Número de Reynolds e Regime de Escoamento

Escolha um fluido, uma velocidade e um diâmetro para ver se o escoamento é laminar ou turbulento, e quão pouco é preciso para mudar de regime.

Exemplo resolvido — Número de Reynolds e Regime de Escoamento

Viscosidade cinemática	1,00 × 10⁻⁶ m²/s
Número de Reynolds	9.966
Regime	Turbulento
Laminar abaixo de	0,2308 m/s
Turbulento a partir de	0,4014 m/s
Laminar em tubos até	2,31 × 10⁻³ m
Turbulento em tubos desde	4,01 × 10⁻³ m

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Número de Reynolds e Regime de Escoamento

O número de Reynolds compara os dois efeitos possíveis sobre um fluido em movimento: a inércia transportá-lo, ou a viscosidade dissipá-lo. Na equação Re = ρvD/η, as unidades anulam-se mutuamente. O resultado consubstancia-se num número adimensional, detalhe esse que exprime o verdadeiro objetivo da fórmula. Dois escoamentos detentores do mesmo número de Reynolds assumem sempre comportamento idêntico. A sua dimensão, a velocidade imposta e a natureza do fluido não influenciam a conclusão técnica. É desta coerência inata que decorre o motivo pelo qual testar um modelo num tanque de água consegue fazer perfeitamente as vezes de uma aeronave.

O que significa cada símbolo

Re: o rácio propriamente dito, sem assumir qualquer unidade
ν: viscosidade cinemática, η/ρ, a única combinação relevante neste contexto

Pressupõe: Escoamento plenamente desenvolvido, no interior de um tubo liso, reto e circular. A rugosidade, as curvas e a extensão da entrada deslocam o limite natural da transição. Sendo intelectualmente francos, é esta a verdadeira justificação para atribuir aos valores limiares apresentados nesta página um estatuto convencional de engenharia prático e jamais a face irredutível das constantes.

Dois fluidos, um tubo, uma velocidade, vereditos opostos 🖖

A água num tubo de 10 mm a 1 m/s regista Re = 9.966. O veredito é turbulento. Altere o fluido para mel, sem tocar nos cursores. O valor cai para 1,420, um escoamento tão laminar quanto possível. Nem o tubo nem a velocidade mudaram, logo nenhum deles ditou o resultado.

A linha da viscosidade cinemática revela o responsável. São 1,00 × 10⁻⁶ m²/s para a água contra 7,04 × 10⁻³ m²/s para o mel. Como Re = vD/ν, a proporção entre os dois números de Reynolds corresponde à dessas duas propriedades e a mais nada. A razão é 7018, um valor que resiste a todas as configurações da ferramenta. Ao arrastar a velocidade através das suas seis décadas e o diâmetro através de cinco, ambos os números de Reynolds acompanham o movimento. O 7018 permanece sempre entre eles.

Observe o mapa de regimes enquanto altera o fluido. O ponto marcado continua imóvel. Muda de cor porque a fronteira deslizou quase quatro décadas ao longo do eixo da velocidade para o ultrapassar.

Quase nada na sua canalização é laminar 🖖

Água num tubo de 10 mm. A ferramenta indica 0,2308 m/s como limite laminar, e abaixo disso o veredito fica verde. Ultrapasse os 0,4014 m/s e o escoamento passa a ser totalmente turbulento. Uma torneira de cozinha corre mais depressa do que ambos.

O escoamento laminar em tubos preenche capítulos inteiros dos manuais escolares, pois pode ser resolvido de forma analítica. O perfil de velocidades é uma parábola exata, a queda de pressão é proporcional ao caudal e nada se cruza entre as camadas. Quase nenhuma da água numa casa se comporta assim. O fluido que corre nas paredes mistura-se, exigindo medições e correlações em vez de deduções matemáticas.

