Explorador del Círculo Unitario

sen, cos & tan — visualizados en el círculo unitario

Valores iniciales — Explorador del Círculo Unitario

Ángulo	45

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La tangente debe su nombre a una recta real 🖖

Dibuja la recta vertical x = 1. Roza la circunferencia en un único punto, y eso es justamente lo que la convierte en una tangente. Ahora prolonga el radio de ángulo θ hasta esa recta: llega exactamente a la altura tan θ. A 60° el radio pasa por (0,5000, 0,8660) y se estira hasta (1, 1,7321) — el mismo 1,7321 que esta herramienta muestra para tan 60°. Ese segmento es lo que dio nombre a la función, y también explica la divergencia: cuando θ se acerca a 90° el radio se vuelve paralelo a la recta y ya nunca la corta, por lo que la lectura da +∞ en lugar de un número.

Donde las coordenadas son la respuesta 🖖

El círculo unitario es simplemente un círculo de radio 1 centrado en el origen. Señala cualquier ángulo θ y el punto donde corta el círculo tiene exactamente las coordenadas (cos θ, sin θ): como el radio es 1, no hace falta ninguna escala. La identidad pitagórica cos²θ + sin²θ = 1 no es más que la fórmula de la distancia disfrazada: cada punto está a exactamente una unidad del centro.

La palabra seno significa pecho 🖖

El nombre seno es el fósil de un error de traducción. Los matemáticos indios llamaban a la semicuerda ardha-jyā; los sabios árabes la transliteraron como jiba, escrita sin vocales como jb. Lectores posteriores la confundieron con jaib —pecho, pliegue o bahía—, así que los traductores latinos eligieron sinus, "un pliegue de la túnica". Cada sin θ que escribes evoca un desliz de copista de hace siglos.

LA CIRCUNFERENCIA UNIDAD — ¿QUÉ FAMILIA DE ÁNGULOS Y QUÉ FIJA LOS SIGNOS?

¿En qué caso de la circunferencia unidad está?

Una circunferencia de radio 1 sostiene toda la trigonometría: el punto del ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sin θ), y eso es la definición, no una consecuencia. Casi cualquier ángulo que le pidan cae en una de tres familias: la diagonal de 45°, la pareja 30° y 60° recortada del triángulo equilátero, y los cuatro ángulos que caen sobre los ejes. Todo lo que está fuera del primer cuadrante es uno de esos con un signo pegado.

45°: el caso isósceles, donde seno y coseno coinciden sinθ = cosθ = √2/2

30° y 60°: dos lecturas del mismo triángulo sinθ = cos(90° − θ)

Sobre un eje: una coordenada es cero y la tangente se rompe cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Más allá del primer cuarto: los tamaños se repiten, solo cambian los signos ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

45°: el caso isósceles, donde seno y coseno coinciden

Lo que sabe: La mitad de un ángulo recto. El punto está sobre la diagonal y = x, así que ambas coordenadas tienen que ser iguales y tan θ = 1.

Valores: sinθ = cosθ = √2/2

Ejemplo resuelto: θ = 45° → sin θ = cos θ = √2/2 ≈ 0,7071, tan θ = 1

Abrir este caso: 45°

45°: el caso isósceles, donde seno y coseno coinciden. El punto de 45° cae justo sobre la diagonal, así que ambas coordenadas valen √2/2. La mitad de un ángulo recto. El punto está sobre la diagonal y = x, así que ambas coordenadas tienen que ser iguales y tan θ = 1. — El punto de 45° cae justo sobre la diagonal, así que ambas coordenadas valen √2/2.

30° y 60°: dos lecturas del mismo triángulo

Lo que sabe: La mitad de un triángulo equilátero tiene lados 1, 1/2 y √3/2. Qué longitud es el seno y cuál el coseno depende solo de en qué ángulo agudo se sitúe.

Valores: sinθ = cos(90° − θ)

Ejemplo resuelto: θ = 30° → sin θ = 1/2 = 0,5, cos θ = √3/2 ≈ 0,8660, tan θ = 1/√3 ≈ 0,5774. En 60° las dos primeras se intercambian.

