Braquistócrona: el descenso más rápido

Elige a qué distancia horizontal y vertical está la meta y arrastra el tirador naranja para trazar tu propia rampa. Cuatro cuentas se sueltan a la vez, sin fricción, por la rampa recta, el arco circular de Galileo, la cicloide y tu curva. Observa cuál llega primero y lee más abajo por qué ocurre.

Ejemplo resuelto — Braquistócrona: el descenso más rápido

Rampa recta: tiempo	0,6387 s
Radio del círculo rodante de la cicloide	0,5729 m
Cicloide: tiempo	0,5830 s
Tu curva: tiempo	0,5847 s
Rampa, más lenta que la cicloide en	9,55%
Cuánto desciende la cicloide bajo la meta	0,000 m
A lo largo de la cicloide, sin θ / v es siempre	0,2109 s/m
Velocidad en la meta, en cualquier curva	4,429 m/s

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Braquistócrona: el descenso más rápido

La braquistócrona (del griego para «tiempo más corto») es la curva a lo largo de la cual una cuenta, al deslizarse sin fricción desde el reposo bajo la gravedad, llega más rápido de un punto a otro más bajo. Se trata de la cicloide x = R(φ − sin φ), y = R(1 − cos φ) (con y medida hacia abajo), la trayectoria de un punto en el borde de un círculo de radio R que rueda por la línea de salida, elegida de forma que pase por la meta. Su tiempo es φ_B √(R/g), y a lo largo de ella sin θ / v = 1/(2√(gR)).

Qué significa cada símbolo

φ: cuánto ha girado el círculo rodante, en radianes; φ_B en la meta
R: radio del círculo rodante
θ: ángulo de la pendiente respecto a la vertical
v: velocidad de la cuenta, √(2gy) a profundidad y en cualquier pista sin fricción

La trayectoria más larga gana 🖖

Pulsa 1 m horizontal, 1 m abajo y observa las cuatro cuentas. La rampa recta es la pista más corta, con 1,414 m, y llega la última con 0,6387 s. La cicloide es 0,060 m más larga y llega primero con 0,5830 s, porque desciende bruscamente al principio y la cuenta pasa el resto del viaje moviéndose rápido. Todas las cuentas llegan a la misma velocidad, 4,429 m/s, la velocidad que otorga una caída de 1 m en cualquier pista sin fricción; la forma solo decide la prontitud. Johann Bernoulli lo expuso en su desafío de junio de 1696: la línea recta es la de menor distancia, «pero no es la que se recorre en el menor tiempo». Galileo ya había demostrado en 1638 que un arco circular supera a la cuerda recta, y pensó que el círculo podría ser la respuesta. Su cuarto de círculo supera aquí a la rampa, pero no a la cicloide: 0,5921 s, un 1,56% por detrás. Fíjate en tu curva naranja: solo sigue a grandes rasgos a la cicloide y se queda un 0,29% por detrás de ella. Cerca de la trayectoria óptima el tiempo apenas varía, como le ocurrió al socorrista.

A suficiente distancia, la trayectoria más rápida pasa bajo la meta 🖖

Pulsa 4 m horizontal, 1 m abajo. La cicloide que alcanza la meta se hunde ahora 0,504 m por debajo de ella y vuelve a subir, y aun así gana: 1,2117 s, frente a los 1,8620 s de la rampa y los 1,4847 s del arco de Galileo. Bajar más de lo necesario parece un desperdicio, pero la profundidad aporta velocidad para el largo trayecto horizontal, y escalar ese último medio metro cuesta menos tiempo que arrastrarse por una pendiente poco pronunciada. La cicloide se hunde siempre que la distancia horizontal a la meta sea mayor que π/2 = 1,5708 veces su distancia vertical, porque solo entonces su círculo rodante ha girado más de media revolución al llegar. A 10 m horizontal, 1 m abajo desciende 2,312 m por debajo de la meta y la rampa tarda un 115,71% más. Sussmann y Willems señalan que el propio argumento de Bernoulli de 1697 tiene una laguna exactamente aquí, en el fondo del descenso, que la teoría posterior del control óptimo logra cerrar.

