Nombre de Reynolds et régime d'écoulement

Choisissez un fluide, une vitesse et un diamètre pour voir si l'écoulement est laminaire ou turbulent, et constater à quel point la transition est subtile.

Exemple résolu — Nombre de Reynolds et régime d'écoulement

Viscosité cinématique	1,00 × 10⁻⁶ m²/s
Nombre de Reynolds	9 966
Régime	Turbulent
Laminaire sous	0,2308 m/s
Turbulent dès	0,4014 m/s
Laminaire sous un diamètre de	2,31 × 10⁻³ m
Turbulent pour un diamètre d'au moins	4,01 × 10⁻³ m

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Nombre de Reynolds et régime d'écoulement

Le nombre de Reynolds met en balance les deux phénomènes que subit un fluide en mouvement : l'inertie qui l'entraîne et la viscosité qui le freine. Observez l'expression Re = ρvD/η. Toutes les unités s'y annulent. Vous obtenez un nombre sans dimension, et c'est précisément le but recherché. Deux écoulements dotés du même nombre de Reynolds se comportent de manière identique. Leurs tailles, leurs vitesses ou leurs fluides n'y changent rien. Voilà pourquoi une simple maquette plongée dans un bassin à eau peut parfaitement remplacer un avion pour vos analyses.

Ce que signifie chaque symbole

Re: le rapport en lui-même, dépourvu de la moindre unité
ν: la viscosité cinématique, η/ρ, la seule combinaison qui importe ici

Suppose: Une conduite lisse, droite et circulaire, traversée par un écoulement pleinement développé. La rugosité, les coudes et la longueur d'établissement déplacent tous la transition. En toute honnêteté, c'est la raison pour laquelle les seuils que vous voyez sur cette page sont des conventions et non des constantes.

Deux fluides, une conduite, une vitesse, verdicts opposés 🖖

De l'eau s'écoulant à 1 m/s dans un tuyau de 10 mm affiche Re = 9 966, avec un verdict turbulent. Sélectionnez le miel sans toucher aux curseurs. La valeur tombe à 1,420. C'est un écoulement on ne peut plus laminaire. La conduite et la vitesse sont restées identiques. Aucune de ces variables n'a donc dicté le résultat.

La ligne de la viscosité cinématique révèle le coupable. Elle indique 1,00 × 10⁻⁶ m²/s pour l'eau, contre 7,04 × 10⁻³ m²/s pour le miel. Puisque Re = vD/ν, le rapport entre les deux nombres de Reynolds dépend exclusivement de ces deux propriétés. Ce rapport vaut 7018. Il résiste à tous les réglages permis par l'outil. Faites glisser la vitesse sur ses six décades et le diamètre sur ses cinq. Les deux nombres de Reynolds évoluent de concert, toujours séparés par ce facteur 7018.

Observez la carte des régimes pendant que vous changez de fluide. Le point marqué reste immobile. Il change simplement de couleur, car la frontière a glissé de près de quatre décades sur l'axe des vitesses pour le dépasser.

Presque rien n'est laminaire dans votre plomberie 🖖

Prenez de l'eau dans une conduite de 10 mm. L'outil indique 0,2308 m/s comme limite laminaire. En dessous de cette valeur, le verdict devient vert. Dépassez 0,4014 m/s et l'écoulement devient pleinement turbulent. Votre robinet de cuisine coule plus vite que ces deux limites.

Les manuels consacrent des chapitres entiers à l'écoulement laminaire en conduite car il possède une solution analytique. Le profil de vitesse trace une parabole parfaite. La perte de charge est proportionnelle au débit, et rien ne franchit les couches fluides. Pourtant, l'eau de votre maison ne se comporte presque jamais ainsi. Le fluide qui circule dans vos murs se mélange. Il faut donc le mesurer ou utiliser des corrélations au lieu de le déduire mathématiquement.

