Einheitskreis-Explorer

sin, cos & tan — am Einheitskreis visualisiert

Startwerte — Einheitskreis-Explorer

Winkel	45

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

Interaktive Simulation wird geladen...

Der Tangens ist nach einer echten Linie benannt 🖖

Zeichne die senkrechte Gerade x = 1. Sie berührt den Kreis in genau einem Punkt und ist damit eine Tangente. Verlängere nun den Radius im Winkel θ bis zu dieser Geraden: er trifft sie in genau der Höhe tan θ. Bei 60° läuft der Radius durch (0,5000, 0,8660) und reicht bis (1, 1,7321) — genau die 1,7321, die dieses Werkzeug für tan 60° anzeigt. Dieses Stück gab der Funktion ihren Namen, und es erklärt auch den Sprung ins Unendliche: nähert sich θ der 90°-Marke, wird der Radius parallel zur Geraden und trifft sie nie mehr. Deshalb zeigt die Anzeige +∞ statt einer Zahl.

Wo die Koordinaten die Antwort sind 🖖

Der Einheitskreis ist einfach ein Kreis mit Radius 1 um den Ursprung. Wähle einen beliebigen Winkel θ, und der Punkt, an dem er den Kreis trifft, hat genau die Koordinaten (cos θ, sin θ) — weil der Radius 1 ist, entfällt jede Skalierung. Der trigonometrische Pythagoras cos²θ + sin²θ = 1 ist dann nur die Abstandsformel in Verkleidung: Jeder Punkt liegt genau eine Einheit vom Mittelpunkt entfernt.

Das Wort Sinus bedeutet Busen 🖖

Der Name Sinus ist das Fossil einer Fehlübersetzung. Indische Mathematiker nannten die Halbsehne ardha-jyā; arabische Gelehrte übertrugen das als jiba, ohne Vokale geschrieben als jb. Spätere Leser verwechselten es mit jaib — Busen, Falte oder Bucht — und so wählten die lateinischen Übersetzer sinus, „eine Falte des Gewandes". Jedes sin θ beschwört einen jahrhundertealten Schreibfehler.

DER EINHEITSKREIS — WELCHE WINKELFAMILIE, UND WAS LEGT DIE VORZEICHEN FEST?

In welchem Einheitskreis-Fall bist du?

Ein Kreis mit Radius 1 trägt die gesamte Trigonometrie: Der Punkt zum Winkel θ hat die Koordinaten (cos θ, sin θ) — das ist die Definition und keine Folgerung daraus. Fast jeder Winkel, nach dem gefragt wird, gehört zu einer von drei Familien: die 45°-Diagonale, das Paar 30° und 60° aus dem gleichseitigen Dreieck und die vier Achsenwinkel. Alles außerhalb des ersten Quadranten ist einer davon mit einem Vorzeichen.

45° — der gleichschenklige Fall, in dem Sinus und Kosinus gleich sind sinθ = cosθ = √2/2

30° und 60° — zwei Lesarten desselben Dreiecks sinθ = cos(90° − θ)

Auf einer Achse — eine Koordinate ist null und der Tangens bricht ab cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Jenseits des ersten Viertels — die Beträge wiederholen sich, nur die Vorzeichen wechseln ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

45° — der gleichschenklige Fall, in dem Sinus und Kosinus gleich sind

Was du weißt: Der halbe rechte Winkel. Der Punkt liegt auf der Diagonalen y = x, also müssen beide Koordinaten gleich sein, und tan θ = 1.

Werte: sinθ = cosθ = √2/2

Rechenbeispiel: θ = 45° → sin θ = cos θ = √2/2 ≈ 0,7071, tan θ = 1

Diesen Fall öffnen: 45°

45° — der gleichschenklige Fall, in dem Sinus und Kosinus gleich sind. Der 45°-Punkt liegt genau auf der Diagonalen, also sind beide Koordinaten √2/2. Der halbe rechte Winkel. Der Punkt liegt auf der Diagonalen y = x, also müssen beide Koordinaten gleich sein, und tan θ = 1. — Der 45°-Punkt liegt genau auf der Diagonalen, also sind beide Koordinaten √2/2.

30° und 60° — zwei Lesarten desselben Dreiecks

Was du weißt: Das halbe gleichseitige Dreieck hat die Seiten 1, 1/2 und √3/2. Welche Länge der Sinus ist und welche der Kosinus, hängt nur davon ab, an welchem spitzen Winkel man steht.

Werte: sinθ = cos(90° − θ)

Rechenbeispiel: θ = 30° → sin θ = 1/2 = 0,5, cos θ = √3/2 ≈ 0,8660, tan θ = 1/√3 ≈ 0,5774. Bei 60° tauschen die ersten beiden die Plätze.

