Principio de Fermat: el problema del socorrista

Pon un socorrista en la arena y un nadador en el agua, ajusta la velocidad a la que el socorrista corre y nada, y elige por dónde entrar al agua. Tres corredores salen a la vez: tu trayectoria, la línea recta y la trayectoria más rápida que la página puede calcular. Arrastra el punto naranja por la orilla y observa cómo cambia el tiempo, y lo poco que varía cerca del mínimo.

Ejemplo resuelto — Principio de Fermat: el problema del socorrista

Tu trayectoria: correr y luego nadar	22,90 s
Punto de entrada más rápido	36,18 m
Tiempo más rápido	19,48 s
Lo que cuesta tu punto de entrada	3,417 s
Estimación de ese coste con la parábola plana	4,242 s
Línea recta del socorrista al nadador	22,90 s
Línea recta, más lenta que la más rápida en un	17,54%

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Principio de Fermat: el problema del socorrista

Principio de Fermat: la luz viaja entre dos puntos siguiendo una trayectoria cuyo tiempo de recorrido es estacionario, lo que significa que un pequeño cambio en la trayectoria no produce una variación de primer orden en el tiempo. Para un socorrista que corre a v₁ y nada a v₂, el tiempo total pasando por el punto de entrada x es T(x) = √(x² + a²)/v₁ + √((L − x)² + b²)/v₂, y su mínimo se alcanza cuando sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, midiendo los ángulos respecto a la línea perpendicular a la orilla. En el caso de la luz, usar v = c/n convierte esto en la ley de Snell, n₁ sen θ₁ = n₂ sen θ₂.

Qué significa cada símbolo

x: el punto de la orilla por donde cruza la trayectoria
v_1: velocidad en la arena
v_2: velocidad en el agua
θ: ángulo entre un tramo de la trayectoria y la línea perpendicular a la orilla
T″: la segunda derivada del tiempo en el punto ideal; un error de Δ cuesta aproximadamente ½T″Δ²

Supone: Carreras en línea recta a velocidad constante a cada lado de una orilla bien definida, sin pérdida de tiempo al girar o entrar al agua, y un nadador que se queda quieto. Pennings enumera las mismas suposiciones para Elvis y añade que las olas desdibujan la orilla y que un corgi corre un poco por el agua antes de empezar a nadar.

La trayectoria más corta es la lenta, y la alternativa obvia es casi perfecta 🖖

Pulsa Directo al nadador. La línea recta mide 56,57 m de largo y tarda 22,90 s, porque la mitad del trayecto se nada a 1,5 m/s. La trayectoria más rápida mide 5,13 m más y tarda 19,48 s: recorre 41,34 m en la arena y solo 20,36 m en el agua. Ahora pulsa Nadar lo mínimo posible. Correr hasta el punto más cercano al nadador y nadar en línea recta hacia él tarda 19,72 s, a tan solo 0,242 s de la mejor trayectoria, y es una regla que cualquiera puede seguir sin hacer cálculos. Funciona en este caso porque este socorrista corre 4,7 veces más rápido de lo que nada; si igualas ambas velocidades, esa misma regla pierde por 5,435 s frente a la línea recta.

Cerca del mejor punto, el tiempo casi no varía 🖖

Arrastra el punto naranja y observa el segundo panel. Su mínimo es plano: entrar 1 m antes del punto óptimo cuesta 16,1 ms, 2 m cuestan 63,6 ms y 10 m, 1,43 s; si te pasas, 16,3 ms y 1,67 s. Un error diez veces mayor supone entre 89 y 102 veces el coste. Esto ocurre porque el tiempo crece con el cuadrado del error y carece de un término lineal para el error mismo. La parábola de trazos, ½T″Δ², representa ese cuadrado y coincide con la curva real cerca del mínimo. Así es como enuncian los físicos el principio de Fermat: la luz sigue una trayectoria en la cual un pequeño cambio no produce variaciones de primer orden en el tiempo de viaje. El mejor punto de entrada está donde la pendiente dT/dx es cero, lo que equivale a sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂. La tabla de resultados muestra cómo sin θ₁ / sin θ₂ y v₁ / v₂ coinciden hasta en cuatro decimales. Al convertir las velocidades en índices de refracción, el resultado es la ley de Snell.

