Résolveur d'Équation du Second Degré

racines réelles et complexes, pas à pas

Exemple résolu — Résolveur d'Équation du Second Degré

deux racines réelles distinctes	2
Départ	1x²−5x+6
Regrouper les termes en x	1(x²−5x)+6
Compléter le carré	1[(x−2.5)²−6.25]+6
Forme canonique	1(x−2.5)²−0.25
Sommet	(2.5,−0.25)

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Un seul signe sous la racine décide de tout 🖖

La formule du second degré est plus qu'une astuce algébrique. C'est une cartographie de la symétrie. Sous la forme classique, x = -b/(2a) désigne l'axe de symétrie, l'épine dorsale de la parabole. Le terme sous la racine carrée, b² - 4ac, est le discriminant Δ. Son signe révèle de quel côté de l'axe des abscisses se place le sommet, et sa division par 4a indique son éloignement. Quand Δ > 0, la parabole coupe l'axe en deux points distincts, symétriques autour du sommet. Quand Δ = 0, le sommet repose exactement sur l'axe et donne une racine double. Et quand Δ < 0, la parabole flotte au-dessus ou en dessous de l'axe, ses racines migrant vers le plan complexe pour former une paire conjuguée. Dans les mathématiques modernes, cette modeste formule fonde la théorie des corps. La résolution des équations du second degré exige d'étendre les nombres rationnels pour y inclure les radicaux, prouvant ainsi l'unité profonde de la géométrie et de l'algèbre.

Un raccourci pour vérifier les racines 🖖

Bien avant l'existence de la formule, les mathématiciens ont remarqué un motif caché dans les coefficients. Pour tout ax² + bx + c = 0, les deux racines ont toujours pour somme -b/a et pour produit c/a : ce sont les relations de Viète. Ainsi, pour x² - 5x + 6, les racines doivent totaliser 5 et se multiplier en 6, soit 2 et 3. C'est le moyen le plus rapide de contrôler la réponse sans rien réinjecter.

Quand la célèbre formule échoue en silence 🖖

La formule de votre manuel peut vous trahir sur un ordinateur. Lorsque b² est bien plus grand que 4ac, la racine carrée est presque égale à |b|. L'une des deux racines nécessite donc la soustraction de deux nombres presque identiques : -b + √Δ lorsque b est positif, et -b − √Δ lorsqu'il est négatif. Cette opération balaie la plupart des chiffres significatifs par un effet appelé annulation catastrophique. Les bibliothèques numériques contournent la difficulté. Elles calculent d'abord une première racine, puis déterminent l'autre par c/(a·x₁). L'algèbre pluriséculaire et l'arithmétique moderne à virgule flottante sont ici en discret désaccord.

THÉORIE DU SECOND DEGRÉ — LIRE ax² + bx + c AVANT DE RÉSOUDRE

Le discriminant : combien de racines, et dans quel sens ?

Deux nombres fixent la forme de la réponse avant même d’utiliser la formule. Le discriminant Δ = b² − 4ac indique combien de racines réelles existent, et le signe de a indique dans quel sens la parabole s’ouvre et si son sommet est un point le plus bas ou le plus haut.

Δ > 0 — deux racines réelles distinctes Δ = b² − 4ac > 0

Δ = 0 — une racine réelle double Δ = 0

Δ < 0 — deux racines complexes conjuguées Δ < 0

a < 0 — la parabole s’ouvre vers le bas a < 0

Δ > 0 — deux racines réelles distinctes

Données: Le discriminant b² − 4ac est positif. La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.

Racines: Δ = b² − 4ac > 0

Exemple résolu: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 et x = 3

Ouvrir ce cas: deux racines

Δ > 0 — deux racines réelles distinctes. Δ > 0 : la courbe coupe l’axe deux fois, symétriquement par rapport au sommet. Le discriminant b² − 4ac est positif. La parabole coupe l’axe des abscisses en deux points distincts. — Δ > 0 : la courbe coupe l’axe deux fois, symétriquement par rapport au sommet.

Δ = 0 — une racine réelle double

Données: Le discriminant vaut exactement zéro. La parabole touche l’axe des abscisses en un seul point au lieu de le traverser.

Racines: Δ = 0

Exemple résolu: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, comptée deux fois

Ouvrir ce cas: racine double

Δ = 0 — une racine réelle double. Δ = 0 : le sommet est exactement sur l’axe — une tangence, pas une traversée. Le discriminant vaut exactement zéro. La parabole touche l’axe des abscisses en un seul point au lieu de le traverser. — Δ = 0 : le sommet est exactement sur l’axe — une tangence, pas une traversée.

Δ < 0 — deux racines complexes conjuguées

Données: Le discriminant est négatif. La parabole n’atteint jamais l’axe des abscisses : il n’y a pas de solution réelle.

