Espejismos: la desviación de la luz por el aire frío y caliente

Ajusta la temperatura del aire, el calor o frío del suelo, cómo el aire se calienta o enfría sobre él, la altura de tus ojos y un poste rayado a cierta distancia. La página traza las líneas de visión a través del aire, las muestra de perfil y revela lo que verían tus ojos: el poste, el cielo, la carretera y el cielo posado sobre el asfalto.

Ejemplo resuelto — Espejismos: la desviación de la luz por el aire frío y caliente

El rayo del espejismo es más largo por	4,80 mm

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Espejismos: la desviación de la luz por el aire frío y caliente

Un espejismo es una imagen formada por la luz al curvarse a través de aire cuyo índice de refracción cambia con la altura. A lo largo de un rayo en capas horizontales, n cos θ se mantiene constante (siendo θ el ángulo sobre la horizontal; en la Tierra curva, usando m = n + z/R en lugar de n). Por tanto, una línea de visión que parte del ojo con un ángulo de depresión α se curva hacia arriba antes de tocar el suelo siempre que m(H) cos α > m(0). Allí donde m es mínimo a ras de suelo, como sobre una carretera más caliente que el aire, el ángulo rasante α_c = arccos(m(0)/m(H)) ≈ √(2Δm), con Δm = m(H) − m(0), separa las líneas de visión que alcanzan el suelo de las que se curvan hacia arriba antes de llegar. El ojo, al extrapolar en línea recta, sitúa el inicio del espejismo a H / tan α_c.

Qué significa cada símbolo

n: índice de refracción del aire; n − 1 = 7,86×10⁻⁴ p/(273 + t) para aire seco, p en kPa y t en °C
α_c: el ángulo de la línea de visión rasante por debajo de la horizontal
m: el índice con la curvatura de la Tierra incorporada, n + z/R
k: cuánto se curva un rayo horizontal, como fracción de la curvatura de la Tierra
γ: la rapidez con la que el aire se calienta por la altura, en K por metro; negativo cuando se enfría

Supone: Aire seco, capas horizontales uniformes y la fórmula sencilla del NIST para el índice de refracción, válida según el NIST de 0 a 35 °C. Por encima de esa temperatura, en la superficie de la carretera, la página utiliza su término para el aire seco, que es la densidad de un gas ideal, ya sin esa garantía. Una capa superficial caliente real es turbulenta, por eso los espejismos reales titilan.

El charco tiene un borde y viaja a tu lado 🖖

Pulsa Carretera desde un coche. Tienes aire a 30 °C sobre una carretera a 50 °C, y el índice de refracción a la altura de tus ojos es 1,62×10⁻⁵ mayor que en la superficie de la carretera. El aire caliente es menos denso, por lo que la luz viaja un poco más rápido por él. Esa diferencia curva hacia arriba las líneas de visión que salen de tu ojo con poca inclinación antes de que alcancen el asfalto, y regresan del cielo. La más inclinada de ellas roza la carretera a 0,3284° bajo la horizontal; cualquier ángulo mayor choca contra el pavimento. Tu ojo asume que la luz viaja en línea recta, así que sitúa esa dirección rasante en la carretera a 209,3 m por delante, y todo lo que hay más allá parece cielo posado sobre el asfalto: agua. Las páginas de Andrew T. Young sobre espejismos dicen lo mismo al describir una fotografía en el desierto: el espejismo comienza en un límite nítido donde la línea de visión encuentra el suelo en el ángulo crítico. Nada en esa frase depende de dónde estés tú, de modo que el borde se mueve contigo. Pulsa Reproducir y observa cómo el poste se te acerca. Su imagen invertida se encoge y desaparece cuando el poste está a menos de 235,3 m, que es donde el rayo rasante gira de verdad, mientras el borde se mantiene a 209,3 m por delante.

La luz del espejismo toma el camino más lento, y ni siquiera el más rápido a nivel local 🖖

Dos rayos alcanzan el punto a 1,00 m de altura en el poste desde el ojo: el directo, casi recto, y el del espejismo, que desciende hasta 35,7 mm sobre la carretera y vuelve a subir. Ambos son los rayos que permite el principio de Fermat, caminos donde un pequeño cambio no altera el tiempo de viaje en primer orden. Sin embargo, el rayo del espejismo es 4,80 mm más largo, y aunque pasa parte de su recorrido por un aire más rápido, llega 12,57 ps más tarde. La tabla de resultados va un paso más allá. Si doblas el rayo del espejismo 1,2 cm hacia arriba o hacia abajo en el centro, manteniendo fijos sus extremos, su camino óptico se acorta en ambas direcciones (en 5,17 µm y 5,53 µm). Una curva de dos jorobas lo hace más largo: se encuentra en un punto de silla, no en un mínimo. El rayo directo se alarga sin importar en qué dirección se doble. La luz que transporta la imagen invertida sigue una trayectoria estacionaria sin ser mínima, y lo mismo le ocurre a la acción de un cuerpo en movimiento, como muestra la página sobre la mínima acción.

