米国債（ビル、ノート、ボンド）：利回りが価格にどう作用するか

2026年のある日に米国債を額面で購入し、別の日における価格の変化を観察します。使用するデータは、米財務省が日々公表している名目および物価連動イールドカーブの実際の数値です。

計算例 — 米国債（ビル、ノート、ボンド）：利回りが価格にどう作用するか

2026年長期ゾーンの検証	9月4日
利回りの変動幅	+38 bp
実質利回り（TIPS）	+33 bp
ブレークイーブン・インフレ率	+5 bp
額面100あたりの価格	94.28
購入時からの変動	−5.72%
修正デュレーション	15.70
価格1%あたりのベーシスポイント	6

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レッスン

理論 — 米国債（ビル、ノート、ボンド）：利回りが価格にどう作用するか

債券（ボンド）とは、あらかじめ定められた日に一定の金額を支払うという約束です。その価格と利回りは、一つの事実を二つの異なる方法で表現したものにすぎません。つまり利回りとは、約束された将来の支払額を現在の価格に一致させる、ただ一つの割引率なのです。支払額が固定されている以上、両者は常に逆方向にしか動きません。

各記号の意味

P: 額面100あたりの価格
c: 年間クーポン（半期ごとに二回払い）
y: 年間利回り
n: 残りの支払い回数
D: 修正デュレーション（利回りが一パーセントポイント上昇した際の価格の下落率）

前提: 約束通りの支払いが実行されることを前提としています。米国債の利回りにはデフォルト・プレミアムが含まれておらず、それがこの学習において理想的な題材となる理由です。ここでの価格はクーポン支払日に算出されるため、経過利息は考慮されません。また、すべての証券は額面で購入されるため、表面利率は購入日の利回りと等しくなります。
成り立たない場合: デュレーションは曲線に当てはめられた直線であるため、損失を過大に、利益を過小に見積もる傾向があり、その誤差は利回りの変動幅が大きくなるほど拡大します。本年で見れば、2年債で0.02パーセントポイント、30年債で0.25パーセントポイントの誤差が生じています。この曲がり具合こそがコンベクシティ（凸性）です。グラフには双方の線が描かれているため、二つが乖離していく様子を確認できるでしょう。またデュレーションは、イールドカーブ全体が並行に移動することを前提としています。しかし2026年のように短期ゾーンが長期ゾーンの二倍以上動いた局面では、この前提は成り立ちません。

2026年、長期ゾーンは最も上昇幅が小さかったにもかかわらず最大の損失を出した 🖖

九月4日までの八か月間で、2年債利回りは90ベーシスポイント、30年債利回りは38ベーシスポイント上昇しました。一月2日にそれぞれを額面で購入し、九月のカーブで再評価してみましょう。2年債の価値が98.29であるのに対し、30年債は94.28となります。長期債は、わずか0.42倍の利回り変動に対して3.35倍もの損失を出したことになります。その理由はすべてデュレーションにあり、ツールにも表示されている通り、15.70年に対して1.92年という差が背景にあります。銘柄の選択リストを下に動かし、利回りの変動幅が縮小しているにもかかわらず損失が拡大していく様子を観察してください。

インフレの影響はほぼ皆無だった 🖖

米国財務省は物価連動国債について第二の曲線を公表しており、これら二つの曲線の差が市場の織り込むインフレ率となります。今年、30年債の利回りが上昇した38ベーシスポイントのうち、33は実質利回りによるものでした。実質利回りは2.63%から2.96%へと上がり、8月17日には3.06%に達しました。期待インフレ率によるものは5でした。長期利回りの高さはインフレ懸念で説明されるのが常ですが、今回その要因はほとんど働いていないのです。

三十年のインフレ率は十年のインフレ率よりも低く織り込まれており、それは年間を通して変わらない 🖖

九月4日の時点で、ブレークイーブン・インフレ率は十年が2.35%、三十年が2.28%でした。インフレが何十年にもわたって複利で進行すると予想する人にとっては完全に逆転した状況ですが、これは決して一日の気まぐれではありません。記録されている171営業日のうち170日でこの状態が続いていました。10年債を選択してブレークイーブン・インフレ率を確認し、次に30年債を選択して見比べてください。

94という価格は、売却しない限り損失ではない 🖖

94.28の30年債であっても、満期になれば100が支払われ、その間にはすべてのクーポンも支払われます。損失を被るのはあくまで売却する人です。だからこそ、満期まで保有するかどうかの違いによって、ある銀行は同じ債券を94で保有し、別の銀行は100で保有するということが起こり得ます。そしてこの違いこそが、2023年にシリコンバレー銀行の運命を決定づけたものでした。価格カードに表示されているのは、今日もし売却した場合に他の誰かが支払ってくれる金額にすぎません。

