ピタゴラス・ラボ

二辺を決めます。定理を面積として読み、垂線が証明するのを見て、それから定理が住んでいる面を曲げて、成り立たなくなるところを見てください。

計算例 — ピタゴラス・ラボ

a² + b²	25
c²	25
ピタゴラス数	1

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インタラクティブシミュレーションを読み込んでいます...

証明は隣のツールそのもの 🖖

直角から斜辺へ垂線を下ろします。足は c を p と q の二つに分け、小さな三角形を二つ作ります。どちらも元の三角形と三つの角が同じ、つまり相似です。相似な三角形の辺は比例し、その比例から一方には a² = c·p、もう一方には b² = c·q が出ます。足せば a² + b² = c(p + q) = c²。定理の全体は、一本の垂線と「形とは角度である」という事実だけでできています。

これは三角形ではなく、平坦さについての主張 🖖

曲率のスライダーを動かすと、a² + b² = c² が成り立たなくなる。球面では第三辺が短くなり、双曲面では長くなる。それでも、どちらの曲面にも不思議なことは起きていない。直角は直角のままで、二つの直角辺も3と4のままだ。変わったのは空間である。

これに代わる関係式 cos(c/R) = cos(a/R)·cos(b/R) と cosh(c/R) = cosh(a/R)·cosh(b/R) は、Rが大きくなると、どちらも c² = a² + b² に近づく。それぞれの展開で最初に残るのが二次の項だからだ。このため、ピタゴラスの定理はユークリッドの平行線公準と論理的に同値であり、一方を仮定すれば他方を証明できる。通常の測量ならこの違いを無視できるが、地球規模、あるいは時空の尺度を扱うなら無視できない。

角度も別の現象ではない。内角の和と180°との差は、曲率と面積の積に正確に等しい。これがガウス＝ボネの定理である。このツールは曲面三角形の面積を直接測らず、三つの角から読み取っている。

正方形はたまたま — そして余りは正方形にできる 🖖

定理は正方形を要求していません。三辺の上にどんな図形を建ててもよく、三つが互いに相似でありさえすれば、二辺の上の図形は合わせて斜辺の上の図形になります。ユークリッド『原論』第 6 巻命題 31 で、成り立つ理由はここの他のすべてと同じ、面積は長さの二乗で増えるからです。半円を使うと驚くべきものが落ちてきます。斜辺の上の半円はちょうど直角を通り、その外側に残る二つの月形は、合わせるとちょうど三角形の面積になります。キオスのヒポクラテスが紀元前 440 年ごろに見つけたもので、曲線で囲まれた領域が直線図形とぴったり同じ面積を持つと示された最初の例でした。

名前より古く、その名前はたぶん間違っている 🖖

サモスのピタゴラスは著作を残しておらず、彼への帰属が現れるのは没後何世紀もたってからです。関係そのものははるかに古く、複数の場所で独立に現れます。紀元前 1800 年ごろのバビロニアの粘土板プリンプトン 322 にはこれを満たす数が並びますが、エレノア・ロブソンの再評価はこの板を、三つ組の表そのものではなく逆数の対を扱う教師の練習問題だと論じています。供犠の祭壇を配置するための手引き『バウダーヤナ・シュルバスートラ』は、ユークリッドより数世紀早く対角線の規則を述べますが、何も証明はしません。中国では句股の規則が『周髀算経』に現れ、分割図はふつう 3 世紀の趙爽の注に帰されます。紀元前 300 年ごろユークリッドが『原論』第 1 巻命題 47 でもたらしたのは、現存する最初の証明であり、それこそ他の誰も書き残していなかった部分です。のちにエリシャ・ルーミスは一冊に 370 通りの証明を集めました。

どのピタゴラス数も円上の有理点 🖖

a² + b² = c² の両辺を c² で割ると、x と y が有理数である方程式 x² + y² = 1 が得られる。したがって、ピタゴラス数は本質的には三角形の話ではない。単位円上の有理点のことであり、そのすべてを求める整然とした方法がある。(−1, 0) から有理数の傾きをもつ直線を引くと、円とのもう一つの交点も有理点になる。また、(−1, 0) 自身を除く円上の有理点は、どれもこの方法でただ一度だけ得られる。ユークリッドの m と n はここから生まれ、このツールが a、b、c からそれらを逆算できるのも同じ理由による。この方法が成り立つのは、有理点を一つもつ円が種数0の曲線だからである。同じことを x³ + y³ = 1 で試すとうまくいかない。この曲線の種数は1であり、一つの有理点を通る直線は、さらに一つではなく二つの点で曲線と交わるため、先ほどの仕組みが使えない。種数1だけでは、有理点がいくつあるかも決まらない。楕円曲線には無限個の有理点が存在することもあるが、この曲線にあるのは (1, 0) と (0, 1) だけである。これは指数3の場合のフェルマーの最終定理に当たり、証明したのはオイラーだった。ピタゴラスとフェルマーを隔てているのは、この種数ただ一つである。