El aire cálido sobre un mar frío curva la luz alrededor de la Tierra 🖖

Normalmente, el aire se vuelve menos denso al subir sobre todo porque cae la presión. Un rayo horizontal se curva hacia abajo con aproximadamente un quinto de la curvatura de la Tierra. El ajuste Mar helado, aire normal da 0,219, así que desde 14 m el horizonte queda a 15,11 km en lugar de a los 13,36 km de las líneas rectas. Calienta el aire con la altura y el rayo se curvará más. En aire a −20 °C, un calentamiento de 0,0921 K por metro hace que un rayo horizontal se curve exactamente igual que la Tierra. La página necesita 0,1129 a 0 °C y 0,1295 a 15 °C, en consonancia con los 0,114 °C por metro que Young cita de Alfred Wegener. Pulsa Mar helado, aire cálido: a 0,15 K por metro el rayo se curva 1,435 veces más rápido que la Tierra. Un acantilado de 30 m a 50 km de distancia, que hace un momento estaba oculto bajo el horizonte, se ve derecho unos minutos de arco sobre la horizontal. La tripulación de Barents, que pasó el invierno en Nueva Zembla, vio el Sol el 24 de enero de 1597, dos semanas antes de lo previsto, cuando su centro aún estaba 5° 26′ bajo el horizonte según la reconstrucción de van der Werf y sus colegas.

Problema resuelto al detalle

¿A qué temperatura debe estar la carretera para que el charco empiece a 100 m? 4 pasos
Los ojos de un conductor están a 1,2 m sobre la carretera y el aire está a 30 °C. La página sitúa el charco a 209,3 m por delante en una carretera a 50 °C. ¿A qué temperatura tendría que estar la superficie del asfalto para que empiece a tan solo 100 m? Pulsa Carretera desde un coche para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. Según la página, en el estado inicial:
  
  $α_{c} = 0.328 4^{\circ}, \frac{H}{tan α _{c}} = \frac{1 . 2}{tan 0 . 328 4 ^{\circ}} = 209.3 m$
2. Dale la vuelta. Para que el borde esté a 100 m, la línea de visión rasante debe salir del ojo con una inclinación de
  
  $α = arctan \frac{1 . 2}{100} = 0.687 5^{\circ}$
3. Esa línea de visión roza la carretera, así que el índice de refracción en la superficie debe cumplir m(0) = m(H) cos α. En el ojo, con aire a 30 °C, m(H) = 1,000263003:
  
  $m (0) = m (H) cos α = 1.000263003 \times 0.999928008 \Rightarrow n_{0} - 1 = 1.9099 \times 1 0^{- 4}$
4. Despeja en la fórmula del NIST la temperatura que produce esa refractividad, usando la presión de la carretera:
  
  $t_{0} = \frac{7 . 86 \times 1 0 ^{- 4} \times 101 . 325}{1 . 9099 \times 1 0 ^{- 4}} - 273 = 144.0^{\circ} C$
Respuesta

Unos 144 °C, y configurar una carretera a 144 °C en el aire de la página coloca el borde de nuevo a 100,0 m. Eso es más caliente que el agua hirviendo y queda muy fuera del rango de temperaturas que el NIST garantiza para su fórmula. El borde se acerca despacio: 290,1 m para una carretera 10 °C por encima del aire, 209,3 m para 20 °C, 152,9 m para 40 °C. El charco se mantiene lejos porque Δn es minúsculo: 1,62×10⁻⁵ para una carretera 20 °C más caliente que el aire.

$t_{0} \approx 144^{\circ} C, n_{H} - n_{0} = 7.18 \times 1 0^{- 5} (50^{\circ} C : 1.62 \times 1 0^{- 5})$

Ruta de aprendizaje

Mínimo tiempo, mínima acción

Referencias (3)

The refractive index of air: the Ciddor and Edlén equations and, in Appendix B, the shop-floor formula this page uses with the humidity term at zero, with the range of temperatures it is stated for: J. A. Stone and J. H. Zimmerman, "Index of Refraction of Air", Engineering Metrology Toolbox, National Institute of Standards and Technology, Appendix B "Simple Shop-floor Formula for Refractive Index of Air".
How mirages form: the hot-road mirage starting at the line of sight that meets the ground at the critical angle; why rays curve; the gradient at which a level ray follows the Earth; and ducts: A. T. Young, "An Introduction to Mirages" and "Calculating Ray Bending", web pages in the series "Mirages and Green Flashes", San Diego State University.
The Novaya Zemlya effect on Barents' third voyage: the Sun seen on 24 January 1597 while its centre was 5° 26′ below the horizon, reconstructed by ray tracing through a temperature inversion: S. Y. van der Werf, G. P. Können, W. H. Lehn, F. Steenhuisen and W. P. S. Davidson, "Gerrit de Veer's true and perfect description of the Novaya Zemlya effect, 24–27 January 1597", Applied Optics 42(3), 379–389 (2003).

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.