Ableitungs- und Tangenten-Explorer

Wähle eine Kurve und einen Punkt darauf. Die orangefarbene Sekante verbindet ihn mit einem zweiten Punkt, dessen x-Wert um h größer ist. Verkleinerst du h, nähert sich die Sekantensteigung der Tangentensteigung an. Diese ist die Ableitung.

Die Ableitung	$f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Die Tangente an der Stelle a	$y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
Ableitungen auf dieser Seite	$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1} (e^{x})^{'} = e^{x}, (ln x)^{'} = \frac{1}{x} (sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x$

Rechenbeispiel — Ableitungs- und Tangenten-Explorer

Funktionswert an der Stelle x	1
Funktionswert an der Stelle x + h	1,21
Sekantensteigung	2,1
Ableitung, also Tangentensteigung	2
Sekantensteigung minus Ableitung	0,1
Tangente	2x − 1
Normale	−0,5x + 1,5

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Ableitungs- und Tangenten-Explorer

Die Ableitung von f an der Stelle x gibt die Steigung der Kurve dort an. Sie ist als Grenzwert der Sekantensteigung definiert: f′(x) = lim (f(x + h) − f(x))/h für h → 0, sofern dieser Grenzwert existiert.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

h: die Schrittweite von x zur Stelle des zweiten Sekantenpunkts
f′(x): die Ableitung: die Tangentensteigung an der Stelle x

Woher die Formel kommt

Eine Sekante. Zwei Punkte der Kurve an den Stellen x und x + h legen eine Gerade fest: die orange eingezeichnete Sekante. Ihre Steigung ist der Höhenunterschied geteilt durch den waagerechten Abstand.
$m_{chord} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}$
Verkleinere h. Für f(x) = x² beträgt die Sekantensteigung genau 2x + h. Wenn h gegen 0 geht, nähert sie sich also 2x. Du kannst h nicht gleich 0 setzen, denn dann entsteht der Quotient 0/0. Der Grenzwert beschreibt, welchem Wert sich der Quotient nähert, wenn h immer kleiner wird.
$\frac{( x + h ) ^{2} - x ^{2}}{h} = \frac{2 x h + h ^{2}}{h} = 2 x + h h \to 0 2 x$
Tangente und Normale. Die Tangente an der Stelle a verläuft durch (a; f(a)) und hat die Steigung f′(a). Die Normale steht dort senkrecht auf ihr. Ihre Steigung ist deshalb der negative Kehrwert −1/f′(a). Gilt f′(a) = 0, ist die Normale die senkrechte Gerade x = a.
$y = f^{'} (a) (x - a) + f (a) y = - \frac{1}{f ^{'} ( a )} (x - a) + f (a)$
Wenn es keine Ableitung gibt. Nähern sich die Sekanten von links und rechts unterschiedlichen Steigungen, existiert keine Ableitung. Am Knick von |x| an der Stelle 0 nähern sie sich −1 und 1.
$h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h} = - 1 \neq = 1 = h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h}$

Eine waagerechte Stelle ist nicht immer ein Hoch- oder Tiefpunkt 🖖

Ist die Ableitung null, verläuft die Tangente waagerecht. Ein Maximum oder Minimum ist damit noch nicht gesichert. Klick auf x³-Wendepunkt: Die Steigung beträgt 0, doch die Kurve steigt auf beiden Seiten weiter und wird nur an dieser Stelle flach. Dort liegt ein Wendepunkt. Bei einer Optimierungsaufgabe ist die Suche nach den Nullstellen der Ableitung deshalb erst die halbe Arbeit. Anschließend musst du prüfen, wie sich die Steigung auf beiden Seiten verhält. Die Ableitung an einer einzelnen Stelle verrät dir nicht, ob du einen Gipfel oder einen Treppenabsatz vor dir hast.

