Ordem das Operações e Onde Não Há Consenso

Escreva uma expressão. A ferramenta reduz a expressão uma operação de cada vez, nomeia a regra subjacente a cada passo e avalia a mesma linha segundo quatro convenções que nem sempre concordam.

Exemplo resolvido — Ordem das Operações e Onde Não Há Consenso

Padrão	17
Da esquerda para a direita	221
Implícita primeiro	17
Folha de cálculo	17
Respostas diferentes	2
Passos	6
Resposta	17

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

A regra só atua onde um × encontra um + 🖖

Pressione Por que existe uma regra. 2 + 3 × 4 dá 14 se conhecer a regra e 20 se ler da esquerda para a direita, logo a regra serve claramente um propósito. Agora digite 8-3-2 e depois 12/2*3. Todas as convenções nesta página concordam em ambas, porque ambas permanecem dentro de um único nível e qualquer convenção lê um nível da esquerda para a direita. Eis a dimensão da questão: construa todas as expressões com três operadores e operandos de 1 a 9 usando apenas + e −, e uma calculadora básica acerta em todas as 52.488. Apenas com × e ÷, acerta novamente nas 52.488. Misture os dois níveis e 186.624 das 419.904 dão resultados diferentes. A regra justifica a sua existência quando o nível de × e ÷ se cruza com o nível de + e −, não tendo qualquer efeito dentro de qualquer um deles.

Três casos em que nunca houve consenso 🖖

2^3^2 dá 512 quando agrupado à direita e 64 quando agrupado à esquerda. −3² dá −9 se o sinal de menos esperar pela potência e 9 se não o fizer; a própria tabela de precedências da Microsoft para o Excel coloca a negação em segundo lugar e a exponenciação em quarto, pelo que uma célula de folha de cálculo indica 9 onde uma calculadora indica −9. E 6 ÷ 2(1 + 2) dá 9 segundo a regra ensinada na escola, ou 1 se um número encostado a parênteses tiver maior precedência do que a divisão, que é a forma como a/bc se lê em muitos manuais e como o MathWorld avisa que não será lido por um sistema de álgebra computacional. Pressione os quatro botões e veja a resposta mudar. A aritmética não se alterou ao fazê-lo; apenas a leitura.

Os parênteses são a única parte que não é convenção 🖖

Por baixo da tabela, a ferramenta imprime a mesma expressão com todas as operações entre parênteses. Volte a colocar essa linha na caixa e as quatro leituras convergem num único número. Não é uma propriedade destes exemplos: pegue em todas as expressões de três operadores com operandos de 1 a 6, coloque cada operação entre parênteses e 0 das 82 944 divergem. Este é o argumento a favor dos dois caracteres. A matemática publicada escreve a/(bc), ou empilha a fração para que o agrupamento esteja na geometria e não numa regra que o leitor tem de ter aprendido.

Problema resolvido na íntegra

6 ÷ 2(1 + 2): é 9 ou 1? A discussão arrasta-se há anos e ambos os lados sabem fazer contas. Perceba o que está realmente em disputa.

Abrir este problema na ferramenta
1. Os parênteses resolvem-se primeiro, e nada aqui é contestado. Ambas as leituras enfrentam agora a mesma linha, com um 3 onde estavam os parênteses.
  
  $6 \div 2 (1 + 2) ⟶ 6 \div 2 (3)$
2. A regra escolar: × e ÷ partilham um nível e um nível lê-se da esquerda para a direita. A divisão vem primeiro porque é escrita primeiro.
  
  $(6 \div 2) (3) = 3 \times 3 = 9$
3. A outra leitura: um número encostado a parênteses representa uma única quantidade, logo 2(3) é um único 6 antes de a divisão intervir no que quer que seja.
  
  $6 \div (2 (3)) = 6 \div 6 = 1$
4. Ambas são internamente coerentes e nenhuma pode ser derivada a partir da aritmética. Alterne entre Padrão e Implícita primeiro e a árvore na página reorganiza-se: multiplicação no topo em Padrão, divisão no topo em Implícita primeiro.
  
  $(a \div b) c \neq = a \div (b c)$
5. O que resolve a questão não é uma regra melhor, mas uma linha melhor. Qualquer forma de colocar parênteses é inequívoca ao abrigo das quatro convenções, e a ferramenta imprime a forma totalmente entre parênteses por baixo da tabela.
  
  $(6 \div 2) (1 + 2) = 9, 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$
6. É por isso que a expressão é rara em publicações impressas. Uma revista científica escreve a fração de forma sobreposta, e uma fração sobreposta transporta o seu agrupamento na geometria, onde nenhuma convenção a consegue afetar.
  
  $\frac{6}{2} (1 + 2) = 9, \frac{6}{2 ( 1 + 2 )} = 1$
Resposta

Não existe uma verdade absoluta, e tanto 9 como 1 são leituras corretas de uma linha que foi escrita de forma demasiado ambígua para ter um único valor. A discordância diz respeito inteiramente à forma como um sinal de divisão e uma justaposição são lidos numa mesma linha de texto, e cada uma das quatro leituras nesta página é coerente consigo mesma. Escreva (6 ÷ 2)(1 + 2) quando quer dizer 9 e 6 ÷ (2(1 + 2)) quando quer dizer 1, e a questão deixa de existir.

$(6 \div 2) (1 + 2) = 9 \neq = 6 \div (2 (1 + 2)) = 1$

Referências (2)

The spreadsheet convention, from the vendor's own precedence table: Microsoft, "Calculation operators and precedence in Excel", Microsoft Support. Negation is listed second and exponentiation fourth.
Why a number pressed against a bracket is read two ways, and the advice that follows: Eric W. Weisstein, "Solidus", MathWorld — A Wolfram Web Resource.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.