全プロセスの詳細解説

斜辺 1.4142 が分数で表せない数であることの証明 5 ステップ
ツールが 1.4142 と表示する斜辺が、いかなる分数でも表せない数であることを示せ。これは2つの直角辺をともに 1 に設定した証明表示であり、定理から導かれるのは c² = 2 のみで、他に考慮すべき要素はない。
1. 2つの直角辺が 1 であれば c² = 2 となり、2 は平方数ではないため、c は整数ではない。この部分は容易である。難しい主張は、c が分数でもないということである。そして、これまで行われたあらゆる測定値は分数であった。
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 ⟹ c = 2 = 1.4142 \dots$
2. c が分数であると仮定し、それを既約分数として表す。あらゆる分数はそのような形式を持つため、この仮定は何の支障もない。二乗して分母を払うことで、長さに関する主張が2つの整数に関する主張へと変換される。これこそが、この証明において考案を要した唯一の操作である。
  
  $2 = \frac{p}{q}, g cd (p, q) = 1 ⟹ p^{2} = 2 q^{2}$
3. 奇数の二乗は奇数になるため、p² が偶数であれば p 自身も偶数でなければならない。p = 2m を代入して両辺を割ると、q は直前の p と全く同じ状況に置かれ、今や両者が偶数となる。これは自由に選んだ既約分数という前提に矛盾する。この議論において誤りとなり得るものは、最初の仮定だけである。
  
  $2 ∣ p^{2} \Rightarrow 2 ∣ p; p = 2 m : 4 m^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 m^{2} \Rightarrow 2 ∣ q ⟹ g cd (p, q) \geq 2$
4. したがって、p² = 2q² は整数解を一切持たない。目標を 1 だけずらすと解は無限に存在する。次々と組が p² − 2q² = ±1 を満たし、1 は整数の間の 0 でない差として最小の値である。相対的な意味において、この惜しい近似はいくらでも精度がよくなるが、その差が埋まることは決してない。
  
  $p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1 : (3, 2), (7, 5), (17, 12), (41, 29), (99, 70), 9 9^{2} - 2 \cdot 7 0^{2} = 9801 - 9800 = 1$
5. その差を因数分解することにより、この惜しい近似は誤差へと変換される。分子は前行の ±1 であるため、誤差全体はおよそ 2√2 q² の大きさの数で 1 を割ったものとなる。√2 の優れた近似の精度は、p に関する工夫からではなく、q が大きいことによってもたらされる。
  
  $\frac{99}{70} - 2 = \frac{9 9 ^{2} - 2 \cdot 7 0 ^{2}}{70 ( 99 + 70 2 )} = \frac{1}{13 859.65} = 7.2152 \times 1 0^{- 5}$
解答

ツールがこの三角形に対して表示する数値はすべて四捨五入されたものである。c については 1.4142、高さおよび斜辺を分割する2つの線分（これら3つはいずれも c/2 である）については 0.7071 である。小数点以下4桁というのは表示の限界ではなく、どれほど幅の広い表示であっても完了することはなく、ステップ 3 がその理由である。直ちに導かれる1つの帰結は、a = b を満たすピタゴラスの三つ組は存在しないということである。なぜなら、そのためには p² = 2q² を満たす整数が必要となるからであり、したがって、3辺がすべて整数である無限に存在する直角三角形のうち、二等辺三角形であるものは1つもない。もう1つは、1.4142 に到達不可能であることは曖昧な理由ではなく測定可能な意味においてである、ということだ。99/70 の誤差は 7.2 × 10⁻⁵ であり、239/169 はさらに精度がよく、以降のすべての組において差は ±1 のままである。古代ギリシャ人はこれらの組を「辺と対角線の数」として知っており、何世紀にもわたってこれを用いて建造を行ってきた。これこそが不可能に対する実用的な答えである。すなわち、√2 そのものを得ることはできないが、対価を支払う気がある限り、必要なだけの桁数を得ることができるのである。