Racines: Δ < 0

Exemple résolu: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Ouvrir ce cas: racines complexes

Δ < 0 — deux racines complexes conjuguées. Δ < 0 : toute la courbe reste du même côté de l’axe. Le discriminant est négatif. La parabole n’atteint jamais l’axe des abscisses : il n’y a pas de solution réelle. — Δ < 0 : toute la courbe reste du même côté de l’axe.

a < 0 — la parabole s’ouvre vers le bas

Données: Le coefficient dominant a est négatif. C’est indépendant du discriminant : cela retourne la courbe et fait du sommet un maximum.

Racines: a < 0

Exemple résolu: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, avec un maximum en (0, 4)

Ouvrir ce cas: s'ouvre vers le bas

a < 0 — la parabole s’ouvre vers le bas. a < 0 : les branches pointent vers le bas et le sommet est le maximum. Le coefficient dominant a est négatif. C’est indépendant du discriminant : cela retourne la courbe et fait du sommet un maximum. — a < 0 : les branches pointent vers le bas et le sommet est le maximum.

Références (1)

Insight block 3 — catastrophic cancellation, and the reformulation that avoids it: D. Goldberg, "What every computer scientist should know about floating-point arithmetic." ACM Computing Surveys 23(1), 5–48, 1991 — the quadratic formula is its worked example.

Problème entièrement résolu

Résolution de x² − 5x + 6 = 0 par complétion du carré 5 étapes
Résolvez x² − 5x + 6 = 0 en complétant le carré. Répondez ensuite à une question à laquelle la formule quadratique ne répond pas : le discriminant compte les racines, mais que mesure sa taille ?
1. Compléter le carré n'est pas une astuce pour résoudre les équations du second degré — c'est la démonstration de la formule quadratique, exécutée sur une équation particulière. Prenez la moitié du coefficient de x, élevez-la au carré, ajoutez et soustrayez. Le 6,25 qui apparaît est le prix pour forcer les deux premiers termes à former un carré parfait, et il doit être remboursé dans la même ligne.
  
  $x^{2} - 5 x + 6 = (x - \frac{5}{2})^{2} - \frac{25}{4} + 6 = (x - 2.5)^{2} - 0.25$
2. La forme canonique place la variable à un seul endroit, de sorte qu'on peut inverser les opérations directement : isolez le carré, prenez les deux racines, puis réajoutez 2,5. Aucune formule n'a été nécessaire et aucune n'a été mémorisée.
  
  $(x - 2.5)^{2} = 0.25 ⟹ x - 2.5 = \pm 0.5 ⟹ x = 2 or x = 3$
3. Passons maintenant au discriminant. Ici, Δ = 1, et il est positif, il y a donc deux racines réelles. C'est la partie que tous les manuels mentionnent.
  
  $Δ = b^{2} - 4 a c = 25 - 24 = 1$
4. Il apparaît deux autres fois, et aucune des deux n'est habituellement formulée à voix haute. L'écart entre les racines est √Δ/|a|, car le ± de la formule contribue à hauteur de ±√Δ/2a à chacune d'elles. Et le sommet se situe Δ/4a sous l'axe — le −0,25 sur le panneau ci-dessus n'est pas un résultat indépendant, c'est à nouveau le discriminant, divisé par quatre.
  
  $x_{2} - x_{1} = \frac{Δ}{∣ a ∣} = 1, y_{V} = - \frac{Δ}{4 a} = - 0.25$
5. Les relations de Viète bouclent la boucle. Développez a(x − x₁)(x − x₂), identifiez terme à terme avec ax² + bx + c, et la somme et le produit des racines apparaissent sans rien résoudre.
  
  $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = 5, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = 6$
Réponse

Les racines sont x = 2 et x = 3, et l'outil affiche le sommet en (2,5, −0,25) à partir de cette même complétion. Le gain est qu'un seul nombre régit trois faits distincts. Δ = 1 rend les racines réelles, les place à exactement 1 d'écart, et fait descendre le sommet d'exactement 0,25 sous l'axe. Augmentez c vers 6,25 et observez les trois évoluer ensemble : les racines se rapprochent, l'écart se réduit comme √Δ, et la parabole monte jusqu'à toucher l'axe en Δ = 0. Ce n'ont jamais été trois coïncidences — c'est une seule quantité vue sous trois angles.

$x = 2, 3 Δ = 1 : separation Δ = 1, depth \frac{Δ}{4 a} = 0.25$

Parcours

Au-delà du second degré

Mène à complex-numbers

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-07-26

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Exemples de problèmes

deux racines - x²-5x+6=0 → racines x=2 et x=3
racine double - x²-4x+4=0 → racine double x=2, discriminant=0
racines complexes - x²+2x+5=0 → racines complexes x=-1±2i
s'ouvre vers le bas - -x²+4=0 → x=±2, parabole tournée vers le bas