変化の蓄積と運動

速度を積分すると位置の変化量がわかり、速度の絶対値を積分すると実際に進んだ道のりが求まります。両者に違いが生じるのは、運動が向きを変えて引き返すときです。この画面では前進と後退の区間を色分けし、位置の推移を描くとともに、速度が平均値と一致する瞬間を表示します。

移動距離と変位	$\int_{a}^{b} v d t = s (b) - s (a), d = \int_{a}^{b} ∣ v ∣ d t$
平均値	$\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t$

計算例 — 変化の蓄積と運動

変位	1.3333
移動距離（折り返し点で分割）	4
平均速度	0.3333
平均の速さ	1
v が平均値と一致する時刻	0.8453, 3.1547

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レッスン

理論 — 変化の蓄積と運動

区間 [a, b] 上の速度 v(t) に対し、変位は ∫ₐᵇ v dt、移動距離は ∫ₐᵇ |v| dt と定義されます。また、[a, b] における関数 f の平均値は (1/(b − a))∫ₐᵇ f dt であり、これは f と等しい面積をもつ [a, b] 上の長方形の高さにあたります。

各記号の意味

v̄: 平均速度（変位を経過時間で割った値）

公式の導き方

移動距離：折り返し点で分ける。v の符号が変わる場所で物体は反転し、その前後で |v| の式が変わります。隣り合う折り返し点の間で積分し、それぞれの絶対値を足し合わせます。
$\int_{a}^{b} ∣ v ∣ d t = i \sum \int_{t_{i}}^{t_{i + 1}} v d t, v (t_{i}) = 0$
平均値は必ずとられる。[a, b] 上で連続な関数 f は、最小値 m と最大値 M の間のあらゆる値をとります。平均値もこの間にあるため、f はある点 c で自身の平均値と等しくなります。
$m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f d t \leq M \Rightarrow f (c) = \overset{ˉ}{f}$

全プロセスの詳細解説

平均値と、それをとる時刻 2 ステップ
[0, 3] における f(t) = t² の平均値と、f がその値をとる時刻を求めよ。

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1. 定積分を区間の長さで割ります：
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} t^{2} d t = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
2. 区間の内部で f(c) = 3 を解きます：
  
  $c^{2} = 3 \Rightarrow c = 3$
解答

平均値は 3、それをとる時刻は c = √3 ≈ 1.7321。区間の中点 1.5 ではなく、そこでの t² はまだ 2.25 です。

$\overset{ˉ}{f} = 3, c = 3 \approx 1.7321$
変位と移動距離 2 ステップ
質点が 0 ≤ t ≤ 4 において速度 v(t) = t² − 4t + 3 で運動するとき、その変位と移動距離を求めよ。

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1. 変位は速度の通常の定積分です：
  
  $\int_{0}^{4} (t^{2} - 4 t + 3) d t = [\frac{t ^{3}}{3} - 2 t^{2} + 3 t]_{0}^{4} = \frac{4}{3}$
2. v = 0 となる t = 1 と t = 3 で向きを変えるため、そこで区間を分割します：
  
  $\frac{4}{3} + - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$
解答

変位は 4/3、移動距離は 4。三つの区間をそれぞれ 4/3 ずつ動いており、中央の区間だけが後退しています。

$Δ s = \frac{4}{3}, d = 4$
速度と初期位置から位置を求める 2 ステップ
v(t) = 3t² − 6t、s(0) = 2 のとき、s(t) と t = 3 における位置を求めよ。
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1. 位置は、初期位置に速度の累積を足したものです：
  
  $s (t) = 2 + \int_{0}^{t} (3 τ^{2} - 6 τ) d τ = t^{3} - 3 t^{2} + 2$
2. t = 3 において：
  
  $s (3) = 27 - 27 + 2 = 2$
解答

s(t) = t³ − 3t² + 2、かつ s(3) = 2。出発点に戻っています。t = 2（位置 s = −2）まで後退し、そこからふたたび前進した結果です。

$s (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 2, s (3) = 2$
正弦関数の平均値 1 ステップ
[0, π] における sin t の平均値を求めよ。

