Equação de Tsiolkovsky

Δv = Isp · g₀ · ln(m₀/mf) — a equação que rege o voo espacial

Valores iniciais — Equação de Tsiolkovsky

Impulso específico (Isp, s)	311
Razão de massa (m₀/mf)	4.5

Altere qualquer controlo acima e os resultados são recalculados.

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a tirania da equação do foguete 🖖

Cada quilograma de carga útil precisa de propelente para se acelerar — mas esse propelente também tem massa, que precisa de mais propelente. O custo cresce exponencialmente. Para dobrar o delta-v, você precisa aproximadamente elevar ao quadrado a razão de massa. É por isso que o Saturn V pesava 2.900 toneladas na decolagem e entregou apenas 45 toneladas à Lua. Veja a animação: na ignição, o tanque de propelente domina todo o foguete; no final da queima, quase nada resta.

Por que os foguetes lançam massa para trás 🖖

Um foguete não tem contra o que empurrar, então avança expelindo propelente para trás: cada quilograma lançado para trás à velocidade de exaustão v_e empurra a nave para a frente (terceira lei de Newton). Ao somar esses empurrões enquanto a nave fica cada vez mais leve, surge o logaritmo. A lição prática: o quão rápido você expele o gás — o que o impulso específico mede — importa mais do que quanto combustível você carrega; dobrar v_e dobra o seu Δv com exatamente a mesma razão de massas.

A equação sobrevive à relatividade 🖖

Troque o Δv newtoniano pela rapidez — a grandeza relativista que ainda se soma de forma linear — e exatamente a mesma forma, o logaritmo da razão de massas, vale a qualquer velocidade. Assim, o orçamento de Δv de um foguete não tem teto, mesmo que sua velocidade nunca possa alcançar c. A armadilha é brutal: um foguete de fótons de matéria e antimatéria (v_e = c) precisa, para atingir 0.9c, de uma razão de massas próxima de 4.4, e uma viagem de ida e volta que também freia em cada ponta eleva isso à quarta potência — mais de 350.

Problemas resolvidos na íntegra

Alcançar a órbita com uma razão de massa de 4,5 e 311 s de impulso específico 5 passos
Um andar transporta 3,5 toneladas de propelente por cada 1 tonelada de tudo o resto — tanques, motor e carga útil combinados — alimentado por um motor de 311 s de impulso específico. Encontre o seu Δv e, em seguida, determine se um único andar construído dessa forma poderia alguma vez alcançar a órbita. Essa razão entre a massa carregada e a massa vazia é uma razão de massa de 4,5, e 311 s é o valor fornecido pela predefinição do primeiro andar do Saturno V na ferramenta — perto do topo do intervalo querosene-oxigénio, que vai de cerca de 260 s ao nível do mar a 310 s no vácuo.
1. O impulso específico expresso em segundos é a velocidade de exaustão disfarçada: é a velocidade de exaustão dividida pela gravidade padrão, pelo que multiplicá-lo de volta recupera o número de que a equação do foguete realmente precisa. Usam-se segundos porque o valor resulta no mesmo em unidades imperiais, não porque algo dure 311 s.
  
  $v_{e} = I_{s p} g_{0} = 311 \times 9.80665 = 3050 m/s$
2. O logaritmo aceita uma razão, pelo que apenas as proporções importam. Um andar de 3 toneladas e um andar de 3000 toneladas construídos nestas proporções debitam os mesmos 4,587 km/s.
  
  $Δ v = v_{e} ln (\frac{m _{0}}{m _{f}}) = 3.050 \times ln 4.5 = 3.050 \times 1.5041 = 4.587 km/s$
3. Leia-se antes a mesma razão de massa como uma fração da massa de lançamento. Quase quatro quintos do andar são propelente, e isso comprou menos de metade do que custa um lançamento para a órbita.
  
  $f_{p} = 1 - \frac{m _{f}}{m _{0}} = 1 - \frac{1}{4.5} = 77.78%$
4. Portanto, aplique-se a equação em sentido inverso a partir do objetivo. Alcançar a órbita baixa terrestre a partir do solo exige cerca de 9,4 km/s uma vez contabilizadas as perdas por arrasto e gravidade, e a esta velocidade de exaustão isso fixa a razão de massa necessária — deixando 4,6% da massa de descolagem para tanques, motor, estrutura e satélite juntos.
  
  $\frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{Δ v / v_{e}} = e^{9.4/3.050} = e^{3.082} = 21.80 ⟹ f_{p} = 1 - \frac{1}{21.80} = 95.4%$
5. Ninguém constrói tanques tão leves. Um andar a querosene bem construído tem cerca de 8% de estrutura em relação à massa carregada, e só isso limita a razão de massa a 12,5 antes de se adicionar um único quilograma de carga útil. O que resta de 9,4 km/s é o défice.
  