Abrir este caso: 30°

30° y 60°: dos lecturas del mismo triángulo. El punto de 30° queda bajo y muy a la derecha; en 60° esas mismas dos longitudes cambian de papel. La mitad de un triángulo equilátero tiene lados 1, 1/2 y √3/2. Qué longitud es el seno y cuál el coseno depende solo de en qué ángulo agudo se sitúe. — El punto de 30° queda bajo y muy a la derecha; en 60° esas mismas dos longitudes cambian de papel.

Sobre un eje: una coordenada es cero y la tangente se rompe

Lo que sabe: Los ángulos 0°, 90°, 180° y 270° colocan el punto sobre un eje, de modo que una de las dos coordenadas es exactamente cero.

Valores: cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Ejemplo resuelto: θ = 90° → sin θ = 1, cos θ = 0, y tan θ = sin θ / cos θ no tiene valor alguno

Abrir este caso: 90°

Sobre un eje: una coordenada es cero y la tangente se rompe. En 90° el punto está en lo alto de la circunferencia: altura 1, anchura 0 y ninguna tangente. Los ángulos 0°, 90°, 180° y 270° colocan el punto sobre un eje, de modo que una de las dos coordenadas es exactamente cero. — En 90° el punto está en lo alto de la circunferencia: altura 1, anchura 0 y ninguna tangente.

Más allá del primer cuarto: los tamaños se repiten, solo cambian los signos

Lo que sabe: Pasados los 90°, las coordenadas conservan el tamaño que tenían en el ángulo de referencia hasta el eje horizontal. El cuadrante decide cuáles son negativas.

Valores: ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

Ejemplo resuelto: θ = 180° → sin θ = 0, cos θ = −1. Y sin 210° = −sin 30° = −0,5, porque 210° tiene ángulo de referencia 30° y cae en el tercer cuadrante.

Abrir este caso: 180°

Más allá del primer cuarto: los tamaños se repiten, solo cambian los signos. Media vuelta lleva el punto a (−1, 0); los signos de cada cuadrante están marcados alrededor. Pasados los 90°, las coordenadas conservan el tamaño que tenían en el ángulo de referencia hasta el eje horizontal. El cuadrante decide cuáles son negativas. — Media vuelta lleva el punto a (−1, 0); los signos de cada cuadrante están marcados alrededor.

Problema resuelto al detalle

Una cota inferior para π usando únicamente el seno impreso a 45° 5 pasos
Acotar π por abajo utilizando únicamente el seno mostrado en 45°. Este es el estado por defecto, θ = 45°, el caso isósceles en el que el seno y el coseno son iguales.
1. 45° divide en dos el primer cuadrante, de modo que el punto cae sobre la recta y = x y ambas coordenadas han de ser iguales. La ecuación de la circunferencia queda entonces con una sola incógnita.
  
  $x = y, x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow 2 x^{2} = 1 \Rightarrow sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2} = 0.7071$
2. La fila de la identidad es esa misma ecuación de la circunferencia reordenada, y 45° es el único ángulo del primer cuadrante que la divide en dos mitades iguales. Es también el único donde la tangente, cociente de dos números iguales, vale exactamente 1.
  
  $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 0.5000 + 0.5000 = 1, tan 4 5^{\circ} = \frac{0.7071}{0.7071} = 1.0000$
3. Un octógono regular inscrito en la circunferencia consta de ocho triángulos idénticos que concurren en el centro, cada uno con dos lados de longitud 1 y un ángulo de 45° entre ellos. El área de un triángulo así es ½ab sin C, por lo que el seno que ya aparece en pantalla es la única cantidad que requiere el octógono.
  
  $A_{8} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin 4 5^{\circ} = 4 \times 0.70711 = 2.82843$
4. El círculo unidad tiene un área de π, de modo que la razón entre ambas áreas indica qué proporción del círculo abarca el octógono. Con ocho lados, una décima parte del área queda fuera.
  
  $\frac{A _{8}}{π} = \frac{2.82843}{3.14159} = 0.9003$
5. Duplicar el número de lados requiere el seno del ángulo mitad, y la fórmula del ángulo mitad lo obtiene a partir del coseno ya mostrado. La misma expresión ½ab sin C sirve entonces para la figura de dieciséis lados.
  
