Ableitungs- und Tangenten-Explorer

Punkt entlang der Kurve ziehen, um die Steigung zu sehen

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Eine waagerechte Stelle ist nicht immer ein Hoch- oder Tiefpunkt 🖖

Eine Ableitung von Null bedeutet, dass die Tangente waagerecht liegt — sie garantiert kein Maximum und kein Minimum. Stelle dieses Werkzeug auf x³ und zieh den Punkt auf x = 0: die Steigung zeigt 0, dabei steigt die Kurve auf beiden Seiten und legt nur eine Pause ein. Das ist ein Wendepunkt, und deshalb ist das Aufspüren der Nullstellen der Ableitung nur die erste Hälfte einer Optimierungsaufgabe. Die zweite Hälfte besteht darin zu prüfen, was die Steigung links und rechts davon tut, denn die Ableitung allein kann einen Gipfel nicht von einem Treppenabsatz unterscheiden.

Aus der Nähe wirkt jede Kurve gerade 🖖

Nimm eine beliebige glatte Kurve, zoome nah genug heran, und die Krümmung verschwindet — lokal sieht sie wie eine Gerade aus. Die Ableitung ist einfach die Steigung dieser Geraden, und wenn du den Punkt hier ziehst, liest du sie direkt ab. Ein Tacho im Auto funktioniert genauso: Er zeigt, wie schnell sich deine Position gerade jetzt ändert, nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit der ganzen Fahrt. Zieh den Punkt zur Spitze der Parabel, und die Steigung erreicht 0 — diese flache Stelle markiert einen Hoch- oder Tiefpunkt.

Die Kurve ohne jede Tangente 🖖

Jede Funktion hier hat eine saubere Tangente, doch nicht jede Funktion besitzt das. 1872 konstruierte Karl Weierstrass eine Funktion, die überall stetig ist, aber nirgends eine definierte Steigung hat — auf jeder Skala unendlich zackig, sodass sich nie eine Tangente einstellen kann. Das verblüffte Mathematiker, die annahmen, eine glatt wirkende stetige Kurve müsse fast überall Tangenten haben. Dieselbe nirgends differenzierbare Rauheit tauchte später in der Natur auf: Die Bahnen der Brownschen Bewegung und die Umrisse von Küstenlinien verhalten sich genau so.

ABLEITUNGEN — WELCHE REGEL GILT UND WAS DIE STEIGUNG WIRKLICH AUSSAGT

Welchen Ableitungsfall hast du vor dir?

Die Ableitung ist eine einzige Idee — die Steigung der Tangente, der Grenzwert von (f(x+h) − f(x))/h. Wie man sie berechnet, hängt aber davon ab, welche Art Funktion vorliegt, und wie man das Ergebnis liest, davon, ob es positiv, negativ oder null ist. Drei Standardregeln decken die meisten Funktionen ab; der vierte Fall ist der, in dem eine Steigung von null nicht das bedeutet, was alle annehmen.

Potenzregel — ein Polynomterm d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonometrisch — Sinus und Kosinus tauschen die Plätze d/dx sin x = cos x

Exponentiell — die Funktion ist ihre eigene Ableitung d/dx e^x = e^x

Steigung null, aber weder Maximum noch Minimum f′ = 0, f″ = 0

Potenzregel — ein Polynomterm

Was du weißt: Die Funktion ist xⁿ oder eine Summe solcher Terme. Den Exponenten nach vorn holen und um eins verringern.

Regel: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Rechenbeispiel: f(x) = x² bei x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, die Tangente ist also y = 2x − 1

Diesen Fall öffnen: x² bei x=1

Potenzregel — ein Polynomterm. Die Tangente bei x = 1 hat die Steigung 2 und berührt die Parabel in einem Punkt. Die Funktion ist xⁿ oder eine Summe solcher Terme. Den Exponenten nach vorn holen und um eins verringern. — Die Tangente bei x = 1 hat die Steigung 2 und berührt die Parabel in einem Punkt.

Trigonometrisch — Sinus und Kosinus tauschen die Plätze

Was du weißt: Die Funktion ist sin x oder cos x. Ableiten dreht dich durch den Zyklus: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Regel: d/dx sin x = cos x

Rechenbeispiel: f(x) = sin x bei x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, die Tangente ist also y = x

Diesen Fall öffnen: sin bei x=0

Trigonometrisch — Sinus und Kosinus tauschen die Plätze. Im Ursprung hat sin x die Steigung 1, die Tangente ist also die Gerade y = x. Die Funktion ist sin x oder cos x. Ableiten dreht dich durch den Zyklus: sin → cos → −sin → −cos → sin. — Im Ursprung hat sin x die Steigung 1, die Tangente ist also die Gerade y = x.

Exponentiell — die Funktion ist ihre eigene Ableitung

Was du weißt: Die Funktion ist eˣ. Ableiten ändert überhaupt nichts: f′(x) = f(x) in jedem Punkt.

