Le Theorema Egregium de Gauss

Choisissez une surface et une distance r. Une fourmi parcourt la distance r en ligne droite depuis un point central. La page mesure le cercle formé par les points d'arrivée et le compare au 2πr qu'il ferait sur le papier. Elle déduit alors la courbure de la surface à partir de cet écart.

Exemple résolu — Le Theorema Egregium de Gauss

Circonférence sur un plan, 2πr	6,2832
Le même cercle d'après sa formule	6,2832
C / 2πr	1,00000
Déficit, 2πr − C	0,0000
Rayon d'un cercle plat de même périmètre	1,0000
Courbure déduite uniquement du cercle	0,000 / R²
Les deux courbures principales au centre	1/R et 0
Courbure K de Gauss au centre	0 / R²

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Le Theorema Egregium de Gauss

La courbure de Gauss K en un point d'une surface est le produit de ses deux courbures principales en cet endroit. Il s'agit de la flexion maximale et de la flexion minimale de la surface dans toutes les directions autour du point. Chaque flexion porte un signe défini par le côté vers lequel elle s'incurve. Le Theorema Egregium (1827) de Gauss affirme que K dépend uniquement des longueurs mesurées à l'intérieur de la surface. Plier une surface sans l'étirer laisse donc K intact. Le cercle formé par les points situés à la distance r permet d'obtenir cette mesure de l'intérieur. Il possède une longueur C = 2πr − (π/3)K r³ + …, ce qui fait de K la limite de 3(2πr − C)/(πr³) quand r tend vers zéro.

Ce que signifie chaque symbole

K: Courbure K de Gauss au centre, égale au produit κ₁κ₂ des deux courbures principales ; elle vaut 1/R² sur une sphère de rayon R
C: Longueur du cercle des points situés à la distance r du centre, mesurée à même la surface
r: Distance parcourue en ligne droite depuis le centre, sur la surface

Un cylindre est aussi plat que cette page, et une fourmi peut le prouver 🖖

Cliquez sur Cylindre, r = R, puis sur Sphère, r = R. Les deux surfaces présentent une courbure de 1/R à leur sommet. Vues de l'extérieur, toutes deux semblent manifestement arrondies. En parcourant une distance de 1 depuis le centre dans toutes les directions, la fourmi trace sur le cylindre un cercle d'une longueur de 6,2832. C'est exactement ce qu'elle tracerait sur une feuille de papier. Sur la sphère, ce cercle mesure 5,2871. Le cylindre ne fléchit pas du tout sur sa longueur. Ses deux courbures principales sont 1/R et 0. La courbure K de Gauss correspond à leur produit, soit 0. Gauss a démontré en 1827 que la valeur de K se calcule uniquement à l'aide de longueurs mesurées à même la surface. Plier une surface sans l'étirer ne modifie donc jamais K. Ce résultat est connu depuis lors sous le nom de theorema egregium, le théorème remarquable. Enrouler du papier pour en faire un tube n'étire rien. Le tube conserve une valeur K = 0. Aucune fourmi arpentant cette zone ne pourra deviner que la surface a été roulée. C'est pour la même raison qu'une part de pizza pliée le long de sa croûte cesse de pendre. Étant courbée dans un sens, elle est contrainte de rester droite sur sa longueur.

Aucune carte plane de la Terre ne conserve les distances, et le cercle montre dans quelle mesure 🖖

Cliquez sur Terre, 1 000 km. Chaque point de l'anneau orange se trouve à 1 000 km du centre en mesurant au ras du sol. Le périmètre du cercle vaut 6 257,42 km. Un cercle plat de 1 000 km de rayon possède une circonférence de 6 283,19 km. Une carte qui préserve scrupuleusement la distance au centre sera obligée de dessiner un bord trop grand de 25,77 km. Si la carte choisit de garder le bord parfaitement rond et à la bonne taille, elle devra dessiner des rayons de 995,90 km, amputés de 4,10 km. Toute carte plane faussera l'une ou l'autre de ces distances. Le théorème explique pourquoi aucune projection astucieuse ne permet d'y échapper. La courbure responsable du rétrécissement du cercle ne s'efface pas sans étirement. Cliquez sur Terre, 2 000 km. En doublant le rayon, le périmètre accuse un déficit de 205,4 km, soit 7,97 fois plus. Cet écart croît comme le cube du rayon. Un plan de ville peut ainsi ignorer la courbure terrestre alors que la carte d'un continent en est incapable. Le laboratoire Map Projection Distortion Lab illustre ce que chaque projection sacrifie en retour.