Rétrécir la conduite relève cette limite au lieu de l'abaisser. Réglez le diamètre sur 5 mm et le plafond laminaire passe à 0,4616 m/s. La formule Re = vD/ν ne s'intéresse en effet qu'au produit. Divisez D par deux et vous devrez doubler v pour atteindre de nouveau 2300. C'est pourquoi un tube capillaire reste laminaire, contrairement à une canalisation principale.

2300 et 4000 sont des conventions réservées aux conduites 🖖

Le nombre calculé par l'outil est le résultat d'une arithmétique exacte sur les quatre valeurs que vous avez définies. Le mot qui l'accompagne relève d'une convention. Ajustez la vitesse à 0,3 m/s dans la conduite de 10 mm. Le nombre de Reynolds indique 2 990 et le verdict affiche Transitoire. L'outil refuse ici de trancher, à juste titre. Les valeurs 2300 et 4000 décrivent un écoulement pleinement développé dans un tube circulaire lisse. Or, ni la rugosité de ce tube ni la tranquillité de son admission n'entrent dans le calcul du nombre de Reynolds. Il en résulte une zone orange, là où une simple ligne aurait été plus nette.

La signification du seuil inférieur a été établie en 2011 dans la revue Science par Avila, Moxey, de Lozar, Avila, Barkley et Hof. Leur méthode mérite qu'on s'y attarde. Ils ont injecté des bouffées de turbulence dans un écoulement laminaire en conduite, puis mesuré leur durée de vie. Sous un point critique, la bouffée se dissipe. Au-dessus, la turbulence se propage plus vite qu'elle ne s'éteint. Le seuil ne correspond pas à la vitesse où la conduite cesse d'être laminaire. C'est la vitesse au-delà de laquelle la turbulence, une fois introduite, ne disparaît plus d'elle-même.

Modifiez la géométrie et les critères changent avec elle. La transition autour d'une sphère sédimentant dans cette même eau s'évalue près de Re = 1 et Re = 1000. Une couche limite sur une plaque plane transite vers Re = 5 × 10⁵.

Problème entièrement résolu

Un conduit dans un tunnel à eau 7 étapes
Un conduit de ventilation circulaire de 0,40 m de diamètre transporte de l'air à 3,0 m/s. Vous souhaitez observer le comportement de cet écoulement. Vous prévoyez donc de tester un modèle au 1:10 dans un tunnel à eau. À quelle vitesse l'eau doit-elle circuler pour reproduire l'écoulement du conduit ?

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. La masse volumique et la viscosité de l'air n'apparaissent jamais séparément dans la réponse. Divisez la seconde par la première pour obtenir la viscosité cinématique, soit 1,813 × 10⁻⁵ sur 1,204, ce qui donne 1,5058 × 10⁻⁵ m²/s. La ligne Viscosité cinématique l'arrondit à 1,51 × 10⁻⁵. Cette seule valeur contient tout ce que le nombre de Reynolds exige du fluide.
  
  $ν_{a} = \frac{η}{ρ} = \frac{1.813 \times 1 0 ^{- 5}}{1.204} = 1.5058 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$
2. La formule Re = vD/ν appliquée au conduit donne 3,0 × 0,40 sur 1,5058 × 10⁻⁵, soit 79 691. La ligne Régime indique Turbulent. C'est prévisible au-delà de 4000, et nous sommes ici près de vingt fois au-dessus de ce seuil.
  
  $Re_{d} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 0.40}{1.5058 \times 1 0 ^{- 5}} = 79, 691 \geq 4000$
3. Deux écoulements sont identiques lorsque leur géométrie est similaire et que leurs nombres de Reynolds correspondent. Re constitue l'unique groupe adimensionnel du problème. L'égaler suffit donc à remplir la condition. Rien dans cette condition n'impose au modèle d'utiliser le même fluide, et c'est une liberté dont il faut tirer parti.
  