Regel: d/dx e^x = e^x

Rechenbeispiel: f(x) = eˣ bei x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, die Tangente ist also y = x + 1

Diesen Fall öffnen: eˣ bei x=0

Exponentiell — die Funktion ist ihre eigene Ableitung. Höhe und Steigung sind in jedem Punkt der Kurve dieselbe Zahl. Die Funktion ist eˣ. Ableiten ändert überhaupt nichts: f′(x) = f(x) in jedem Punkt. — Höhe und Steigung sind in jedem Punkt der Kurve dieselbe Zahl.

Steigung null, aber weder Maximum noch Minimum

Was du weißt: f′ = 0 im Punkt, er ist also stationär — aber das Vorzeichen von f′ ist auf beiden Seiten gleich, es ist somit kein Wendepunkt im Sinne eines Extremums.

Regel: f′ = 0, f″ = 0

Rechenbeispiel: f(x) = x³ bei x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, und doch ist f′ > 0 auf beiden Seiten: Die Kurve flacht ab und steigt weiter.

Diesen Fall öffnen: x³ Wendepunkt

Steigung null, aber weder Maximum noch Minimum. Die Tangente ist im Ursprung waagerecht, die Kurve steigt beidseitig weiter. f′ = 0 im Punkt, er ist also stationär — aber das Vorzeichen von f′ ist auf beiden Seiten gleich, es ist somit kein Wendepunkt im Sinne eines Extremums. — Die Tangente ist im Ursprung waagerecht, die Kurve steigt beidseitig weiter.

Quellen (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Steigung und Tangente von f(x) = x² bei x = 1 5 Schritte
f(x) = x² an der Stelle x = 1. Bestimmen Sie die Steigung dort über die Definition statt über eine Regel, stellen Sie die Tangentengleichung auf und geben Sie dann exakt an, wie weit diese Tangente ein Zehntel einer Einheit weiter von der Kurve abgewichen ist.
1. Ein einzelner Punkt besitzt keine Steigung – Steigung ist ein Vergleich und benötigt daher zwei Punkte. Wählen Sie den zweiten Punkt im Abstand h und messen Sie die mittlere Steigung über diese Strecke. Die gesamte Differentialrechnung ist dieser Quotient plus ein Grenzwert.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Multiplizieren Sie das Quadrat aus. Die konstanten Terme heben sich auf, wodurch in jedem verbleibenden Term ein h steht; das h im Nenner lässt sich somit sauber herauskürzen. Beachten Sie, was dieses Kürzen kostet: Es ist für jedes h außer 0 zulässig – und 0 ist genau der Wert, auf den Sie zusteuern.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. Deshalb wird der Grenzwert gebildet, anstatt den Wert direkt einzusetzen. 2 + h ist eine Gerade in h, sodass der Wert, dem er sich annähert, ganz ohne Näherung abgelesen werden kann; die Steigung bei x = 1 ergibt sich zu 2, ohne dass die Regel 2x jemals aufgeschrieben wurde.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Eine Tangente benötigt einen Punkt und eine Steigung, und Sie haben nun beides: Die Kurve verläuft durch (1, 1) mit der Steigung 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Subtrahieren Sie die Gerade von der Kurve. Die Differenz ist nicht klein oder irgendein Näherungswert – sie lässt sich exakt faktorisieren, sodass die Parabel bei jedem x um (x − 1)² über ihrer Tangente liegt und der Abstand bei einer Entfernung h genau h² beträgt.
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Antwort

f′(1) = 2, Tangente y = 2x − 1, und der Abstand zwischen ihnen beträgt exakt h²: Verkürzt man die Schrittweite um den Faktor 10, sinkt der Fehler der Tangente um den Faktor 100, von 0,01 auf 0,0001. Diese Quadrierung ist die gesamte Rechtfertigung dafür, eine Kurve in der Nähe eines Punktes durch eine Gerade zu ersetzen. Das Vorzeichen des Abstands ist jedoch von größerer Bedeutung als seine Größe. (x − 1)² ist niemals negativ; diese Parabel berührt ihre Tangenten also und schneidet keine von ihnen. Stellt man f(x) = x³ an der Stelle x = 0 daneben: Die Tangente ist die x-Achse, der Abstand ist x³ selbst, und x³ ist links negativ und rechts positiv; die Gerade verläuft also glatt durch die Kurve. Beide Funktionen besitzen an einer Stelle eine waagerechte Tangente, aber nur eine von ihnen hat dort einen Extrempunkt – eine verschwindende Ableitung ist nicht das, was ein Minimum ausmacht, sondern das Vorzeichen des Abstands.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Führt zu riemann-sum lokale Geradlinigkeit in Form einer Zahl: die Steigung jener einzigen Geraden, die an einem Punkt mit der Kurve übereinstimmt.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

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Beispielaufgaben

x² bei x=1 - f(x)=x² bei x=1 → Steigung f'(1)=2, Tangente y=2x-1
sin bei x=0 - f(x)=sin x bei x=0 → Steigung f'(0)=1, Tangente y=x
eˣ bei x=0 - f(x)=eˣ bei x=0 → Steigung f'(0)=1; eˣ ist seine eigene Ableitung
x³ Wendepunkt - f(x)=x³ bei x=0 → Steigung f'(0)=0, Wendepunkt (kein Minimum oder Maximum)