Diesen Fall öffnen: 30°

30° und 60° — zwei Lesarten desselben Dreiecks. Der 30°-Punkt liegt tief und weit rechts; bei 60° tauschen dieselben zwei Längen die Rollen. Das halbe gleichseitige Dreieck hat die Seiten 1, 1/2 und √3/2. Welche Länge der Sinus ist und welche der Kosinus, hängt nur davon ab, an welchem spitzen Winkel man steht. — Der 30°-Punkt liegt tief und weit rechts; bei 60° tauschen dieselben zwei Längen die Rollen.

Auf einer Achse — eine Koordinate ist null und der Tangens bricht ab

Was du weißt: Die Achsenwinkel 0°, 90°, 180° und 270° legen den Punkt auf eine Achse, also ist eine der beiden Koordinaten genau null.

Werte: cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Rechenbeispiel: θ = 90° → sin θ = 1, cos θ = 0, und tan θ = sin θ / cos θ hat überhaupt keinen Wert

Diesen Fall öffnen: 90°

Auf einer Achse — eine Koordinate ist null und der Tangens bricht ab. Bei 90° liegt der Punkt oben auf dem Kreis: Höhe 1, Breite 0 und kein Tangens. Die Achsenwinkel 0°, 90°, 180° und 270° legen den Punkt auf eine Achse, also ist eine der beiden Koordinaten genau null. — Bei 90° liegt der Punkt oben auf dem Kreis: Höhe 1, Breite 0 und kein Tangens.

Jenseits des ersten Viertels — die Beträge wiederholen sich, nur die Vorzeichen wechseln

Was du weißt: Über 90° hinaus behalten die Koordinaten die Beträge, die sie beim Referenzwinkel zur waagerechten Achse hatten. Der Quadrant entscheidet, welche davon negativ sind.

Werte: ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

Rechenbeispiel: θ = 180° → sin θ = 0, cos θ = −1. Und sin 210° = −sin 30° = −0,5, denn 210° hat den Referenzwinkel 30° und liegt im dritten Quadranten.

Diesen Fall öffnen: 180°

Jenseits des ersten Viertels — die Beträge wiederholen sich, nur die Vorzeichen wechseln. Eine halbe Drehung setzt den Punkt auf (−1, 0); die Vorzeichen jedes Quadranten stehen rund um den Kreis. Über 90° hinaus behalten die Koordinaten die Beträge, die sie beim Referenzwinkel zur waagerechten Achse hatten. Der Quadrant entscheidet, welche davon negativ sind. — Eine halbe Drehung setzt den Punkt auf (−1, 0); die Vorzeichen jedes Quadranten stehen rund um den Kreis.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine untere Schranke für π allein mit dem bei 45° abgedruckten Sinus 5 Schritte
Bestimmen Sie eine untere Schranke für π mit nichts weiter als dem bei 45° angezeigten Sinus. Dies ist der Standardzustand, θ = 45°, der gleichschenklige Fall, in dem Sinus und Kosinus gleich sind.
1. 45° halbiert den ersten Quadranten, sodass der Punkt auf der Geraden y = x landet und die beiden Koordinaten sich nicht unterscheiden können. In der Kreisgleichung verbleibt dann nur eine Unbekannte.
  
  $x = y, x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow 2 x^{2} = 1 \Rightarrow sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2} = 0.7071$
2. Die Identitätszeile ist diese umgeformte Kreisgleichung, und 45° ist der einzige Winkel im ersten Quadranten, der sie in zwei gleiche Hälften teilt. Es ist auch der einzige, bei dem der Tangens als Verhältnis zweier gleicher Zahlen exakt 1 ist.
  
  $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 0.5000 + 0.5000 = 1, tan 4 5^{\circ} = \frac{0.7071}{0.7071} = 1.0000$
3. Ein dem Kreis einbeschriebenes regelmäßiges Achteck besteht aus acht identischen Dreiecken, die sich im Mittelpunkt treffen und jeweils zwei Seiten der Länge 1 sowie einen 45°-Winkel zwischen sich haben. Der Flächeninhalt eines solchen Dreiecks beträgt ½ab sin C, sodass der bereits auf dem Bildschirm angezeigte Sinus die einzige Größe ist, die das Achteck benötigt.
  
  $A_{8} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin 4 5^{\circ} = 4 \times 0.70711 = 2.82843$
4. Der Einheitskreis hat den Flächeninhalt π, sodass das Verhältnis der beiden Flächeninhalte angibt, wie viel des Kreises das Achteck erfasst. Bei acht Seiten bleibt ein Zehntel davon außerhalb.
  
  $\frac{A _{8}}{π} = \frac{2.82843}{3.14159} = 0.9003$
5. Das Verdoppeln der Seitenzahl erfordert den Sinus des halben Winkels, und die Halbwinkelformel bezieht diesen aus dem bereits angezeigten Kosinus. Dasselbe ½ab sin C deckt dann die sechzehnseitige Figur ab.
  
