Kehrwertfunktionen und die pythagoreischen Identitäten

Gib den Wert einer Winkelfunktion und einen Quadranten vor: Die Seite findet den Winkel, den Partnerwert über die Identität, die beide Funktionen verbindet, und die übrigen vier aus dem Punkt P. Oder zieh am Winkel und sieh zu, wie sich sec θ, csc θ und cot θ als Strecken im Bild verändern.

Kehrwertfunktionen	$sec θ = \frac{1}{cos θ}, csc θ = \frac{1}{sin θ} cot θ = \frac{cos θ}{sin θ}$
Trigonometrischer Pythagoras	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
Geteilt durch cos²θ	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
Geteilt durch sin²θ	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

Rechenbeispiel — Kehrwertfunktionen und die pythagoreischen Identitäten

Winkel	143,1301°
Sinus	0,6
Kosinus	−0,8
Tangens	−0,75
Sekans	−1,25
Kosekans	1,6667
Kotangens	−1,3333
Erste Identität	1

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Kehrwertfunktionen und die pythagoreischen Identitäten

Die Kehrwertfunktionen sind sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ und cot θ = cos θ/sin θ, jede definiert, wo ihr Nenner nicht null ist. Die pythagoreischen Identitäten sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ und 1 + cot²θ = csc²θ gelten für jeden Winkel, an dem beide Seiten definiert sind.

Woher die Formel kommt

Beginne beim Kreis. P = (cos θ, sin θ) hat bei jedem Winkel den Abstand 1 von O, also gilt cos²θ + sin²θ = 1 in jedem Quadranten. Die Quadrate sehen die Vorzeichen nicht; deshalb liefert das Dreieck mit den Katheten |cos θ| und |sin θ| dieselbe Gleichung.
$x_{P}^{2} + y_{P}^{2} = 1 \Rightarrow cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
Teile durch cos²θ oder durch sin²θ. Jede Division ist genau dort erlaubt, wo die neuen Funktionen definiert sind.
$\div cos^{2} θ : \div sin^{2} θ : 1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ cot^{2} θ + 1 = csc^{2} θ$
Zieh die Wurzel, dann wähle das Vorzeichen. Eine Identität liefert das Quadrat der Unbekannten und legt damit den Betrag fest; das Vorzeichen bestimmt der Quadrant.
$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ, sec θ = \pm 1 + tan^{2} θ$

Setzt voraus: Jede Identität gilt nur, wo ihre Funktionen definiert sind: die zweite versagt bei ungeraden Vielfachen von 90°, die dritte bei Vielfachen von 180°.

Aufgaben vollständig gelöst

Der Sinus eines stumpfen Winkels ist gegeben 2 Schritte
sin θ = 3/5, und θ ist stumpf. Bestimme die übrigen fünf Funktionswerte exakt.

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1. Ein stumpfer Winkel liegt im Quadranten II, wo der Kosinus negativ ist. Aus sin²θ + cos²θ = 1:
  
  $cos θ = - 1 - (\frac{3}{5})^{2} = - \frac{16}{25} = - \frac{4}{5}$
2. Die anderen vier sind Quotienten und Kehrwerte:
  
  $tan θ csc θ = \frac{3/5}{- 4/5} = - \frac{3}{4}, = \frac{1}{sin θ} = \frac{5}{3}, sec θ cot θ = \frac{1}{cos θ} = - \frac{5}{4} = \frac{1}{tan θ} = - \frac{4}{3}$
Antwort

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3.

$cos θ = - \frac{4}{5}, tan θ = - \frac{3}{4}, sec θ = - \frac{5}{4}, csc θ = \frac{5}{3}, cot θ = - \frac{4}{3}$
Aus dem Tangens den Sekans 2 Schritte
tan θ = −12/5 und 270° < θ < 360°. Bestimme sec θ, cos θ und sin θ.