現在、イールドカーブ上のすべての年限において、調達コストが既存債務の支払い金利を上回っている 🖖

七月31日の時点で、利子を伴うすべての連邦債務の平均金利は3.447%でした。これに対し、九月4日のカーブ上で最も低コストな一か月物の一定満期利回りは3.79%であり、三十年債は5.24%となっています。古い債務が満期を迎え、新たな借り換えが行われるにつれて、この平均金利はカーブに向けて上昇していきます。これは、今後個別の利回りが一切動かなかったとしても確実に起こる現象です。

全プロセスの詳細解説

どちらの損失が大きいか：二年債の90ベーシスポイント、それとも三十年債の38ベーシスポイント？ 7 ステップ
どちらも2026年の一月2日に額面で購入されたとします。九月4日までの八か月間で、2年債の利回りは90ベーシスポイント上昇し、30年債の利回りはその半分にも満たない38ベーシスポイントの上昇でした。価格カードを見る前に、どちらがどれだけの損失を出したのかを計算してみましょう。
1. デュレーションとは、債券から得られる資金がいつ手元に届くのかを加重平均したものであり、各支払いは価格に占める割合によって重み付けされます。二年債は、そのほぼすべてを二年のうちに支払います。一方、三十年債には三十年後に支払われるクーポンが存在し、そうした遠い未来の支払いほど割引率から受ける影響が大きくなります。
  
  $D = \frac{\sum _{t} t \frac{C _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}}{\sum _{t} \frac{C _{t}}{( 1 + i ) ^{t}}}$
2. 額面で購入された債券には閉じた公式があるため、六十もの項を手作業で足し合わせる必要はありません。半期ごとの利回りをi、半期の数をnとすると、マコーレー・デュレーションは ((1 + i) / i) × (1 − (1 + i)⁻ⁿ) となり、半期を単位として計算されます。
  
  $at par : D = \frac{1 + i}{i} (1 - (1 + i)^{- n}) half-years$
3. 二年債の場合：i = 3.47 / 200 = 0.01735、そして n = 4 です。これにより3.8988半期、つまり1.9494年となります。
  
  $i = \frac{3 . 47}{200} = 0.01735, n = 4 : D = 3.8988 \to 1.9494 years$
4. 三十年債の場合：i = 4.86 / 200 = 0.02430、そして n = 60 です。これにより32.1709半期、つまり16.0854年となります。満期が十五倍であることから、二年債の数値の八倍の長さを持っています。
  
  $i = \frac{4 . 86}{200} = 0.02430, n = 60 : D = 32.1709 \to 16.0854 years$
5. 修正デュレーションは、それぞれを (1 + i) で割って求めます。結果は1.9162と15.7038です。価格の変化はおおよそ −D と利回り変動の積となるため、この問題で必要とされているのはこの数値です。
  
  $D_{mod} = \frac{D}{1 + i} : 1.9162 and 15.7038$
6. 二年債：−1.9162 × 0.90% = −1.725%。三十年債：−15.7038 × 0.38% = −5.967%。
  
  $\frac{Δ P}{P} \approx - D_{mod} Δ y : - 1.9162 \times 0 . 90% = - 1 . 725%, - 15.7038 \times 0 . 38% = - 5 . 967%$
7. ここで正確な価格の変化を比較してみます。結果はそれぞれ−1.71%と−5.72%です。デュレーションによる見積もりは、二年債で0.02パーセントポイント、三十年債で0.25パーセントポイント、両者とも過大に評価されていました。
  
  $2-year 30-year Δ y + 0 . 90% + 0 . 38% duration says - 1 . 725% - 5 . 967% actual - 1 . 71% - 5 . 72% error 0.02 0.25$
解答

二年債が1.71%であったのに対し、三十年債は5.72%の損失を出しました。これは0.42倍の利回り変動から3.35倍の損失が生じたことになります。デュレーション単独の予測値は3.46倍であり、この差がコンベクシティです。価格と利回りの関係は曲線を描きますが、デュレーションは購入点におけるその曲線の接線にすぎず、債券の期間が長いほど、直線は早く曲線から乖離していくのです。「価格と利回り」のパネルを開き、二つが一緒に描かれている様子を確認してください。曲線は常に上向きに曲がっているため、誤差は一方通行となります。つまり、デュレーションは常に損失を過大に見積もり、利益を過小に見積もることになるのです。

$\frac{5 . 72}{1 . 71} = 3.35 from \frac{0 . 38}{0 . 90} = 0.42$

参考文献 (2)

The two curves this tool is built from, and how they are constructed — which is why its figures are closes rather than intraday quotes: U.S. Department of the Treasury, "Interest Rate Statistics" — Daily Treasury Par Yield Curve Rates and Daily Treasury PAR Real Yield Curve Rates.
The long-end intervention the tool's opening section describes, in Treasury's own words: U.S. Department of the Treasury, "Treasury Announces Increased Sizes of Nominal Long-End Liquidity Support Buybacks Beginning September 9", press release, 19 August 2026.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。