La cuenta obedece la ley de Snell 🖖

La solución de Bernoulli, publicada en mayo de 1697, no trataba a la cuenta como tal. Su velocidad a una profundidad y es √(2gy) en cualquier pista, así que imaginó la luz viajando por un medio, dividido en finas capas, cuya velocidad crece con la profundidad exactamente de esa forma. La luz que cruza las capas mantiene sin θ / v igual en cada una, la ley de Snell con velocidades, y la trayectoria de menor tiempo de esa luz es la trayectoria de menor tiempo de la cuenta. El segundo panel lo comprueba en la propia cuenta: a lo largo de la cicloide, sin θ / v se mantiene en 0,211 s/m de principio a fin, mientras que en la rampa recta, cuyo ángulo nunca cambia, cae de 0,505 s/m a una décima parte del descenso hasta 0,168 s/m a nueve décimas partes del mismo, a medida que la cuenta se acelera. La regla que mandó al socorrista al agua a los 36,18 m es la misma regla que traza la cicloide.

Problema resuelto al detalle

Pon la meta tan baja como quieras 4 pasos
La meta está a 4 m en horizontal, pero puedes ponerla a cualquier profundidad. ¿A qué distancia vertical debe estar para que la cuenta recorra esos 4 m laterales en el menor tiempo, y cuánto más rápido es eso que con la meta a 1 m de profundidad? Pulsa 4 m horizontal, 1 m abajo para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. Con la meta a 1 m de profundidad, la página da el tiempo de la cicloide:
  
  $H = 1 m : T = φ_{B} R / g = 1.2117 s$
2. Si la profundidad es libre, la mejor meta está donde la propia cicloide se nivela, en el fondo de su arco, de modo que la cuenta cruza la línea de meta moviéndose en línea recta a través de ella. Eso equivale a media vuelta del círculo rodante:
  
  $\frac{d y}{d x}_{B} = 0 \Rightarrow φ_{B} = π$
3. Media vuelta hace avanzar el círculo πR, así que R se deduce de los 4 m, y la caída es el diámetro del círculo:
  
  $π R = 4 \Rightarrow R = \frac{4}{π} = 1.2732 m, H = 2 R = 2.5465 m$
4. y el tiempo es φ_B √(R/g):
  
  $T = π \frac{1 . 2732}{9 . 80665} = \frac{4 π}{9 . 80665} = 1.1320 s$
Respuesta

Pon la meta a 2,5465 m de profundidad, 1,5465 m más abajo que antes, y la cuenta cubrirá los 4 m en 1,1320 s, 0,0797 s más rápido que los 1,2117 s que tarda con una meta a 1 m de profundidad. Escribe 2,5465 en el campo de profundidad y la página coincidirá: φ_B es 180,00° y la cicloide tarda 1,1320 s. Los apuntes de clase de Fowler llegan a la misma forma en general: la curva más rápida para una distancia horizontal dada es la semicicloide que llega nivelada, y su tiempo resulta ser √(πL/g).

$H = 2.5465 m, T = 1.1320 s, 1.2117 - 1.1320 = 0.0797 s$

Ruta de aprendizaje

Mínimo tiempo, mínima acción

Referencias (2)

The history and the mathematics: Bernoulli's challenge of June 1696 and its wording, Galileo's circular arc of 1638, the solutions of 1697, Bernoulli's own solution by Snell's law in thin layers, and the gap in it where the cycloid dips below the finish: H. J. Sussmann and J. C. Willems, "300 years of optimal control: from the brachystochrone to the maximum principle", IEEE Control Systems 17(3), 32–44 (1997).
The brachistochrone derived by the calculus of variations, and the fastest curve to a given horizontal distance when the drop is free, a half-cycloid that arrives level: M. Fowler, "The Calculus of Variations", lecture 2 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.