	143,1301°
Par l’identité, avec le signe du quadrant II	−0,8
Sinus	0,6
Cosinus	−0,8
Tangente	−0,75
Sécante	−1,25
Cosécante	1,6667
Cotangente	−1,3333

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Sécante, cosécante, cotangente et identités de Pythagore

Les fonctions sécante, cosécante et cotangente sont sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ et cot θ = cos θ/sin θ, chacune définie là où son dénominateur n’est pas nul. Les identités de Pythagore sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ et 1 + cot²θ = csc²θ sont vraies pour tout angle où les deux membres sont définis.

D’où vient la formule

Partir du cercle. P = (cos θ, sin θ) est à distance 1 de O pour tout angle, donc cos²θ + sin²θ = 1 dans chaque quadrant. Les carrés ne voient pas les signes : c’est pourquoi le triangle de côtés |cos θ| et |sin θ| donne la même équation.
$x_{P}^{2} + y_{P}^{2} = 1 \Rightarrow cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
Diviser par cos²θ, ou par sin²θ. Chaque division est permise exactement là où les nouvelles fonctions sont définies.
$\div cos^{2} θ : \div sin^{2} θ : 1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ cot^{2} θ + 1 = csc^{2} θ$
Extraire la racine, puis choisir le signe. Une identité donne le carré de l’inconnue, elle en fixe donc la valeur absolue ; le quadrant fixe le signe.
$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ, sec θ = \pm 1 + tan^{2} θ$

Suppose: Chaque identité n’est vraie que là où ses fonctions sont définies : la deuxième tombe en défaut aux multiples impairs de 90°, la troisième aux multiples de 180°.

Problèmes entièrement résolus

Le sinus d’un angle obtus est donné 2 étapes
sin θ = 3/5 et θ est obtus. Trouvez les cinq autres fonctions de manière exacte.

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1. Un angle obtus est dans le quadrant II, où le cosinus est négatif. D’après sin²θ + cos²θ = 1 :
  
  $cos θ = - 1 - (\frac{3}{5})^{2} = - \frac{16}{25} = - \frac{4}{5}$
2. Les quatre autres sont des quotients et des inverses :
  
  $tan θ csc θ = \frac{3/5}{- 4/5} = - \frac{3}{4}, = \frac{1}{sin θ} = \frac{5}{3}, sec θ cot θ = \frac{1}{cos θ} = - \frac{5}{4} = \frac{1}{tan θ} = - \frac{4}{3}$
Réponse

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3.

$cos θ = - \frac{4}{5}, tan θ = - \frac{3}{4}, sec θ = - \frac{5}{4}, csc θ = \frac{5}{3}, cot θ = - \frac{4}{3}$
De la tangente à la sécante 2 étapes
tan θ = −12/5 et 270° < θ < 360°. Trouvez sec θ, cos θ et sin θ.

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1. Dans le quadrant IV, le cosinus est positif, et la sécante aussi. D’après 1 + tan²θ = sec²θ :
  
  $sec θ = + 1 + (- \frac{12}{5})^{2} = \frac{169}{25} = \frac{13}{5}$
2. Ensuite cos θ est l’inverse, et sin θ = tan θ · cos θ :
  
  $cos θ = \frac{5}{13}, sin θ = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = - \frac{12}{13}$
Réponse

sec θ = 13/5 = 2,6, cos θ = 5/13 ≈ 0,3846, sin θ = −12/13 ≈ −0,9231.

$sec θ = \frac{13}{5}, cos θ = \frac{5}{13} \approx 0.3846, sin θ = - \frac{12}{13} \approx - 0.9231$
De la cotangente à la cosécante 2 étapes
cot θ = 3/4 et 180° < θ < 270°. Trouvez csc θ, sin θ et cos θ.

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1. Dans le quadrant III, le sinus est négatif, et la cosécante aussi. D’après 1 + cot²θ = csc²θ :
  
  $csc θ = - 1 + (\frac{3}{4})^{2} = - \frac{25}{16} = - \frac{5}{4}$
2. Ensuite sin θ est l’inverse, et cos θ = cot θ · sin θ :
  
  $sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{5}$
Réponse

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5.

$csc θ = - \frac{5}{4}, sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = - \frac{3}{5}$
Valeurs exactes à 30° 3 étapes
Trouvez sec 30°, csc 30° et cot 30° de manière exacte.

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1. La moitié d’un triangle équilatéral de côté 2 a pour côtés 1, √3 et 2, donc
  
  $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
2. On inverse, puis on rend le dénominateur rationnel :
  
  $sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = \frac{3 /2}{1/2} = 3$
3. Vérification avec la deuxième identité :
  
  $1 + tan^{2} 3 0^{\circ} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = (\frac{2}{3})^{2}$
Réponse

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1,1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1,7321.

$sec 3 0^{\circ} = \frac{2 3}{3} \approx 1.1547, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = 3 \approx 1.7321$
Simplifier avec deux identités 2 étapes
Simplifiez (1 − cos²θ)(1 + cot²θ).
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1. Chaque parenthèse est un membre d’une identité ; remplacez-la par l’autre membre :
  
  $(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = sin^{2} θ \cdot csc^{2} θ$
2. et csc θ = 1/sin θ :
  
  $sin^{2} θ \cdot \frac{1}{sin ^{2} θ} = 1$
Réponse

1, pour tout angle qui n’est pas un multiple de 180°, où cot θ n’est pas définie.