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1. 山ひとつの積分を、その幅で割ります：
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin t d t = \frac{1}{π} [- cos t]_{0}^{π} = \frac{2}{π}$
解答

2/π ≈ 0.6366。画面には、この平均値をとる二つの時刻（0.6901 と π − 0.6901 = 2.4515）が示されています。

$\overset{ˉ}{f} = \frac{2}{π} \approx 0.6366$
変化率からの累積 1 ステップ
0 ≤ t ≤ 5 において、水が毎分 r(t) = 20 − 4t リットルの割合で水槽に流れ込みます。流入した水の総量を求めよ。
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1. 総量は変化率の積分になります：
  
  $\int_{0}^{5} (20 - 4 t) d t = [20 t - 2 t^{2}]_{0}^{5} = 100 - 50$
解答

50 リットル。流入率は t = 5 で 0 まで落ちるため、この総量は底辺 5、高さ 20 の三角形の面積そのものであり、微積分を使わずとも確かめられます。

$50 L$
往復運動 2 ステップ
[0, 2π] における v(t) = sin t について、平均速度と平均の速さを求めよ。

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1. ひとめぐりの変位は 0 です：
  
  $\int_{0}^{2 π} sin t d t = 0$
2. 移動距離は π で区間を分割します：
  
  $\frac{1}{2 π} (\int_{0}^{π} sin t d t - \int_{π}^{2 π} sin t d t) = \frac{4}{2 π} = \frac{2}{π}$
解答

平均速度 0、平均の速さ 2/π ≈ 0.6366。どれほど速く動こうとも、元の場所に戻る往復運動の平均速度は常に 0 です。

$\overset{v}{ˉ} = 0, \frac{2}{π} \approx 0.6366$

変位は行き着いた場所を示し、どれだけ動いたかを語るのは移動距離だけです 🖖

3倍の道のりを押してください。速度 t² − 4t + 3 は t = 1 まで正、1 から 3 まで負、その後ふたたび正になります。[0, 4] で積分すると後退した区間が前進分を打ち消すため、物体は初期位置から 1.3333 離れた場所に着きます。しかし実際の移動距離は、その 3 倍にあたる 4 です。三つの区間がそれぞれ 4/3 ずつ進んでおり、絶対値をとって初めて、すべてが正の距離として足し合わされるからです。速度の積分が答えるのは『どこへ着いたか』です。どれだけ動いたかを知るには、向きが変わるたびに区間を分け、正の数として足し合わせる必要があります。

平均値はどこかで必ずとられますが、中央とは限りません 🖖

t²：中点からずれる平均を押してみましょう。[0, 3] における t² の平均値は 9/3 = 3 であり、破線は t = √3 ≈ 1.7321 で曲線と一度だけ交わります。区間の中点は 1.5 ですが、そこでの t² はまだ 2.25 にすぎません。連続関数であれば、平均値は最小値と最大値の間に収まるため、中間値の定理によって平均値をとる場所がどこかに必ず存在します。それがどこになるかは関数の形状次第であり、t² のように終盤で急増する関数では、平均値に達する時刻も遅くなります。

ひと往復の平均速度は 0 ですが、平均の速さは 0 にはなりません 🖖

一往復を押してみましょう。一周期を通して見ると、sin t は前進して元の位置へと戻ります。始点と終点の間で静止するのは折り返しの瞬間だけですが、変位は 0 なので平均速度も 0 です。移動距離を時間で割った平均の速さは 4/(2π) = 2/π ≈ 0.6366 です。今度は半往復を押してみてください。[0, π] における sin t の平均も、同じく 2/π になります。偶然ではありません。後半も前半と同じ時間をかけて同じ距離を進むため、一往復を通した平均の速さが、半往復での平均速度と一致するのです。

学習の道すじ

積分の応用

参考文献 (2)

Displacement against distance as the page computes them: the Net Change Theorem (Theorem 5.6, F(b) = F(a) + ∫ₐᵇ F′(x) dx) and Examples 5.24 and 5.25, net displacement from ∫v and total distance from ∫|v| split where v changes sign: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.4, “Integration Formulas and the Net Change Theorem”.
The average value reached somewhere: the Mean Value Theorem for Integrals (Theorem 5.3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。