Estreitar o tubo eleva o limite em vez de o baixar. Ao definir o diâmetro para 5 mm, o teto laminar passa a ser 0,4616 m/s, porque a expressão Re = vD/ν apenas se importa com o produto. Se reduzir D a metade, terá de duplicar v para atingir 2300 novamente. É por isso que os capilares permanecem laminares, ao passo que as condutas de abastecimento não.

2300 e 4000 são convenções relativas a tubos 🖖

O número gerado pela ferramenta resulta da aritmética exata sobre os quatro valores introduzidos. A palavra ao lado é uma convenção. Arraste a velocidade para 0,3 m/s no tubo de 10 mm. O número de Reynolds passa a 2.990 e o veredito indica Transição. Trata-se da ferramenta a recusar-se a responder, e de forma correta. 2300 e 4000 descrevem um escoamento plenamente desenvolvido num tubo cilíndrico liso. Nem a rugosidade do tubo nem a perturbação à entrada entram no número de Reynolds. Daí a presença de uma faixa âmbar onde uma linha seria mais simples.

O significado do número inferior foi clarificado em 2011, por Avila, Moxey, de Lozar, Avila, Barkley e Hof na revista Science, e o seu método é a parte que vale a pena conhecer. Os autores injetaram pulsos de turbulência num escoamento tubular laminar e cronometraram a sua duração. Abaixo de um ponto crítico, a perturbação decai. Acima dele, a turbulência espalha-se mais depressa do que se dissipa. O limiar não representa a velocidade à qual um tubo deixa de ser laminar. Trata-se antes da velocidade acima da qual a turbulência, uma vez introduzida por qualquer motivo, deixa de desaparecer por si só.

Altere a geometria e a comparação acompanha essa mudança. Uma esfera em sedimentação nesta mesma água é avaliada perto de Re = 1 e Re = 1000. Já uma camada limite ao longo de uma placa plana sofre transição perto de Re = 5 × 10⁵.

Problema resolvido na íntegra

Uma conduta num túnel de água 7 passos
Uma conduta de ventilação cilíndrica com 0,40 m de diâmetro transporta ar a 3,0 m/s. Se quiser observar o comportamento do escoamento interior através de um modelo à escala de 1:10 num túnel de água, qual deverá ser a velocidade da água para garantir que o escoamento do modelo é idêntico ao da conduta?

Abrir este problema na ferramenta
1. A densidade e a viscosidade do ar nunca surgem separadas na resposta. Ao dividir a segunda pela primeira, obtém a viscosidade cinemática: 1,813 × 10⁻⁵ a dividir por 1,204 resulta em 1,5058 × 10⁻⁵ m²/s. A linha da Viscosidade cinemática arredonda este valor para 1,51 × 10⁻⁵. Esse único número é tudo aquilo que o número de Reynolds precisa de saber sobre o fluido.
  
  $ν_{a} = \frac{η}{ρ} = \frac{1.813 \times 1 0 ^{- 5}}{1.204} = 1.5058 \times 1 0^{- 5} m^{2} /s$
2. Para a conduta, Re = vD/ν. Os valores 3,0 × 0,40 a dividir por 1,5058 × 10⁻⁵ dão 79.691. A linha do Regime indica Turbulento, como aconteceria com qualquer valor além dos 4000. Este encontra-se vinte vezes acima disso.
  
  $Re_{d} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 0.40}{1.5058 \times 1 0 ^{- 5}} = 79, 691 \geq 4000$
3. Dois escoamentos são idênticos quando a geometria é semelhante e os números de Reynolds coincidem. Como Re é o único grupo adimensional do problema, igualá-lo é a única condição necessária. Nada nessa premissa obriga o modelo a usar o mesmo fluido, sendo essa a liberdade que vale a pena explorar.
  