Eine Kurve, die nirgends eine Tangente hat 🖖

Die sechs vorgegebenen Kurven haben an jeder Stelle eine Tangente. Eine stetige Funktion kann aber auch so beschaffen sein, dass sie nirgends eine besitzt. 1872 konstruierte Karl Weierstraß eine Funktion, die überall stetig und nirgends differenzierbar ist: Ihre Kurve bleibt bei jeder Vergrößerung zerklüftet, sodass sich die Sekantensteigung nie auf einen Grenzwert einpendelt. Das überraschte die Mathematiker. Sie waren davon ausgegangen, dass eine stetige Kurve bis auf einzelne Stellen stets eine Tangente besitzt; Ampère hatte 1806 sogar versucht, dies zu beweisen. Später begegnete man derselben Rauheit in der Natur: Die Bahn eines Teilchens bei der Brownschen Bewegung hat nirgends eine Tangente, und Küstenlinien verhalten sich über einen weiten Bereich von Maßstäben ganz ähnlich.

ABLEITUNGEN — WELCHE REGEL GILT UND WAS DIE STEIGUNG WIRKLICH AUSSAGT

Welchen Ableitungsfall hast du vor dir?

Die Ableitung ist eine einzige Idee — die Steigung der Tangente, der Grenzwert von (f(x+h) − f(x))/h. Wie man sie berechnet, hängt aber davon ab, welche Art Funktion vorliegt, und wie man das Ergebnis liest, davon, ob es positiv, negativ oder null ist. Drei Standardregeln decken die meisten Funktionen ab; der vierte Fall ist der, in dem eine Steigung von null nicht das bedeutet, was alle annehmen.

Potenzregel — ein Polynomterm d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Trigonometrisch — Sinus und Kosinus tauschen die Plätze d/dx sin x = cos x

Exponentiell — die Funktion ist ihre eigene Ableitung d/dx e^x = e^x

Steigung null, aber weder Maximum noch Minimum f′ = 0, f″ = 0

Potenzregel — ein Polynomterm

Was du weißt: Die Funktion ist xⁿ oder eine Summe solcher Terme. Den Exponenten nach vorn holen und um eins verringern.

Regel: d/dx xⁿ = n·xⁿ⁻¹

Rechenbeispiel: f(x) = x² bei x = 1 → f′(x) = 2x → f′(1) = 2, die Tangente ist also y = 2x − 1

Diesen Fall öffnen: x² bei x=1

Potenzregel — ein Polynomterm. Die Tangente bei x = 1 hat die Steigung 2 und berührt die Parabel in einem Punkt. Die Funktion ist xⁿ oder eine Summe solcher Terme. Den Exponenten nach vorn holen und um eins verringern. — Die Tangente bei x = 1 hat die Steigung 2 und berührt die Parabel in einem Punkt.

Trigonometrisch — Sinus und Kosinus tauschen die Plätze

Was du weißt: Die Funktion ist sin x oder cos x. Ableiten dreht dich durch den Zyklus: sin → cos → −sin → −cos → sin.

Regel: d/dx sin x = cos x

Rechenbeispiel: f(x) = sin x bei x = 0 → f′(x) = cos x → f′(0) = 1, die Tangente ist also y = x

Diesen Fall öffnen: sin bei x=0

Trigonometrisch — Sinus und Kosinus tauschen die Plätze. Im Ursprung hat sin x die Steigung 1, die Tangente ist also die Gerade y = x. Die Funktion ist sin x oder cos x. Ableiten dreht dich durch den Zyklus: sin → cos → −sin → −cos → sin. — Im Ursprung hat sin x die Steigung 1, die Tangente ist also die Gerade y = x.

Exponentiell — die Funktion ist ihre eigene Ableitung

Was du weißt: Die Funktion ist eˣ. Ableiten ändert überhaupt nichts: f′(x) = f(x) in jedem Punkt.

Regel: d/dx e^x = e^x

Rechenbeispiel: f(x) = eˣ bei x = 0 → f′(x) = eˣ → f′(0) = 1, die Tangente ist also y = x + 1

Diesen Fall öffnen: eˣ bei x=0

Exponentiell — die Funktion ist ihre eigene Ableitung. Höhe und Steigung sind in jedem Punkt der Kurve dieselbe Zahl. Die Funktion ist eˣ. Ableiten ändert überhaupt nichts: f′(x) = f(x) in jedem Punkt. — Höhe und Steigung sind in jedem Punkt der Kurve dieselbe Zahl.

Steigung null, aber weder Maximum noch Minimum

Was du weißt: f′ = 0 im Punkt, er ist also stationär — aber das Vorzeichen von f′ ist auf beiden Seiten gleich, es ist somit kein Wendepunkt im Sinne eines Extremums.

