原子核の結合エネルギーと質量欠損

原子核を選ぶと、陽子と中性子を別々に量った質量、原子の質量、その差をE = mc²でエネルギーに換算した値が表示される。反応を選べば、その両辺について同じ計算を行い、放出されるエネルギーを求める。質量はすべて2020年原子質量評価に基づく。

計算例 — 原子核の結合エネルギーと質量欠損

中性子数	30
構成粒子を別々に量った質量	56.463398 u
原子の質量	55.934936 u
質量欠損	0.528463 u
結合エネルギー	492.260 MeV
核子当たり結合エネルギー	8.7904 MeV
原子核の核子当たり質量	0.998583 u
反応前の質量：n + U-235	236.052593 u

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レッスン

理論 — 原子核の結合エネルギーと質量欠損

原子核の質量は、それをつくる陽子と中性子の質量の合計より小さい。その差が質量欠損であり、c²を掛けたものが結合エネルギーBである。原子核を完全にばらばらにするために必要なエネルギーに当たる。これを核子数Aで割るとB/Aとなり、核子一個が平均してどれだけ強く結びついているかがわかる。Aに対するB/Aの曲線からは、どの反応がエネルギーを放出するかを読み取れる。同じ数の陽子と中性子が、反応後にいっそう強く結びついていれば、結合エネルギーの増加分が外へ出る。軽い原子核が結合する核融合でも、重い原子核が分かれる核分裂でも同じである。反応が放出するエネルギーをQ値といい、反応前から反応後を引いた質量にc²を掛けて求める。

各記号の意味

Z: 陽子数。元素の種類を決める
N: 中性子数。A − Z
Δm: 質量欠損。Z個の水素原子とN個の中性子を別々に量った質量から、原子の質量を引いたもの。単位はuで、1 uは931.494 MeVに相当する
B: 結合エネルギー、Δm c²。曲線に描かれる量はB/A
Q: 反応が放出するエネルギー。失われた質量にc²を掛けたもの。正ならエネルギーが外へ出るが、反応の速さや、実際に反応が起こるかどうかは示さない

前提: 原子質量評価表に載っている原子質量を用いるため、電子は反応の両辺に含まれて相殺される。電子自身の結合エネルギーは分けて扱わない。これは評価表におけるBの定義とも同じで、ウランでさえMeVに届かず、原子核の結合エネルギーの一万分の数程度にすぎない。核子当たり質量では、電子質量をZ個分引いて原子核だけの質量を求める。残された電子の結合エネルギーによるずれは、鉄とニッケルなら0.000001 u未満で、両者の差よりはるかに小さい。Qはニュートリノが運び去る分も含めた総放出エネルギーである。太陽では約2%がニュートリノに渡り、熱として観測されることはない。扱うのは基底状態だけで、原子核は静止し、励起していないものとする。
成り立たない場合: 計算そのものが破綻することはない。測定された質量を引いているだけだからである。ただし、このページから反応の速さはわからない。Qが正であることは、エネルギーを放出できるという意味にすぎず、実際に反応するとは限らない。ウラン238は二つに分かれたときのQが正でも、自然にはほとんど分裂しない。重水素と三重水素も、実用的な速さで核融合させるには約一億ケルビンまで加熱する必要がある。また、核分裂の行は特定の一組の核分裂片を示したものだ。実際の原子炉ではさまざまな核分裂片が生じ、それぞれQが異なる。

核子を最も強く結びつけるのは鉄56ではなくニッケル62 🖖

鉄56を押し、続いてニッケル62を押してみよう。核子当たり結合エネルギーは鉄56が8.7904 MeV、ニッケル62が8.7946 MeVで、その間に8.7923 MeVの鉄58がある。ニッケル62はこのページだけでなく、2020年原子質量評価に収録されたすべての原子核の中でも第一位である。実測値か推定値かは問わない。鉄56が答えになるのは、別の問いだ。原子核の質量を核子数で割ると、鉄56の0.998583 uに対してニッケル62は0.998597 uとなり、鉄56の方が軽い。陽子は中性子より軽く、陽子の割合も鉄56では46.4%、ニッケル62では45.2%だからである。それぞれ、相手が首位の順位では三位に入る。二つ目の図には両方の順位を示した。M・P・フューウェルは1995年、端的に平均結合エネルギーが最大の原子核種と題した論文でデータを示し、鉄56だという通説は恒星内元素合成の研究から生じたのではないかと述べている。

ベリリウム8の結合は、材料となる二つのヘリウム原子核より弱い 🖖

ベリリウム8を押してみよう。結合エネルギーは56.499 MeV。一方、ヘリウム4原子核二個を合わせると2 × 28.296 = 56.591 MeVになる。八個の核子は、一つの原子核にまとまるより、二つのα粒子に分かれた方が強く結びつく。そのためベリリウム8は外からエネルギーを与えなくても自然に分裂し、差に当たる91.84 keVを放出する。ヘリウム4は大きさの割に結合がきわめて強く、核子当たり7.0739 MeV。炭素12までのどの原子核より大きい。このため質量数5または8には安定な原子核が存在しない。ビッグバン直後の数分間、この空白が原子核の成長をヘリウムまでで止め、重水素、ヘリウム3、リチウム7がわずかに残った。恒星は三個のヘリウム原子核を同時に結合させて炭素12をつくり、この空白を越える。反応表に示した放出エネルギーは7.275 MeVである。