  $Re_{m} = Re_{d} ⟺ \frac{v _{m} D _{m}}{ν _{w}} = \frac{v _{d} D _{d}}{ν _{a}}$
4. Água a 20 °C: 1,0016 × 10⁻³ Pa·s a dividir por 998,2 kg/m³ dá 1,0034 × 10⁻⁶ m²/s. A água é sensivelmente oitocentas vezes mais densa do que o ar e cerca de cinquenta e cinco vezes mais viscosa. Os dois efeitos quase se anulam. O que resta é um fator de 15,007, e comporta-se da forma que os principiantes não esperam. Por unidade de inércia, o ar é o mais fluido dos dois.
  
  $ν_{w} = \frac{1.0016 \times 1 0 ^{- 3}}{998.2} = 1.0034 \times 1 0^{- 6} m^{2} /s, \frac{ν _{a}}{ν _{w}} = 15.007$
5. Iguale os dois números de Reynolds e resolva em ordem à velocidade necessária no túnel. Reduzir o tubo num fator de dez multiplica a velocidade exigida por dez. Trocar ar por água divide-a por 15,007. O fluido dita a regra, colocando a resposta em 1,999 m/s. É um modelo com um décimo do tamanho, e a água no seu interior flui mais devagar do que o ar que representa.
  
  $v_{m} = v_{d} \cdot \frac{D _{d}}{D _{m}} \cdot \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = 3.0 \cdot 10 \cdot \frac{1}{15.007} = 1.999 m/s$
6. Ajuste a ferramenta para água, 1,999 m/s e 0,040 m. A linha do número de Reynolds regista 79.689 contra os 79.691 da conduta. A diferença de duas unidades deve-se ao quarto dígito de uma velocidade expressa com quatro algarismos. A linha Laminar abaixo de oferece uma segunda forma de atestar a correspondência. O ar da conduta precisaria de descer abaixo de 0,0866 m/s para se tornar laminar, enquanto a água do modelo teria de cair sob 0,0577 m/s. Cada escoamento circula a 34,6 vezes o seu próprio limite.
  
  $Re_{m} = \frac{1.999 \cdot 0.040}{1.0034 \times 1 0 ^{- 6}} = 79, 689, \frac{3.0}{0.0866} \approx \frac{1.999}{0.0577} \approx 34.6$
7. Ninguém ajusta um túnel para 1,999. Ao arredondar o mostrador para 2,0 m/s, a linha indica 79.728, ficando 0,05% acima. Um desvio de 0,05% num número de Reynolds está abaixo de qualquer variação que os instrumentos do túnel consigam resolver.
  
  $v_{m} = 2.0 \Rightarrow Re_{m} = 79, 728, \frac{79 , 728}{79 , 691} - 1 = 0.05%$
Resposta

Cerca de 2,0 m/s, através de um modelo de 40 mm. A exigência exata é de 1,999 m/s. A página apresenta um número de Reynolds para cada configuração, mas a utilidade desse número reside em comparar dois casos. É por isso que 79.689 face a 79.691 é a resposta, e não um mero acidente. Aquilo que é transferível do modelo de volta para a conduta é adimensional. O fator de atrito e o coeficiente de pressão transitam, ao contrário dos pascais e dos newtons. Uma diferença de pressão medida na água converte-se através da razão de ρv²: 998,2 × 2,0² face a 1,204 × 3,0². Como tal, o túnel regista 368 vezes a pressão da conduta.

$v_{m} = v_{d} \frac{D _{d}}{D _{m}} \frac{ν _{w}}{ν _{a}} = \frac{3.0 \cdot 10}{15.007} = 1.999 m/s$

Referências (2)

Where the number and the threshold come from: O. Reynolds, "An Experimental Investigation of the Circumstances Which Determine Whether the Motion of Water Shall Be Direct or Sinuous, and of the Law of Resistance in Parallel Channels." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 174, 1883, pp. 935–982.
What the lower threshold actually marks, measured by timing whether turbulence survives: K. Avila, D. Moxey, A. de Lozar, M. Avila, D. Barkley & B. Hof, "The Onset of Turbulence in Pipe Flow." Science 333(6039), 2011, pp. 192–196.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.