Theorema Egregium de Gauss

Escolha uma superfície e uma distância r. Uma formiga caminha r ao longo de cada reta a partir de um ponto. A página compara o anel dos pontos finais com o valor 2πr que ele teria no papel e, a partir da diferença, calcula a curvatura da superfície.

Exemplo resolvido — Theorema Egregium de Gauss

Comprimento C do anel, passando pelas 720 pontas	6,2832
Medida numa folha plana, 2πr	6,2832
O mesmo anel calculado pela sua fórmula	6,2832
C / 2πr	1,00000
Diferença, 2πr − C	0,0000
Raio de um círculo plano com o mesmo perímetro	1,0000
Curvatura calculada apenas pelo anel	0,000 / R²
As duas curvaturas principais no centro	1/R e 0

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Theorema Egregium de Gauss

A curvatura gaussiana K num ponto de uma superfície é o produto das suas duas curvaturas principais nesse local. Elas correspondem ao máximo e ao mínimo que a superfície se curva em todas as direções passando por esse ponto, cada uma com um sinal referente ao lado para onde se curva. O Theorema Egregium (1827) de Gauss afirma que K depende apenas de comprimentos medidos por dentro da própria superfície. Modificar a forma de uma superfície sem a esticar vai manter o K inalterado. Uma das medições capazes de o descobrir por dentro: o anel de pontos à distância r do centro tem o comprimento C = 2πr − (π/3)K r³ + …, logo K é o limite de 3(2πr − C)/(πr³) quando r encolhe.

O que significa cada símbolo

K: a curvatura de Gauss no centro, o produto κ₁κ₂ das duas curvaturas principais; 1/R² numa esfera de raio R
C: comprimento do anel de pontos à distância r do centro, medido ao longo da superfície
r: distância percorrida a partir do centro ao longo da superfície

Um cilindro é tão plano quanto esta página, e uma formiga consegue provar isso 🖖

Pressione Cilindro, r = R e depois Esfera, r = R. As duas superfícies curvam-se por 1/R no topo. Vistas de fora, ambas parecem inegavelmente redondas. Caminhando 1 a partir do centro em todas as direções, a formiga no cilindro marca um anel com 6,2832 de comprimento. É exatamente a medida que ela obteria numa folha de papel. Na esfera, o anel mede 5,2871. Ao longo do seu comprimento, o cilindro não tem nenhuma curvatura. As suas duas curvaturas principais são 1/R e 0. A curvatura de Gauss K é o produto delas, 0. Gauss provou em 1827 que a curvatura K pode ser deduzida por comprimentos medidos no interior da própria superfície. Portanto, dobrar uma superfície sem a esticar não pode alterar o valor de K. O resultado ficou conhecido desde então como o theorema egregium, o teorema notável. Enrolar papel num tubo não estica o material. O tubo mantém K = 0 e nenhuma formiga a estudar um fragmento dele conseguirá descobrir que a folha foi um dia enrolada. É também o motivo pelo qual uma fatia de pizza dobrada na crosta não desaba. Curvada num sentido, ela tem de se manter reta ao longo do seu comprimento.

Nenhum mapa plano da Terra mantém as distâncias, e o anel revela o tamanho do erro 🖖

Pressione A Terra, 1.000 km. Cada ponto do anel laranja está a 1.000 km do centro, medidos pelo chão. O perímetro do anel mede 6.257,42 km. Um círculo plano de raio 1.000 km tem 6.283,19 km de perímetro. Assim, um mapa que preserva todas as distâncias a partir do centro precisa desenhar o contorno 25,77 km mais longo do que deveria. Já um mapa que mantenha o contorno exato e redondo precisará de desenhar os raios com 995,90 km, encurtando-os em 4,10 km. Uma distância ou a outra estará sempre errada em qualquer mapa plano. O teorema explica a razão para nenhuma projeção engenhosa conseguir escapar a isso: a curvatura que encurta o anel não pode ser eliminada sem esticar a superfície. Pressione A Terra, 2.000 km. Com o dobro do raio, a diferença no perímetro sobe para 205,4 km, uma falha 7,97 vezes maior. A diferença cresce com o cubo do raio. É por isso que o planeamento de uma cidade pode ignorar a curvatura da Terra, mas o mapa de um continente não. O Laboratório de Distorções em Projeções mostra o que cada uma das opções sacrifica no processo.