  $sin 22. 5^{\circ} = \frac{1 - cos 4 5 ^{\circ}}{2} = 0.146447 = 0.38268 \Rightarrow A_{16} = 8 sin 22. 5^{\circ} = 3.06147$
Antwort

Das Werkzeug gibt sin 45° = cos 45° = 0,7071, tan 45° = 1,0000 und die Identität als 0,5000 + 0,5000 = 1 aus. Diese vier Nachkommastellen führen das Achteck auf 2,8284 und nach einer Halbierung des Winkels das 16-Eck auf 3,0615. Beide Werte sind eher untere Schranken als Schätzwerte: Ein im Kreis gezeichnetes Polygon kann nicht mehr Fläche einschließen als der Kreis selbst. Fährt man mit der Verdopplung fort, schrumpft das Defizit jedes Mal um einen Faktor von etwa 4 — 9,97 %, 2,55 %, 0,64 %, 0,16 % —, sodass ein 96-Eck — die Anzahl, mit der Archimedes selbst arbeitete — nach dieser Flächeninhaltsmethode 3,1394 ergibt, auf zwei Dezimalstellen genau und nicht weiter. Dieser Faktor 4 ist der Grund, warum die Methode schließlich aufgegeben wurde: Jede weitere korrekte Ziffer kostet etwa zwei weitere Verdopplungen, und jede Verdopplung bedeutet ein weiteres Wurzelziehen von Hand.

$A_{n} = \frac{n}{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n} ↗ π : A_{8} = 2.8284, A_{16} = 3.0615, A_{32} = 3.1214, A_{96} = 3.1394$

Lernpfad

Die Dreiecksregeln und woher sie kommen

Führt zu Koordinatengeometrie Sinus, Kosinus und Tangens für jeden Winkel — auch für den Winkel, bei dem der Tangens überhaupt keinen Wert hat.

Quellen (3)

The reference definitions of sine and cosine, and their periodicity: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity.
Where sine and cosine stopped being ratios in a triangle and became functions of a number: L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Volume I. Lausanne, 1748.
The radian as an SI unit, and why an angle in it is a ratio of two lengths: Bureau International des Poids et Mesures, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Mathematik →

Beispielaufgaben

0° - Der Radius liegt waagerecht auf der x-Achse. Sein Endpunkt ist also (1, 0), und der Kosinus beträgt 1 – ganz einfach deshalb, weil die x-Koordinate dem Kosinus entspricht. Der Tangens ist hier null, denn der Radius trifft die Gerade x = 1 direkt auf der Achse.
30° - Hier siehst du die Hälfte eines gleichseitigen Dreiecks. Deshalb gehört dieser Wert zu denen, die man auswendig lernt: Halbierst du ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 1, ist die kurze Seite genau eine Hälfte. Somit ist sin 30° exakt 0,5, ganz ohne Näherung.
45° - Nur bei diesem Winkel sind Sinus und Kosinus gleich. Das Dreieck ist gleichschenklig, und der Punkt liegt auf der Geraden y = x. Der Tangens ist genau 1. Daher trifft der verlängerte Radius die Tangente auf derselben Höhe wie den Kreis.
60° - Es ist dasselbe halbierte gleichseitige Dreieck wie bei 30°, nur von der anderen Seite betrachtet. Die Werte tauschen ihre Rollen: Der frühere Kosinus ist nun der Sinus. Der Tangens erreicht √3, sodass der Radius weit über den Kreis hinaus verlängert werden muss, bevor er die Gerade x = 1 trifft.
90° - Der Radius zeigt senkrecht nach oben und trifft die Gerade x = 1 überhaupt nicht. Genau das bedeutet geometrisch, dass der Tangens nicht definiert ist. Näherst du dich 90° von unten, wächst der angezeigte Wert unbegrenzt; die undefinierte Stelle kündigt sich also schon vorher an.
180° - Nach einer halben Umdrehung liegt der Punkt bei (−1, 0). Damit ist der Kosinus erstmals negativ, während der Sinus wieder null beträgt. Auch der Tangens ist wieder null. Die beiden Winkel mit tan = 0 liegen an gegenüberliegenden Punkten des Kreises.
270° - Nach drei Vierteln einer Umdrehung liegt der Punkt bei (0, −1); dort erreicht der Sinus sein Minimum. Der Radius zeigt senkrecht nach unten und verläuft wieder parallel zur Geraden x = 1. Deshalb ist der Tangens hier zum zweiten Mal nicht definiert. Zwischen den beiden undefinierten Winkeln liegt genau eine halbe Umdrehung, denn das ist die Periode des Tangens, nicht die des Kreises.