Regel: f′ = 0, f″ = 0

Rechenbeispiel: f(x) = x³ bei x = 0 → f′(x) = 3x² → f′(0) = 0, und doch ist f′ > 0 auf beiden Seiten: Die Kurve flacht ab und steigt weiter.

Diesen Fall öffnen: x³ Wendepunkt

Steigung null, aber weder Maximum noch Minimum. Die Tangente ist im Ursprung waagerecht, die Kurve steigt beidseitig weiter. f′ = 0 im Punkt, er ist also stationär — aber das Vorzeichen von f′ ist auf beiden Seiten gleich, es ist somit kein Wendepunkt im Sinne eines Extremums. — Die Tangente ist im Ursprung waagerecht, die Kurve steigt beidseitig weiter.

Quellen (1)

Insight block 3 — continuous everywhere, differentiable nowhere: K. Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzteren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen." Read to the Berlin Academy, 18 July 1872; printed in Mathematische Werke, vol. 2, 71–74.

Aufgaben vollständig gelöst

Steigung und Tangente von f(x) = x² bei x = 1 5 Schritte
f(x) = x² an der Stelle x = 1. Bestimme die Steigung dort direkt aus der Definition, ohne eine Ableitungsregel zu verwenden. Gib die Tangentengleichung an und berechne genau, wie weit die Tangente ein Zehntel einer Einheit weiter rechts von der Kurve entfernt ist.
1. Ein einzelner Punkt hat keine Steigung. Um eine Steigung zu bestimmen, brauchst du zwei Punkte, deren Lage du vergleichen kannst. Wähle den zweiten im waagerechten Abstand h und teile den Höhenunterschied durch diesen Abstand. Dieser Quotient und ein Grenzübergang bilden den Kern der Differentialrechnung.
  
  $\frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = \frac{( 1 + h ) ^{2} - 1 ^{2}}{h}$
2. Multipliziere das Quadrat aus. Die konstanten Terme heben sich auf; in jedem verbleibenden Term steckt der Faktor h. Damit kannst du h im Nenner kürzen. Achte auf die Bedingung dafür: Kürzen darfst du für jedes h außer 0. Genau diesem Wert soll sich h aber nähern.
  
  $= \frac{1 + 2 h + h ^{2} - 1}{h} = \frac{h ( 2 + h )}{h} = 2 + h (h \neq = 0)$
3. Deshalb bildest du den Grenzwert, statt einfach einzusetzen. Der Ausdruck 2 + h ist linear in h; seinen Grenzwert kannst du ohne jede Näherung ablesen. So erhältst du an der Stelle x = 1 die Steigung 2, ohne die Ableitungsregel 2x zu verwenden.
  
  $h \to 0 lim (2 + h) = 2 ⟹ f^{'} (1) = 2$
4. Für die Tangente brauchst du einen Punkt und eine Steigung. Beides kennst du jetzt: Die Kurve geht durch (1; 1) und hat dort die Steigung 2.
  
  $y - 1 = 2 (x - 1) ⟹ y = 2 x - 1$
5. Zieh die Tangentengleichung von der Funktionsgleichung ab. Die Differenz lässt sich exakt faktorisieren: Die Parabel liegt an jeder Stelle x um (x − 1)² über ihrer Tangente. Im Abstand h beträgt der Unterschied also h².
  
  $x^{2} - (2 x - 1) = (x - 1)^{2} ⟹ h = 0.1 : 0.01, h = 0.01 : 0.0001$
Antwort

f′(1) = 2, Tangente y = 2x − 1. Der Abstand beträgt genau h²: Verkleinerst du die Schrittweite um den Faktor 10, sinkt der Fehler der Tangentennäherung um den Faktor 100, von 0,01 auf 0,0001. Dass der Fehler quadratisch abnimmt, begründet, warum du eine Kurve in der Nähe eines Punktes durch eine Gerade annähern kannst. Noch mehr als die Größe des Fehlers verrät sein Vorzeichen. (x − 1)² ist nie negativ; diese Parabel berührt ihre Tangenten also, ohne sie zu schneiden. Vergleiche damit f(x) = x³ an der Stelle x = 0: Die Tangente ist die x-Achse, die Differenz ist x³ selbst. Links ist x³ negativ, rechts positiv. Die Tangente schneidet die Kurve daher im Berührpunkt. Beide Funktionen haben an einer Stelle eine waagerechte Tangente, aber nur eine hat dort einen Extrempunkt. Ob ein Minimum vorliegt, erkennst du am Vorzeichen der Differenz zur Tangente; eine verschwindende Ableitung allein genügt nicht.