  $ε = 0.08 ⟹ (\frac{m _{0}}{m _{f}})_{m a x} = \frac{1}{0.08} = 12.5, Δ v_{m a x} = 3.050 ln 12.5 = 7.703 km/s (9.4 - 7.703 = 1.70)$
Resposta

A ferramenta indica uma velocidade de exaustão de 3050 m/s, 4,587 km/s de Δv e uma fração de propelente de 77,78%. O último passo é a razão de ser da equação, porque ela não diz que um único andar seria difícil — diz que o Δv não existe, com uma carga útil de zero. Mesmo com 6% de estrutura, perto do melhor que um grande andar a querosene atinge, o total só chega a 8,58 km/s. Cobrir 9,4 km/s num único andar com 8% de estrutura exigiria um impulso específico de 380 s, um quinto a mais do que este motor e além de qualquer motor a querosene alguma vez utilizado em voo; os motores de hidrogénio-oxigénio atingem cerca de 450 s, razão pela qual todo o estudo sério sobre um andar único para órbita tem sido sobre hidrogénio. A outra saída é deixar de transportar o tanque vazio: largue-se o tanque e a equação recomeça com um m₀ muito menor, o que torna a divisão em andares não uma otimização, mas a solução alternativa para uma impossibilidade.

$I_{s p} \geq \frac{Δ v}{g _{0} ln ( 1/ ε )} = \frac{9400}{9.807 \times 2.526} = 380 s$
Custo de propulsor para um foguetão a conseguir 4,587 km/s para atingir órbita 6 passos
O painel diz que este foguetão consegue 4,587 km/s com 77,78 % da massa à descolagem em propelente. Uma órbita pede cerca de 9,4. O dobro da velocidade não significa o dobro do combustível — calcule quanto custa de facto, e depois como se contornou o problema.
1. Comece onde o painel está. A velocidade de exaustão é apenas o impulso específico vezes g₀, e o Δv sai só da razão de massas.
  
  $v_{e} = I_{s p} g_{0} = 311 \times 9.807 = 3050 m s^{- 1}, Δ v = v_{e} ln 4.5 = 4.587 km s^{- 1}$
2. Leia a fração de propelente à letra: com uma razão de 4,5, tudo exceto uma parte em 4,5 é combustível que se deita fora.
  
  $\frac{m _{p}}{m _{0}} = 1 - \frac{1}{4.5} = 0.7778$
3. Peça agora ao mesmo motor 9,4 km/s. Inverta a equação do foguetão e a razão de massas não duplica — dispara exponencialmente até 21,80.
  
  $Δ v = 9.4 km s^{- 1} : \frac{m _{0}}{m _{f}} = e^{9400/3050} = e^{3.082} = 21.80 ⟹ \frac{m _{p}}{m _{0}} = 0.9541$
4. Veja o que significam 95,41 % antes de avançar. Depósitos, motores, estrutura, guiamento e carga útil repartem 4,59 % da massa na rampa. Não é um objetivo difícil de engenharia: é aproximadamente uma bolha de sabão que tem de sobreviver a um lançamento.
5. Divida então o trabalho em dois. Cada andar faz 4,7 km/s e precisa de uma razão de 4,669 — e multiplicadas devolvem exatamente 21,80.
  
  $Δ v_{1} = Δ v_{2} = 4.7 : R_{1} = e^{4700/3050} = 4.669, R_{1} R_{2} = 4.66 9^{2} = 21.80$
6. Porquê multiplicadas: o Δv soma-se, e o Δv é um logaritmo da razão. Uma soma de logaritmos é o logaritmo de um produto.
  
  $i \sum Δ v_{i} = v_{e} i \sum ln R_{i} = v_{e} ln i \prod R_{i}$
Resposta

Os andares não reduzem a razão de massas. Fatorizam-na. 21,80 é inalcançável de uma só peça e trivial como duas cópias de 4,669, e o truque é honesto porque os depósitos vazios do primeiro andar deixam de ser carga no instante em que são largados. Cada andar fica então com 78,58 % de propelente — e olhe outra vez para o painel, que mostra 77,78 % desde o início. A predefinição não é um foguetão que chega à órbita: é um andar de um foguetão que chega.

$i \prod R_{i} = 21.80 : 95.41% ⟷ 78.58% + 78.58%$

Percurso de aprendizagem

Órbitas a partir de dois números

Referências (1)

The equation itself: K. E. Tsiolkovsky, "Исследование мировых пространств реактивными приборами" ("Exploration of Outer Space by Means of Rocket Devices"). Nauchnoye Obozreniye, 1903.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

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Problemas de exemplo

Saturn V primeiro estágio - Isp=311s, razão de massa=4.5 → Δv≈4.6 km/s, fração de propelente 78%
Falcon 9 (nível do mar) - Isp=282s, razão de massa=6 → Δv≈5.0 km/s, fração de propelente 83%
Propulsor iônico - Isp=3000s, razão de massa=12 → Δv≈73 km/s (propulsor iônico: empuxo minúsculo, Δv enorme)
Foguete amador - Isp=130s, razão de massa=2.5 → Δv≈1.2 km/s, fração de propelente 60%