$(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = 1, θ \neq = k \cdot 18 0^{\circ}$
Une démonstration par l’identité factorisée 3 étapes
Montrez que 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, et vérifiez-le en θ = 60°.

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1. Multipliez numérateur et dénominateur par sec θ + tan θ :
  
  $\frac{1}{sec θ - tan θ} = \frac{sec θ + tan θ}{sec ^{2} θ - tan ^{2} θ}$
2. D’après 1 + tan²θ = sec²θ, le dénominateur vaut 1 :
  
  $= \frac{sec θ + tan θ}{1} = sec θ + tan θ$
3. À 60°, sec θ = 2 et tan θ = √3 :
  
  $\frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3$
Réponse

Les deux membres sont égaux partout où ils sont définis ; à 60°, tous deux valent 2 + √3 ≈ 3,7321.

$\frac{1}{sec 6 0 ^{\circ} - tan 6 0 ^{\circ}} = 2 + 3 \approx 3.7321$
Une valeur qu’aucun angle n’atteint 2 étapes
Trouvez tous les angles tels que sec θ = 1/2.

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1. sec θ = 1/2 signifierait
  
  $cos θ = \frac{1}{sec θ} = 2$
2. mais cos θ est une coordonnée d’un point d’un cercle de rayon 1, donc |cos θ| ≤ 1, et par conséquent
  
  $∣ sec θ ∣ = \frac{1}{∣ cos θ ∣} \geq 1$
Réponse

Il n’y en a aucun : sec θ et csc θ ne prennent jamais de valeur strictement comprise entre −1 et 1. L’exemple refuse 1/2 et laisse θ à 60°, où l’inverse va dans l’autre sens : cos θ = 1/2 et sec θ = 2.

${θ : sec θ = \frac{1}{2}} = \emptyset$
Éliminer le paramètre 2 étapes
Une courbe est donnée par x = 3 sec t, y = 2 tan t. Trouvez son équation cartésienne.
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1. Isolez les deux fonctions :
  
  $sec t = \frac{x}{3}, tan t = \frac{y}{2}$
2. et reportez-les dans sec²t − tan²t = 1 :
  
  $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$
Réponse

x²/9 − y²/4 = 1, une hyperbole. Comme |sec t| ≥ 1, chacun de ses points vérifie |x| ≥ 3.

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1, ∣ x ∣ \geq 3$

Trois identités, un seul triangle à trois tailles 🖖

Le triangle OMP a pour côtés de l’angle droit |cos θ| et |sin θ| et pour hypoténuse 1 ; Pythagore y donne sin²θ + cos²θ = 1. Agrandissez-le d’un facteur 1/|cos θ| : ses côtés deviennent 1, |tan θ| et |sec θ|, ceux du triangle OAT, posé sur la tangente x = 1. Pythagore dans OAT s’écrit 1 + tan²θ = sec²θ. Agrandissez plutôt d’un facteur 1/|sin θ| et les côtés deviennent 1, |cot θ| et |csc θ|, ceux de OBS sur la droite y = 1, d’où 1 + cot²θ = csc²θ. En algèbre, l’agrandissement revient à diviser la première identité par cos²θ ou par sin²θ : une seule identité mérite d’être retenue, les deux autres tiennent en une ligne de calcul. La figure montre aussi où chacune tombe en défaut : à 90°, la droite (OP) est parallèle à x = 1 et OAT n’a plus de troisième sommet. Thomas Fincke a introduit les termes tangente et sécante dans sa Geometriae rotundi de 1583 ; en latin, ils signifient touchant et coupant, et AT est sur une droite qui touche le cercle tandis que OT est sur une droite qui le traverse.

√(1 − sin²θ) n’est pas cos θ 🖖

Cliquez sur sin θ = 3/5, quadrant II. L’identité donne cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, et 0,64 a deux racines carrées. Le symbole radical désigne la positive, donc √(1 − sin²θ) vaut |cos θ|, et écrire cos θ = √(1 − sin²θ) est faux pour tout angle des quadrants II et III. Ici, cos θ = −0,8. L’identité fixe la valeur absolue, et seul le quadrant fixe le signe : voilà pourquoi l’énoncé doit dire où se trouve θ, comme le fait « θ est obtus ». Gardez la valeur 0,6 et cliquez sur I : θ passe à 36,8699° et cos θ devient +0,8. Cliquez sur III et la page refuse, car le sinus y est négatif.

Près de 90°, sec θ et tan θ sont énormes et presque égales 🖖

Cliquez sur θ = 89° : tan θ = 57,29 et sec θ = 57,2987, à seulement 0,0087 d’écart. Si elles ne peuvent pas s’éloigner l’une de l’autre si près de 90°, c’est à cause de la deuxième identité. Écrite sec²θ − tan²θ = 1 puis factorisée, elle dit (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1 : l’écart vaut exactement 1 divisé par la somme, et 1/114,5887 ≈ 0,0087. Rapprochez θ de 90° : la somme croît sans limite tandis que l’écart tend vers 0 ; à 90° même, les deux fonctions ne sont pas définies. La forme factorisée est aussi le ressort d’une démonstration classique : 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, car en multipliant numérateur et dénominateur par sec θ + tan θ, le dénominateur devient 1.

Parcours

Identités et équations trigonométriques

Références (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.