$p^{2} = 2 q^{2} ⟹ g cd (p, q) \geq 2 p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1 : (3, 2), (7, 5), (17, 12), \dots$
5, 12, 13の整数の組を生成した手順 6 ステップ
最初の問題は、単位正方形の対角線が無理数であることを示しました。ここでは 5、12、13 がすべて整数で、パネルはそれを生んだ組 (m, n) = (3, 2) まで表示しています。ならば難しいほうを問いましょう。この作り方はそうした三つ組をすべて捉えるのか——そしてそれらすべてに、こっそり共通しているものは何か。
1. パネルから始めます。25 と 144 の和は 169、そして 169 はちょうど 13²。だからこの三角形には名前が付く価値があります。
  
  $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$
2. ユークリッドの作り方は、任意の 2 つの整数から三つ組を返します。平方を展開すれば交差項は打ち消し合い、恒等式は任意の m と n で成り立つ。つまり失敗しようがありません。
  
  $a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2} ⟹ a^{2} + b^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2} = c^{2}$
3. パネルの組は (3, 2) で、そこから 5-12-13 が出ます。代わりに (2, 1) を与えれば 3-4-5 です。
  
  $(m, n) = (3, 2) : (9 - 4, 12, 9 + 4) = (5, 12, 13); (m, n) = (2, 1) : (3, 4, 5)$
4. しかしすべてを捉えるでしょうか。定理を c² で割ると問いの形が変わります——単位円上にある有理座標の点はどれか。そのどれにも、(−1, 0) を通る有理傾きの直線が届き、t = n/m がまさにその傾きです。したがって一覧は完全で、隠れられる三つ組はありません。
  
  $(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1 ⟹ \frac{a}{c} = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, \frac{b}{c} = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, t = \frac{n}{m} \in Q$
5. そして秘密は、平方数が「ほとんど何にもなれない」ことから来ます。法 3 では平方数は 0 か 1、決して 2 にならない。法 5 では 0、1、4。法 8 でもやはり 0、1、4。a² + b² = c² をそこに通すと、可能性は一気に崩れます。
  
  $x^{2} \equiv 0, 1 (mod 3); x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 5); x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 8)$
6. 議論を信用する代わりに、数えましょう。斜辺が 100 未満の原始三つ組は 16 個です。
  
  $c < 100 : 16 ⟶ 3 ∣ ab : 16/16, 4 ∣ ab : 16/16, 5 ∣ ab c : 16/16$
解答

どの原始三つ組にも、3 で割り切れる辺、4 で割り切れる辺、5 で割り切れる辺がある——だから 3 辺の積はつねに 60 の倍数です。斜辺 100 未満の 16 個すべてで確認: どの条件も 16/16。3-4-5 では偶然に見えます。3 つの約数がそれぞれ別の辺に落ちるからです。5-12-13 では、たった 1 本の辺 12 が 3 と 4 の両方を担い、5 は斜辺から直角を挟む辺へ移っています。ツールが描くのは一度に 1 つの三角形で、この模様はすべてをまとめて見たときにしか存在しません。

$3 ∣ ab, 4 ∣ ab, 5 ∣ ab c ⟹ 60 ∣ ab c$

学習の道すじ

三角形の公式は、どこから来るのか

この次に任意の三角形を解く a² + b² = c² と、それに伴う制約です。これは直角三角形についてだけの主張であり、角度が 90° でなくなった瞬間に必要になるのが次のツールです。

参考文献 (5)

42Math チーム · 更新 2026-08-17

公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。編集方針 · 訂正

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例題

3-4-5 - 二辺の正方形は 9 と 16、斜辺の正方形は 25 を収めます。m = 2、n = 1 から生まれるピタゴラス数です。
5-12-13 - 25 + 144 = 169 なので c はちょうど 13。m = 3、n = 2 から出る二つめの組で、3-4-5 が魔法ではなく規則の一例であることの証拠です。
学派を壊した三角形 - 長さ 1 の二辺から c = 1.4142… が出ますが、整数の分数でこの値になるものはありません。証明ビューでは垂線がちょうど真ん中に落ちます。この対称性が、議論するのに最も易しい場合にしています。
球面上 - 同じ辺 3 と 4 を、半径 3.6199 の球面上に置きます。斜辺は 5 ではなく 4.5698 になります。面が自分自身のほうへ曲がるので、第三の辺が渡る距離が短くて済むのです。
双曲 - 同じ辺 3 と 4 を、同じ半径の双曲面上に置きます。今度は斜辺が 5.3118 と、5 より長くなります。その二つのあいだに平坦な場合があり、c がちょうど 5 になるのはそこだけです。