  $Re_{m} = Re_{d} ⟺ \frac{v _{m} D _{m}}{ν _{w}} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}}$
4. Pour l'eau à 20 °C, 1,0016 × 10⁻³ Pa·s sur 998,2 kg/m³ donne 1,0034 × 10⁻⁶ m²/s. L'eau est environ huit cents fois plus dense que l'air et à peu près cinquante-cinq fois plus visqueuse. Ces deux valeurs s'annulent presque. Il reste un facteur de 15,007, dont l'effet contredit souvent l'intuition des débutants : par unité d'inertie, l'air est le plus fluide des deux.
  
  $ν_{w} = \frac{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}}{998.2} = 1.0034 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, \frac{ν _{a}}{ν _{w}} = 15.007$
5. Égalez les deux nombres de Reynolds et déduisez-en la vitesse requise dans le tunnel. Réduire le tuyau d'un facteur dix multiplie la vitesse nécessaire par dix. Remplacer l'air par l'eau la divise par 15,007. Le fluide l'emporte, et la réponse tombe à 1,999 m/s. Malgré un modèle dix fois plus petit, l'eau y circule plus lentement que l'air qu'elle représente.
  
  $v_{m} = v_{d} \cdot \frac{D _{d}}{D _{m}} \cdot \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = 3.0 \cdot 10 \cdot \frac{1}{15.007} = 1.999 m/s$
6. Réglez l'outil sur l'eau, à 1,999 m/s et 0,040 m. La ligne Nombre de Reynolds affiche 79 689, contre 79 691 pour le conduit. Cet écart de deux unités découle du quatrième chiffre d'une vitesse donnée à quatre chiffres. La ligne Laminaire sous offre une autre façon de constater la correspondance. L'air du conduit devrait descendre sous 0,0866 m/s pour devenir laminaire, contre 0,0577 m/s pour l'eau du modèle. Chaque écoulement s'effectue ainsi à 34,6 fois sa propre limite.
  
  $Re_{m} = \frac{1.999 \cdot 0.040}{1.0034 \times 1 0 ^{- 6}} = 79, 689, \frac{3.0}{0.0866} \approx \frac{1.999}{0.0577} \approx 34.6$
7. Personne ne règle un tunnel sur 1,999. Arrondissez le cadran à 2,0 m/s et la ligne affichera 79 728. C'est 0,05 % trop haut. Or, 0,05 % d'un nombre de Reynolds reste bien en deçà de ce que les instruments du tunnel peuvent discerner.
  
  $v_{m} = 2.0 \Rightarrow Re_{m} = 79, 728, \frac{79 , 728}{79 , 691} - 1 = 0.05%$
Réponse

Environ 2,0 m/s à travers un modèle de 40 mm. L'exigence exacte est de 1,999 m/s. La page affiche un seul nombre de Reynolds par configuration, or ce nombre sert avant tout à effectuer des comparaisons. C'est pourquoi lire 79 689 face à 79 691 constitue la vraie réponse, et non un simple hasard. Ce qui se transpose du modèle au conduit est adimensionnel. Le coefficient de frottement et le coefficient de pression se transfèrent directement, contrairement aux pascals et aux newtons. Une différence de pression mesurée dans l'eau se convertit par le rapport des ρv², soit 998,2 × 2,0² contre 1,204 × 3,0². Le tunnel indique donc 368 fois la pression ressentie par le conduit.

$v_{m} = v_{d} \frac{D _{d}}{D _{m}} \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 10}{15.007} = 1.999 m/s$

Références (2)

Where the number and the threshold come from: O. Reynolds, "An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 174, 1883, pp. 935–982.
What the lower threshold actually marks, measured by timing whether turbulence survives: K. Avila, D. Moxey, A. de Lozar, M. Avila, D. Barkley & B. Hof, "The Onset of Turbulence in Pipe Flow." Science 333(6039), 2011, pp. 192–196.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.