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1. Im Quadranten IV ist der Kosinus positiv, also auch der Sekans. Aus 1 + tan²θ = sec²θ:
  
  $sec θ = + 1 + (- \frac{12}{5})^{2} = \frac{169}{25} = \frac{13}{5}$
2. Dann ist cos θ der Kehrwert, und sin θ = tan θ · cos θ:
  
  $cos θ = \frac{5}{13}, sin θ = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = - \frac{12}{13}$
Antwort

sec θ = 13/5 = 2,6, cos θ = 5/13 ≈ 0,3846, sin θ = −12/13 ≈ −0,9231.

$sec θ = \frac{13}{5}, cos θ = \frac{5}{13} \approx 0.3846, sin θ = - \frac{12}{13} \approx - 0.9231$
Aus dem Kotangens den Kosekans 2 Schritte
cot θ = 3/4 und 180° < θ < 270°. Bestimme csc θ, sin θ und cos θ.

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1. Im Quadranten III ist der Sinus negativ, also auch der Kosekans. Aus 1 + cot²θ = csc²θ:
  
  $csc θ = - 1 + (\frac{3}{4})^{2} = - \frac{25}{16} = - \frac{5}{4}$
2. Dann ist sin θ der Kehrwert, und cos θ = cot θ · sin θ:
  
  $sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{5}$
Antwort

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5.

$csc θ = - \frac{5}{4}, sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = - \frac{3}{5}$
Exakte Werte bei 30° 3 Schritte
Bestimme sec 30°, csc 30° und cot 30° exakt.

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1. Ein halbes gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge 2 hat die Seiten 1, √3 und 2, also
  
  $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
2. Kehrwerte bilden und den Nenner rational machen:
  
  $sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = \frac{3 /2}{1/2} = 3$
3. Probe mit der zweiten Identität:
  
  $1 + tan^{2} 3 0^{\circ} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = (\frac{2}{3})^{2}$
Antwort

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1,1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1,7321.

$sec 3 0^{\circ} = \frac{2 3}{3} \approx 1.1547, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = 3 \approx 1.7321$
Vereinfachen mit zwei Identitäten 2 Schritte
Vereinfache (1 − cos²θ)(1 + cot²θ).
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1. Jede Klammer ist eine Seite einer Identität; ersetze sie durch die andere Seite:
  
  $(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = sin^{2} θ \cdot csc^{2} θ$
2. und csc θ = 1/sin θ:
  
  $sin^{2} θ \cdot \frac{1}{sin ^{2} θ} = 1$
Antwort

1, für jeden Winkel, der kein Vielfaches von 180° ist; dort ist cot θ nicht definiert.

$(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = 1, θ \neq = k \cdot 18 0^{\circ}$
Ein Beweis aus der faktorisierten Identität 3 Schritte
Zeige, dass 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, und prüfe es bei θ = 60°.

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1. Erweitere mit sec θ + tan θ:
  
  $\frac{1}{sec θ - tan θ} = \frac{sec θ + tan θ}{sec ^{2} θ - tan ^{2} θ}$
2. Wegen 1 + tan²θ = sec²θ ist der Nenner 1:
  
  $= \frac{sec θ + tan θ}{1} = sec θ + tan θ$
3. Bei 60° ist sec θ = 2 und tan θ = √3:
  
  $\frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3$
Antwort

Beide Seiten sind gleich, wo immer sie definiert sind; bei 60° ergeben beide 2 + √3 ≈ 3,7321.

$\frac{1}{sec 6 0 ^{\circ} - tan 6 0 ^{\circ}} = 2 + 3 \approx 3.7321$
Ein Wert, den kein Winkel hat 2 Schritte
Bestimme alle Winkel mit sec θ = 1/2.

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1. sec θ = 1/2 würde bedeuten
  
  $cos θ = \frac{1}{sec θ} = 2$
2. aber cos θ ist eine Koordinate eines Punktes auf einem Kreis mit Radius 1, also |cos θ| ≤ 1, und deshalb
  
  $∣ sec θ ∣ = \frac{1}{∣ cos θ ∣} \geq 1$
Antwort

Es gibt keinen: sec θ und csc θ nehmen nie einen Wert echt zwischen −1 und 1 an. Das Beispiel lehnt 1/2 ab und lässt θ bei 60°, wo der Kehrwert in die andere Richtung läuft: cos θ = 1/2 und sec θ = 2.