一回の反応では核分裂、燃料の質量当たりでは核融合 🖖

ウラン235（核分裂）を押してみよう。中性子とウラン235原子核がバリウム141、クリプトン92、三個の中性子に変わり、Qは173.278 MeVとなる。重水素–三重水素核融合の17.589 MeVの十倍近い。ところが割合の欄を見ると、核分裂でエネルギーになる質量は0.07881%、D–T核融合では0.3754%、太陽の水素燃焼では0.7119%である。燃料1 kg当たりでは、核分裂が7.08×10¹³ J、D–T核融合が3.37×10¹⁴ Jで、後者は五倍近い。水素からヘリウムへの反応なら6.40×10¹⁴ Jに達する。理由は曲線の形に表れている。核分裂では236個の核子が、緩やかな右側の斜面から中央へ一個当たり734.23 keVだけ上がる。核融合では少数の核子が左側の急斜面を大きく上がり、D–Tなら一個当たり3.518 MeVを得る。核分裂片は放射性であり、その後の崩壊でもエネルギーが生じるが、ここで示したQには含めていない。

全プロセスの詳細解説

太陽は毎秒どれだけの水素を燃やすか 5 ステップ
太陽は3.828×10²⁶ Wを放射している。これは国際天文学連合が2015年に採択した公称太陽光度である。太陽は毎秒どれだけの質量を失い、どれだけの水素をヘリウムに変えているのだろう。最初の二段階ではヘリウム4（太陽）を押してみよう。

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1. 四個の水素原子の質量は4 × 1.007825 u、一個のヘリウム4原子は4.002603 uである。この差にc²を掛けると、一連の反応が一回完了したときのエネルギーになる：
  
  $Q = (4 \times 1.007825 - 4.002603) u \times 931.494 MeV/u = 0.028697 \times 931.494 = 26.731 MeV$
2. 反応前の質量に対する割合は、ページの表示どおり：
  
  $\frac{Q}{\sum M c ^{2}} = \frac{0 . 028697}{4 . 031300} = 0 . 7119%$
3. 太陽から出ていく光は、失われる質量でもある。光度をc²で割る：
  
  $\frac{Δ m}{Δ t} = \frac{L _{⊙}}{c ^{2}} = \frac{3 . 828 \times 1 0 ^{26} W}{( 2 . 998 \times 1 0 ^{8} m/s ) ^{2}} = 4.259 \times 1 0^{9} kg/s$
4. 水素1 kgは、その0.7119%をエネルギーとして失う。したがって、燃やす必要がある水素の質量は、失われる質量をこの割合で割ればよい：
  
  $\frac{4 . 259 \times 1 0 ^{9} kg/s}{0 . 007119} = 5.983 \times 1 0^{11} kg/s$
5. 残った質量がヘリウムになる：
  
  $5.983 \times 1 0^{11} - 4.259 \times 1 0^{9} = 5.941 \times 1 0^{11} kg/s$
解答

太陽が毎秒失う質量は4.259×10⁹ kg、四百万トン余りである。そのために5.983×10¹¹ kg、約600百万トンの水素を5.941×10¹¹ kgのヘリウムへ変えている。太陽光度には、各反応でニュートリノが運び去る約2%のエネルギーが含まれない。実際の水素燃焼率は、この計算より約2%大きい。

$\overset{m}{˙}_{H} \approx 6 \times 1 0^{11} kg/s \overset{m}{˙}_{γ} = 4.26 \times 1 0^{9} kg/s$

参考文献 (3)

Every mass on the page: the 2020 Atomic Mass Evaluation's table of mass excesses and binding energies per nucleon, which this page reproduces to under 1 eV for all 98 bound nuclei it carries: M. Wang, W. J. Huang, F. G. Kondev, G. Audi and S. Naimi, "The AME 2020 atomic mass evaluation (II). Tables, graphs and references." Chinese Physics C 45(3), 2021, 030003. DOI 10.1088/1674-1137/abddaf
The paper that corrected the textbook belief that iron-56 is the most tightly bound nucleus: iron-58 and nickel-62 are both bound more strongly, and nickel-62 most of all. It suggests the belief came from studies of stellar nucleosynthesis: M. P. Fewell, "The atomic nuclide with the highest mean binding energy." American Journal of Physics 63(7), 1995, pp. 653-658. DOI 10.1119/1.17828
The solar luminosity the worked problem starts from, 3.828×10²⁶ W, the nominal value the International Astronomical Union adopted in 2015, rounded from a best estimate of (3.8275 ± 0.0014)×10²⁶ W: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 2016, 41. DOI 10.3847/0004-6256/152/2/41

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