Las mediciones de un corgi en el lago Michigan 🖖

En 2003, el matemático Tim Pennings cronometró a su corgi galés Elvis a 6,40 m/s corriendo y a 0,910 m/s nadando. Tras tres horas lanzando una pelota al lago Michigan, registró 35 recuperaciones, anotando en cada una dónde entraba Elvis al agua. Partiendo desde la orilla, el punto de entrada más rápido se sitúa a 0,144 veces la distancia de la pelota lago adentro, justo antes del punto opuesto a la pelota, siempre y cuando esta última se encuentre al menos a esa distancia a lo largo de la playa. El tercer panel compara sus 35 recuperaciones con esa línea. De estas, 23 se sitúan por encima, indicando que tendía a entrar un poco antes; una recta ajustada a ellas tiene una pendiente de 0,171. Cuatro de ellas quedan muy por encima: los puntos que, según Pennings, algunos lectores descartarían como valores atípicos. Observa ahora la franja sombreada, que marca todos los puntos de entrada cuyo coste es inferior a una décima de segundo: los 35 se encuentran en su interior. En una carrera de 15 m, el peor lanzamiento le costó 94,4 ms y la mediana, 5,7 ms. La conclusión del propio Pennings fue que Elvis no sabe cálculo. Tampoco le hacía falta, porque el mínimo es plano.

Problema resuelto al detalle

Una playa con una franja de arena blanda 5 pasos
El socorrista del primer ejemplo preestablecido tiene ahora que cruzar 10 m de arena seca y blanda, donde solo puede correr a 4 m/s, antes de pisar 10 m de arena firme a 7 m/s y luego entrar al agua. El nadador sigue estando a 20 m mar adentro y a 40 m a lo largo de la costa, y la velocidad de nado sigue siendo de 1,5 m/s. ¿Cuál es ahora el tiempo más rápido y cuánto cuesta seguir la antigua trayectoria en la nueva playa? Pulsa Directo al nadador para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. Sin la franja blanda, la página calcula el mejor punto de entrada y el mejor tiempo:
  
  $x^{*} = 36.18 m, T^{*} = \frac{41 . 34}{7} + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 19.48 s$
2. Con tres franjas, la trayectoria más rápida se curva en ambas fronteras, y la condición de la pendiente pasa a ser un solo número compartido por todas las franjas, c = sen θ / v. Cada franja de profundidad h se cruza lateralmente recorriendo h tan θ, y los tres cruces deben sumar los 40 m a lo largo de la playa. Despejando c:
  
  $i \sum h_{i} tan θ_{i} = 10 tan θ_{s} + 10 tan θ_{f} + 20 tan θ_{w} = 40, sin θ_{i} = c v_{i} \Rightarrow c = 0.13526 s/m$
3. Eso nos da el ángulo en cada franja, medido desde la línea perpendicular a las fronteras:
  
  $θ_{s} = arcsin (4 c) = 32.7 5^{\circ}, θ_{f} = arcsin (7 c) = 71.2 3^{\circ}, θ_{w} = arcsin (1.5 c) = 11.7 1^{\circ}$
4. Cada tramo mide h / cos θ, y su tiempo es su longitud sobre su velocidad:
  
  $T = \frac{11 . 89}{4} + \frac{31 . 08}{7} + \frac{20 . 425}{1 . 5} = 2.97 + 4.44 + 13.62 = 21.03 s$
5. La antigua trayectoria, pasando por el antiguo punto de entrada a los 36,18 m con una carrera en línea recta a través de ambos tipos de arena, pasa la mitad de la carrera en la franja blanda:
  
  $T_{0} = \frac{41 . 34}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{7}) + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 21.69 s$
Respuesta

La trayectoria más rápida tarda 21,03 s. Cruza la arena blanda con gran inclinación, a 32,75° de la perpendicular, hace casi todo el recorrido a lo largo de la playa sobre la arena firme a 71,23°, y entra al agua a los 35,86 m. La antigua trayectoria tarda 21,69 s en la nueva playa, así que ignorar la franja blanda cuesta 0,67 s, mucho más que los 16 ms que cuesta un error de un metro en la playa anterior. La línea recta tarda ahora 24,41 s. La regla que entra en juego es la misma que obedece la luz al atravesar capas de cristal: sen θ / v es igual en todas las capas.

$T^{*} = 21.03 s, x^{*} = 40 - 4.14 = 35.86 m; T_{0} - T^{*} = 0.67 s; T_{s} = 24.41 s$

Ruta de aprendizaje

Mínimo tiempo, mínima acción

Referencias (2)

Elvis the corgi: his running and swimming speeds, the optimal entry point y = x/√((r/s)² − 1) that does not depend on the distance along the beach, and the 35 measured retrieves this page plots: T. J. Pennings, "Do Dogs Know Calculus?", The College Mathematics Journal 34(3), 178–182 (2003).
Fermat's principle in its modern form, that a small change in the path makes no first-order change in the time; the lifeguard as Feynman's illustration of it; and why the stationary path is the one the light takes, from the phases of neighbouring paths: M. Fowler, "Fermat's Principle of Least Time", lecture 3 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.