Ableitungs- und Tangenten-Explorer

Die Ableitung ist der Grundstein zur Analyse dynamischer Systeme. Durch die Auswertung des Grenzwerts des Differenzenquotienten gegen null berechnen wir die exakte momentane Änderungsrate. Diese lokale lineare Approximation ist fundamental.

Nimm eine beliebige glatte Kurve, zoome nah genug heran, und die Krümmung verschwindet — lokal sieht sie wie eine Gerade aus. Die Ableitung ist einfach die Steigung dieser Geraden, und wenn du den Punkt hier ziehst, liest du sie direkt ab. Ein Tacho im Auto funktioniert genauso: Er zeigt, wie schnell sich deine Position gerade jetzt ändert, nicht die Durchschnittsgeschwindigkeit der ganzen Fahrt. Zieh den Punkt zur Spitze der Parabel, und die Steigung erreicht 0 — diese flache Stelle markiert einen Hoch- oder Tiefpunkt.

Jede Funktion hier hat eine saubere Tangente, doch nicht jede Funktion besitzt das. 1872 konstruierte Karl Weierstrass eine Funktion, die überall stetig ist, aber nirgends eine definierte Steigung hat — auf jeder Skala unendlich zackig, sodass sich nie eine Tangente einstellen kann. Das verblüffte Mathematiker, die annahmen, eine glatt wirkende stetige Kurve müsse fast überall Tangenten haben. Dieselbe nirgends differenzierbare Rauheit tauchte später in der Natur auf: Die Bahnen der Brownschen Bewegung und die Umrisse von Küstenlinien verhalten sich genau so.