Equação de Tsiolkovsky

Cada quilograma de carga útil precisa de propelente para se acelerar — mas esse propelente também tem massa, que precisa de mais propelente. O custo cresce exponencialmente. Para dobrar o delta-v, você precisa aproximadamente elevar ao quadrado a razão de massa. É por isso que o Saturn V pesava 2.900 toneladas na decolagem e entregou apenas 45 toneladas à Lua. Veja a animação: na ignição, o tanque de propelente domina todo o foguete; no final da queima, quase nada resta.

Um foguete não tem contra o que empurrar, então avança expelindo propelente para trás: cada quilograma lançado para trás à velocidade de exaustão v_e empurra a nave para a frente (terceira lei de Newton). Ao somar esses empurrões enquanto a nave fica cada vez mais leve, surge o logaritmo. A lição prática: o quão rápido você expele o gás — o que o impulso específico mede — importa mais do que quanto combustível você carrega; dobrar v_e dobra o seu Δv com exatamente a mesma razão de massas.

Troque o Δv newtoniano pela rapidez — a grandeza relativista que ainda se soma de forma linear — e exatamente a mesma forma, o logaritmo da razão de massas, vale a qualquer velocidade. Assim, o orçamento de Δv de um foguete não tem teto, mesmo que sua velocidade nunca possa alcançar c. A armadilha é brutal: um foguete de fótons de matéria e antimatéria (v_e = c) precisa, para atingir 0.9c, de uma razão de massas próxima de 4.4, e uma viagem de ida e volta que também freia em cada ponta eleva isso à quarta potência — mais de 350.