$f (1 + h) - [2 (1 + h) - 1] = h^{2} \forall h$
1/x direkt aus der Definition ableiten 3 Schritte
Bestimme die Ableitung von f(x) = 1/x direkt aus der Definition und die Tangente an der Stelle x = 2.

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1. Schreib den Differenzenquotienten auf und bring die beiden Brüche im Zähler auf einen gemeinsamen Nenner:
  
  $\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) = \frac{1}{h} \cdot \frac{x - ( x + h )}{x ( x + h )}$
2. Kürze h. Im verbleibenden Ausdruck kannst du nun h = 0 einsetzen:
  
  $= \frac{- 1}{x ( x + h )} h \to 0 - \frac{1}{x ^{2}}$
3. Bei x = 2 beträgt der Funktionswert ½, und die Kurve fällt dort mit der Steigung −¼:
  
  $f (2) = \frac{1}{2}, f^{'} (2) = - \frac{1}{4}, y = - \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{2} = - \frac{1}{4} x + 1$
Antwort

f′(x) = −1/x² für x ≠ 0. Die Tangente an der Stelle x = 2 lautet y = −x/4 + 1.
√x aus der Definition ableiten, Tangente und Normale bestimmen 3 Schritte
Bestimme die Ableitung von f(x) = √x direkt aus der Definition und anschließend Tangente und Normale an der Stelle x = 4.

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1. Im Zähler des Differenzenquotienten steht eine Differenz zweier Wurzeln. Erweitere mit ihrer Summe. Dadurch verschwinden die Wurzeln aus dem Zähler:
  
  $\frac{x + h - x}{h} \cdot \frac{x + h + x}{x + h + x} = \frac{( x + h ) - x}{h ( x + h + x )} = \frac{1}{x + h + x}$
2. Lass nun h gegen 0 gehen:
  
  $f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{1}{x + h + x} = \frac{1}{2 x}, f^{'} (4) = \frac{1}{4}$
3. Die Tangente verläuft durch (4; 2) und hat die Steigung ¼. Die Normale geht durch denselben Punkt; ihre Steigung ist der negative Kehrwert −4:
  
  $y = \frac{1}{4} (x - 4) + 2 = \frac{1}{4} x + 1, y = - 4 (x - 4) + 2 = - 4 x + 18$
Antwort

f′(x) = 1/(2√x) für x > 0. An der Stelle x = 4 lautet die Tangente y = x/4 + 1 und die Normale y = −4x + 18. Bei x = 0 werden die Sekanten unbegrenzt steil; dort gibt es keine Ableitung. Verschiebe x dorthin, um es auf der Seite zu sehen.
Warum die Ableitung von sin x gleich cos x ist 3 Schritte
Zeige anhand der Definition, dass die Ableitung von sin x gleich cos x ist. Nutze dazu die Grenzwerte der vorigen Seite und bestimme die Steigung bei x = π/3.

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1. Zerlege sin(x + h) mit dem Additionstheorem und klammere sin x beziehungsweise cos x aus:
  
  $\frac{sin ( x + h ) - sin x}{h} = \frac{sin x cos h + cos x sin h - sin x}{h} = sin x \cdot \frac{cos h - 1}{h} + cos x \cdot \frac{sin h}{h}$
2. Für h → 0 gilt sin h / h → 1 und (cos h − 1)/h → 0. Denn der zweite Ausdruck ist das Produkt aus h und (cos h − 1)/h², wobei der letztere Faktor gegen −½ geht:
  
  $\frac{cos h - 1}{h} = h \cdot \frac{cos h - 1}{h ^{2}} \to 0 \cdot (- \frac{1}{2}) = 0, \frac{sin h}{h} \to 1$
3. Die Ableitung ist also cos x. Bei π/3 hat sie den Wert ½:
  
  $(sin x)^{'} = sin x \cdot 0 + cos x \cdot 1 = cos x, cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Antwort

(sin x)′ = cos x, und die Steigung bei π/3 beträgt ½. Der Grenzwert sin h / h → 1 gilt nur, wenn du h im Bogenmaß angibst. Im Gradmaß geht der Quotient stattdessen gegen π/180. Dieser Faktor erscheint dann auch in der Ableitung.
Wo die Tangente waagerecht ist 3 Schritte
Bestimme die Punkte, in denen f(x) = x³ − 3x² − 9x + 2 eine waagerechte Tangente hat.