Na sela, o anel fica comprido demais 🖖

Pressione Sela, r = R/2. A formiga caminha 0,5 em todas as direções e o anel atinge 3,2573, superando os 3,1416 de um círculo plano. A esfera encurta o anel e a sela alonga-o. Isto acontece porque as retas da sela se afastam muito mais rápido do que fariam num papel. Na esfera afastam-se de forma lenta, até se encontrarem novamente no polo oposto. O sinal de 2πr − C é o sinal de K. A formiga descobre para que lado o seu mundo se curva sem precisar de olhar de fora. O K de Gauss é o limite de 3(2πr − C)/(πr³) à medida que o anel encolhe. Esta expressão é a expansão do comprimento do anel que Bertrand e Puiseux publicaram em 1848, aqui resolvida para K. A tabela abaixo mostra a aproximação a esse limite. Na esfera, cuja curvatura é sempre 1/R², a estimativa é de 0,9876 em r = R/2 e de 0,9995 em R/10. Na sela, os valores são de −0,8838 e −0,9945. O anel de raio R/2 já abrange áreas onde a sela curva menos do que no centro exato.

Problema resolvido na íntegra

De que tamanho tem de ser um círculo para que a fita métrica sinta a curvatura da Terra? 4 passos
A fita de um topógrafo tem uma precisão de uma parte por milhão, ou seja, um milímetro por quilômetro. Qual deve ser a dimensão do círculo medido na Terra para que o perímetro fique visivelmente menor que 2πr? Pressione primeiro em A Terra, 1.000 km. A página vai indicar o valor C/2πr para um disco desse tamanho.

Abrir este problema na ferramenta
1. Aos 1.000 km o perímetro fica 1 − 0,99590 menor que 2πr. Numa esfera temos C = 2πR sin(r/R), e sin x / x = 1 − x²/6 + …, logo a fração é (r/R)²/6 em primeira ordem:
  
  $1 - 0.99590 = 0.00410 \approx \frac{1}{6} (\frac{1 , 000}{6 , 371 . 0088})^{2} = 0.00411$
2. Iguale essa fração a uma parte por milhão e resolva em função de r/R:
  
  $\frac{1}{6} (\frac{r}{R})^{2} = 1 0^{- 6} \Rightarrow \frac{r}{R} = 6 \times 1 0^{- 6} = 0.0024495$
3. e o raio na Terra equivale a esse valor multiplicado por R:
  
  $r = 0.0024495 \times 6, 371.0088 km = 15.606 km$
4. Tire a prova. A circunferência do círculo plano é 2π × 15,606 km, e um milionésimo dela é
  
  $2 π \times 15.606 km = 98.055 km, 98.055 km \times 1 0^{- 6} = 9.8 cm$
Resposta

Um círculo com cerca de 15,6 km de raio, o que dá 31 km de diâmetro. O seu perímetro de 98 km fica 9,8 cm menor do que 2πr, altura em que a fita métrica começa a notar o erro. A falha cresce de forma cúbica com o raio. Um círculo com um décimo desse tamanho tem um desvio mil vezes mais pequeno, ou um décimo de milímetro. Num levantamento local de uma cidade, o chão pode ser tratado como uma folha inteiramente plana.

$r \approx 15.6 km, 2 π r - C \approx 9.8 cm$

Percurso de aprendizagem

Geometria numa superfície curva

Referências (3)

The measure of curvature as one over the product of the two extreme radii of curvature (Art. 8), and the theorem that it stays unchanged when a surface is developed upon another, with surfaces developable on a plane having curvature zero everywhere (Art. 12): C. F. Gauss, General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825, translated by J. C. Morehead and A. M. Hiltebeitel, Princeton University Library, 1902, Arts. 8 and 12, pp. 15 and 20–21 (Project Gutenberg ebook 36856).
The length of the ring traced by a short thread of length s turned about a point on a surface, 2πs − πs³/(3R₁R₂) to fourth order, from which the product of the principal radii, and so Gauss's curvature, is recovered by a measurement made on the surface: J. Bertrand, "Démonstration d'un théorème de M. Gauss", Journal de mathématiques pures et appliquées, 1re série, 13 (1848), 80–82; and V. Puiseux, "Sur le même théorème", same volume, 87–90.
The folded pizza slice as the theorem in the kitchen: a surface with zero Gaussian curvature bent one way must stay flat the other way, so curling the crust stiffens the slice along its length: A. Bhatia, "How a 19th Century Math Genius Taught Us the Best Way to Hold a Pizza Slice", WIRED, 5 September 2014.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.