Leçons Interactives de Mathématiques et Sciences
BAYES — UN RÉSULTAT POSITIF N'EST PAS LA MÊME CHOSE QU'ÊTRE MALADE
Trois nombres décident de ce que signifie un test positif : la fréquence de la maladie, la capacité du test à la détecter, et sa propension à crier au loup. Sensibilité et spécificité décrivent le test ; la prévalence décrit la population — et c'est généralement la prévalence qui fait les dégâts. Raisonnez en fréquences naturelles plutôt qu'en pourcentages et la réponse cesse d'être contre-intuitive : imaginez 1000 personnes, comptez les vrais positifs, comptez les faux, comparez.
01
Ce que vous savez: Prévalence 0,1 %, sensibilité 99 %, spécificité 99 %. Le test est aussi bon qu'un test peut l'être ; la maladie est vraiment rare.
Résultat: PPV ≈ 9%
Exemple résolu: Sur 10 000 personnes : 10 sont malades et environ 10 sont positives ; 9990 ne le sont pas et 100 sont positives quand même → VPP = 10/110 ≈ 9 %
Ouvrir ce cas: maladie rare, test précis
02
Ce que vous savez: Prévalence 10 %, sensibilité 95 %, spécificité 90 %. Un test nettement moins bon, appliqué là où la maladie est réellement fréquente.
Résultat: PPV ≈ 51%
Exemple résolu: Sur 1000 personnes : 100 sont malades et 95 sont positives ; 900 ne le sont pas et 90 sont positives → VPP = 95/185 ≈ 51 %
Ouvrir ce cas: maladie plus courante
03
Ce que vous savez: Prévalence 5 %, sensibilité 85 %, spécificité 97 % : le profil d'un test antigénique rapide pendant une flambée.
Résultat: PPV ≈ 60%, NPV ≈ 99%
Exemple résolu: Sur 1000 : 50 infectés, 43 détectés et 7 manqués ; 950 indemnes, 29 signalés à tort → VPP = 43/72 ≈ 60 % et VPN = 922/929 ≈ 99 %
Ouvrir ce cas: type covid
04
Ce que vous savez: Prévalence 2 %, sensibilité 99 %, spécificité 95 %. Presque aucun consommateur n'échappe au test, mais une personne saine sur vingt est accusée.
Résultat: PPV ≈ 29%
Exemple résolu: Sur 1000 : 20 consommateurs, 20 détectés ; 980 non-consommateurs, 49 signalés quand même → VPP = 20/69 ≈ 29 %, donc sept positifs sur dix sont innocents
Ouvrir ce cas: dépistage de drogues
Un second résultat positif. Il s'agit d'une prévalence de 0,1 % avec une sensibilité de 99 % et une spécificité de 99 % — une affection rare et un test excellent, où un seul résultat positif constitue notoirement une preuve faible. Calculez ce que vaut un second résultat positif indépendant.
C'est sous forme de cote, et non de probabilité, que les preuves se multiplient. Une personne sur mille présente l'affection, la position de départ est donc de 1 contre 999 — et c'est ce 999, non l'un ou l'autre cadran, qui fait tout le dégât.
Le rapport de vraisemblance compare la fréquence d'apparition d'un résultat positif dans chaque groupe. Les deux valeurs sont lues sur les cadrans : 99 % des personnes atteintes de l'affection sont testées positives, et une spécificité de 99 % laisse 1 % de toutes les autres personnes être également testées positives.
Multiplier la cote a priori par le rapport de vraisemblance constitue toute la règle de Bayes sous cette forme, et une cote de a contre b se reconvertit en a/(a+b). Un facteur de 99 représente une preuve considérable, qui s'incline pourtant encore, ayant commencé avec un retard de 999.
Un second test commence là où le premier s'est achevé — la cote a posteriori d'un résultat devient la cote a priori du suivant. Rien concernant le test lui-même n'a changé, ainsi le même facteur de 99 s'applique, cette fois à une cote qui n'est plus sans espoir.
Cette étape supposait que les deux résultats positifs étaient indépendants, ce que la répétition du même test échoue précisément à offrir. Si ce qui a signalé une personne saine la première fois — une protéine à réaction croisée, un échantillon mal étiqueté — la signale à nouveau la moitié du temps, les faux positifs ne diminuent que très peu.
Réponse
L'outil affiche 9,0 % pour un seul résultat positif, issu d'une substitution qui donne 0,090164 — soit les mêmes 99/1098. Deux résultats positifs indépendants amènent la probabilité à 90,75 % et trois à 99,90 %, car le facteur de 99 s'applique à chaque fois tandis que la cote a priori de 999 contre 1 n'est payée qu'une seule fois. C'est l'arithmétique sous-jacente aux tests de confirmation, et l'étape 5 en est la clause restrictive : une répétition corrélée aboutit à 16,4 %, à peine plus convaincant que le résultat unique qu'elle était censée confirmer. Le second test doit donc échouer différemment du premier — une molécule cible différente, un laboratoire différent, un mécanisme différent — faute de quoi la multiplication relève de la fiction. Le nombre à retenir est 99 : la sensibilité divisée par le taux de faux positifs représente tout le poids probant d'un test, et il s'agit d'un multiplicateur de cote plutôt que d'une réponse.
Parcours