  $sin 22. 5^{\circ} = \frac{1 - cos 4 5 ^{\circ}}{2} = 0.146447 = 0.38268 \Rightarrow A_{16} = 8 sin 22. 5^{\circ} = 3.06147$
Respuesta

La herramienta muestra sin 45° = cos 45° = 0,7071, tan 45° = 1,0000 y la identidad como 0,5000 + 0,5000 = 1. Esos cuatro decimales llevan el área del octógono a 2,8284 y, tras dividir el ángulo por dos, la del polígono de 16 lados a 3,0615. Ambos valores son cotas inferiores más que estimaciones: un polígono trazado en el interior de la circunferencia no puede encerrar más área que esta. Al seguir duplicando, el defecto de área se reduce por un factor aproximado de 4 cada vez —9,97 %, 2,55 %, 0,64 %, 0,16 %—, de modo que un polígono de 96 lados —el número con el que trabajó el propio Arquímedes— da 3,1394 mediante este método del área, con dos decimales exactos y no más. Ese factor de 4 es el motivo por el cual se terminó abandonando el método: cada cifra exacta adicional exige aproximadamente dos duplicaciones más, y cada duplicación supone calcular a mano otra raíz cuadrada.

$A_{n} = \frac{n}{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n} ↗ π : A_{8} = 2.8284, A_{16} = 3.0615, A_{32} = 3.1214, A_{96} = 3.1394$

Ruta de aprendizaje

Las reglas del triángulo y de dónde salen

Lleva a Geometría analítica seno, coseno y tangente para cualquier ángulo — incluido el ángulo en el que la tangente no tiene ningún valor.

Referencias (3)

The reference definitions of sine and cosine, and their periodicity: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity.
Where sine and cosine stopped being ratios in a triangle and became functions of a number: L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Volume I. Lausanne, 1748.
The radian as an SI unit, and why an angle in it is a ratio of two lengths: Bureau International des Poids et Mesures, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-08-17

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

0° - El radio descansa sobre el eje x, así que su extremo es (1, 0) y el coseno vale 1 por una razón muy sencilla: la coordenada x ES el coseno. Aquí la tangente es cero porque el radio corta la recta x = 1 en el propio eje.
30° - Es medio triángulo equilátero, de ahí que sea el valor que todo el mundo aprende de memoria: si cortas por la mitad un triángulo equilátero de lado unidad, el cateto corto mide exactamente la mitad. El seno de 30° es 0,5, sin aproximación alguna.
45° - Es el único ángulo cuyo seno y coseno son iguales, porque el triángulo es isósceles y el punto está sobre la recta y = x. La tangente vale exactamente 1, así que la prolongación del radio corta la recta tangente a la misma altura que alcanza la circunferencia.
60° - Es el mismo medio triángulo equilátero que en 30°, pero visto al revés. Los valores se intercambian: lo que antes era el coseno ahora es el seno. La tangente alcanza √3, de modo que hay que prolongar el radio bastante más allá de la circunferencia para que corte la recta x = 1.
90° - El radio apunta verticalmente hacia arriba y no llega a cortar la recta x = 1. Ese es el significado geométrico, no aritmético, de que la tangente no esté definida. Si te acercas a 90° por debajo, el valor mostrado crece sin límite; no es que el cálculo falle en el último paso.
180° - Media vuelta lleva el punto hasta (−1, 0), por lo que el coseno se vuelve negativo por primera vez mientras el seno regresa a cero. La tangente vuelve a ser cero, y los dos ángulos que cumplen tan = 0 se encuentran en extremos opuestos de la circunferencia.
270° - Tras recorrer tres cuartos de vuelta, el punto está en (0, −1), donde el seno alcanza su mínimo. El radio apunta verticalmente hacia abajo y vuelve a ser paralelo a la recta x = 1, así que este es el segundo ángulo en el que la tangente no tiene valor. Los dos ángulos donde no está definida distan exactamente media vuelta, que es el período de la tangente, no el de la circunferencia.