Sur une selle, le cercle devient trop grand 🖖

Cliquez sur Selle, r = R/2. La fourmi parcourt une distance de 0,5 dans toutes les directions. Le cercle mesure 3,2573. C'est plus long que les 3,1416 d'un cercle tracé sur un plan. Une sphère raccourcit le cercle et une selle l'allonge. Les lignes droites d'une selle s'écartent plus rapidement qu'elles ne le feraient sur du papier. Celles d'une sphère s'écartent plus lentement, jusqu'à se croiser au pôle opposé. Le signe de 2πr − C donne le signe de K. La fourmi comprend donc comment son monde est courbé sans en observer la moindre flexion. La courbure K de Gauss est la limite de 3(2πr − C)/(πr³) lorsque le cercle rétrécit. Il s'agit du développement de la longueur du cercle que Bertrand et Puiseux ont publié en 1848, réécrit pour isoler K. Le tableau ci-dessous illustre l'approche de cette limite. La courbure de la sphère vaut 1/R² en tout point. L'estimation affiche 0,9876 pour r = R/2 et 0,9995 pour R/10. Sur la selle, le calcul renvoie −0,8838 et −0,9945. Un cercle de rayon R/2 déborde déjà sur une zone où la selle est moins courbée qu'en son centre.

Problème entièrement résolu

Quelle taille doit atteindre un cercle pour qu'un ruban à mesurer détecte la courbure de la Terre ? 4 étapes
Un mètre d'arpenteur est précis à un millionième près, soit un millimètre par kilomètre. Quelle doit être la taille d'un cercle tracé sur la Terre pour que son périmètre soit sensiblement inférieur à 2πr ? Cliquez d'abord sur Terre, 1 000 km : la page indique C/2πr pour un disque de cette taille.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. À 1 000 km, il manque au bord la proportion 1 − 0,99590 de 2πr. Sur une sphère, la circonférence vaut C = 2πR sin(r/R). L'approximation sin x / x = 1 − x²/6 + … nous montre que la fraction correspond à (r/R)²/6 au premier ordre :
  
  $1 - 0.99590 = 0.00410 \approx \frac{1}{6} (\frac{1 , 000}{6 , 371 . 0088})^{2} = 0.00411$
2. Égalez cette fraction à un millionième puis isolez r/R :
  
  $\frac{1}{6} (\frac{r}{R})^{2} = 1 0^{- 6} \Rightarrow \frac{r}{R} = 6 \times 1 0^{- 6} = 0.0024495$
3. et le rayon sur la Terre est égal à cette valeur multipliée par R :
  
  $r = 0.0024495 \times 6, 371.0088 km = 15.606 km$
4. Vérifiez. La circonférence du cercle plat est de 2π × 15,606 km, et son millionième vaut
  
  $2 π \times 15.606 km = 98.055 km, 98.055 km \times 1 0^{- 6} = 9.8 cm$
Réponse

Environ 15,6 km de rayon, soit un cercle de 31 km de diamètre. Son bord de 98 km a un déficit de 9,8 cm par rapport à 2πr. Le ruban à mesurer commence à percevoir cet écart à partir d'ici. Le déficit évolue comme le cube du rayon. Un cercle dix fois plus petit présentera un écart mille fois moindre, c'est-à-dire un dixième de millimètre. Un relevé topographique à l'échelle d'une ville peut tout à fait considérer le sol comme un plan.

$r \approx 15.6 km, 2 π r - C \approx 9.8 cm$

Parcours

La géométrie sur une surface courbe

Références (3)

The measure of curvature as one over the product of the two extreme radii of curvature (Art. 8), and the theorem that it stays unchanged when a surface is developed upon another, with surfaces developable on a plane having curvature zero everywhere (Art. 12): C. F. Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, translated by J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel, Princeton University Library, 1902, Arts. 8 and 12, pp. 15 and 20–21 (Project Gutenberg ebook 36856).
The length of the ring traced by a short thread of length s turned about a point on a surface, 2πs − πs³/(3R₁R₂) to fourth order, from which the product of the principal radii, and so Gauss's curvature, is recovered by a measurement made on the surface: J. Bertrand, "Démonstration d'un théorème de M. Gauss", Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, 13 (1848), 80–82; and V. Puiseux, "Sur le même théorème", same volume, 87–90.
The folded pizza slice as the theorem in the kitchen: a surface with zero Gaussian curvature bent one way must stay flat the other way, so curling the crust stiffens the slice along its length: A. Bhatia, "How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice", WIRED, 5 September 2014.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.