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1. Leite die Summanden einzeln mit der Potenzregel ab und faktorisiere:
  
  $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 (x - 3) (x + 1)$
2. Eine waagerechte Tangente hat die Steigung 0:
  
  $f^{'} (x) = 0 ⟺ x \in {- 1, 3}$
3. Berechne die zugehörigen Funktionswerte:
  
  $f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 2 = 7, f (3) = 27 - 27 - 27 + 2 = - 25$
Antwort

Waagerechte Tangenten in (−1; 7) und (3; −25).
Eine Tangente parallel zu einer vorgegebenen Geraden 2 Schritte
Bestimme den Punkt auf y = x² + 3x, in dem die Tangente parallel zu y = 7x − 2 verläuft, und gib die Tangentengleichung an.

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1. Parallele Geraden haben dieselbe Steigung. Setze deshalb f′(x) = 7:
  
  $f^{'} (x) = 2 x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2$
2. Berechne den Punkt und stell die Tangentengleichung auf:
  
  $f (2) = 4 + 6 = 10, y = 7 (x - 2) + 10 = 7 x - 4$
Antwort

Im Punkt (2; 10); die Tangente lautet y = 7x − 4.
Ein Knick: stetig, aber nicht differenzierbar 3 Schritte
Zeige, dass f(x) = |x| an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar ist.

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1. Vom Punkt an der Stelle 0 aus hat eine Sekante nach rechts die Steigung h/h, eine Sekante nach links die Steigung −h/h:
  
  $\frac{∣0 + h ∣ - ∣0∣}{h} = \frac{∣ h ∣}{h} = {1, - 1, h > 0 h < 0$
2. Die einseitigen Grenzwerte sind 1 und −1. Weil sie verschieden sind, existiert der Grenzwert, der f′(0) definieren würde, nicht:
  
  $h \to 0^{+} lim \frac{∣ h ∣}{h} = 1 \neq = - 1 = h \to 0^{-} lim \frac{∣ h ∣}{h}$
3. Für Stetigkeit muss weniger gelten. Von beiden Seiten nähert sich |x| dem Wert 0 = f(0):
  
  $x \to 0 lim ∣ x ∣ = 0 = f (0)$
Antwort

|x| ist an der Stelle 0 stetig und dort nicht differenzierbar: Die Kurve hat einen Knick und keine eindeutige Tangente. Jede differenzierbare Funktion ist stetig. Dieses klassische Beispiel zeigt, dass die Umkehrung nicht gilt.
Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit 3 Schritte
Ein Stein legt beim Fallen in t Sekunden die Strecke s(t) = 4,9t² Meter zurück. Bestimme seine Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen t = 2 und t = 2,1 sowie seine Momentangeschwindigkeit bei t = 2.

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1. Die Durchschnittsgeschwindigkeit über ein Zeitintervall ist die Sekantensteigung:
  
  $\frac{s ( 2.1 ) - s ( 2 )}{0.1} = \frac{21.609 - 19.6}{0.1} = 20.09 m/s$
2. Die Momentangeschwindigkeit ist der Grenzwert dieser Steigung, also die Ableitung:
  
  $s^{'} (t) = 9.8 t, s^{'} (2) = 19.6 m/s$
3. Der Unterschied beträgt 4,9h. Er nimmt daher proportional zur Länge des Zeitintervalls ab:
  
  $\frac{s ( 2 + h ) - s ( 2 )}{h} = \frac{4.9 ( 4 h + h ^{2} )}{h} = 19.6 + 4.9 h$
Antwort

Im Mittel 20,09 m/s während dieser Zehntelsekunde und 19,6 m/s zum Zeitpunkt t = 2. Auf der Seite heißt die Variable x statt t.

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.