${θ : sec θ = \frac{1}{2}} = \emptyset$
Den Parameter eliminieren 2 Schritte
Eine Kurve ist durch x = 3 sec t, y = 2 tan t gegeben. Bestimme ihre kartesische Gleichung.
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1. Stelle nach den beiden Funktionen um:
  
  $sec t = \frac{x}{3}, tan t = \frac{y}{2}$
2. und setze sie in sec²t − tan²t = 1 ein:
  
  $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$
Antwort

x²/9 − y²/4 = 1, eine Hyperbel. Da |sec t| ≥ 1, hat jeder ihrer Punkte |x| ≥ 3.

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1, ∣ x ∣ \geq 3$

Drei Identitäten, ein Dreieck in drei Größen 🖖

Das Dreieck OMP hat die Katheten |cos θ| und |sin θ| und die Hypotenuse 1; der Satz des Pythagoras lautet dort sin²θ + cos²θ = 1. Streck es mit dem Faktor 1/|cos θ|, und seine Seiten werden 1, |tan θ| und |sec θ|: die Seiten des Dreiecks OAT, das auf der Tangente x = 1 steht. Pythagoras im Dreieck OAT ergibt 1 + tan²θ = sec²θ. Streckst du stattdessen mit 1/|sin θ|, werden die Seiten 1, |cot θ| und |csc θ|, die des Dreiecks OBS an der Geraden y = 1, und daraus folgt 1 + cot²θ = csc²θ. Algebraisch ist die Streckung die Division der ersten Identität durch cos²θ oder durch sin²θ. Merken musst du dir also eine Identität; die beiden anderen sind eine Zeile Rechnung. Das Bild zeigt auch, wo jede versagt: Bei 90° läuft die Gerade OP parallel zu x = 1, und OAT fehlt die dritte Ecke. Die Wörter Tangens und Sekans führte Thomas Fincke 1583 in seiner Geometriae rotundi ein. Lateinisch heißen sie berührend und schneidend: AT liegt auf einer Geraden, die den Kreis berührt, OT auf einer, die ihn schneidet.

√(1 − sin²θ) ist nicht cos θ 🖖

Klick auf sin θ = 3/5, Quadrant II. Die Identität liefert cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, und 0,64 hat zwei Quadratwurzeln. Das Wurzelzeichen meint die positive, also ist √(1 − sin²θ) gleich |cos θ|, und cos θ = √(1 − sin²θ) ist für jeden Winkel in den Quadranten II und III falsch. Hier ist cos θ = −0,8. Die Identität legt den Betrag fest, das Vorzeichen nur der Quadrant; deshalb muss die Aufgabe sagen, wo θ liegt, so wie es „θ ist stumpf“ tut. Lass den Wert bei 0,6 und klick auf I: θ springt auf 36,8699°, und cos θ wird +0,8. Klick auf III, und die Seite lehnt ab, denn dort ist der Sinus negativ.

Nahe 90° sind sec θ und tan θ riesig und fast gleich 🖖

Klick auf θ = 89°: tan θ = 57,29 und sec θ = 57,2987, nur 0,0087 auseinander. Dass die beiden so nahe bei 90° nicht auseinanderdriften können, liegt an der zweiten Identität. Als sec²θ − tan²θ = 1 geschrieben und faktorisiert, lautet sie (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1; der Abstand ist also genau 1 geteilt durch die Summe, und 1/114,5887 ≈ 0,0087. Zieh θ näher an 90°: Die Summe wächst über alle Grenzen, der Abstand schrumpft gegen 0, und bei 90° selbst sind beide Funktionen nicht definiert. Dieselbe faktorisierte Form trägt einen klassischen Beweis: 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, denn erweitert man den Bruch mit sec θ + tan θ, bleibt der Nenner 1.

Lernpfad

Trigonometrische Identitäten und Gleichungen

Quellen (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.