El principio de mínima acción

Elige una pelota lanzada o una masa en un resorte. Ajusta cuánto dura el movimiento y curva el movimiento real con los dos controles deslizantes, manteniendo fijos su inicio y su final. La página suma la acción (la energía cinética menos la energía potencial a lo largo del tiempo) tanto para el movimiento real como para el curvado, y muestra cuál es menor.

Ejemplo resuelto — El principio de mínima acción

Acción del movimiento real	67,9432 J·s
Acción del movimiento curvado	67,9432 J·s
Cambio producido por la curva	0,0000 J·s
El mismo cambio según la fórmula Σ cₙaₙ²	0,0000 J·s
Altura del arco real en la cima	4,903 m

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — El principio de mínima acción

La acción de un movimiento q(t) entre posiciones finales fijas en tiempos fijos es S = ∫ (K − V) dt, la energía cinética menos la potencial, sumada a lo largo del tiempo. Principio de Hamilton: el movimiento real es aquel para el cual S es estacionaria. Por tanto, cualquier pequeño cambio en el movimiento, manteniendo los extremos fijos, no produce ningún cambio de primer orden en S. Para una curva a sin(nπt/T) en una masa m con V = ½mω²q², el cambio es exactamente (mT/4)((nπ/T)² − ω²) a². En gravedad uniforme, V = mgq, ocurre lo mismo con ω = 0. Un potencial que es lineal en q no le añade nada.

Qué significa cada símbolo

S: la acción, ∫(K − V) dt, en julios-segundo
aₙ: el tamaño de una curva con n arcos, aₙ sin(nπt/T)
cₙ: lo que cuesta esa curva por metro cuadrado, (mT/4)((nπ/T)² − ω²)
ω: la frecuencia angular del resorte, 2π/P; cero para gravedad uniforme

El arco de la pelota tiene menos acción que la línea recta 🖖

Pulsa Pelota lanzada 20 m. La acción es la energía cinética menos la energía potencial, sumada a lo largo del vuelo. Esto da 67,9432 J·s para el arco real. La línea recta entre los mismos dos extremos, manteniéndose a nivel todo el trayecto, da 100,0000 J·s, un valor mayor. Pulsa Igual, 1 m más alta. Subir más añade 12,4862 J·s a la parte de energía potencial, ∫V dt. Moverse lo bastante rápido para llegar allí y volver en 2 s añade 13,7199 J·s a la parte cinética, ∫K dt. La acción, que es su diferencia, aumenta en 1,2337 J·s. Ajusta la curva a −1 y la acción vuelve a ser 69,1769 J·s, subiendo la misma cantidad. Nada en el cambio es de primer orden. Es exactamente 1,2337 veces el cuadrado de la curva. Por tanto, el arco real se sitúa en el fondo de un cuenco, igual que hacía el punto de cruce del socorrista. Los físicos llaman a esto el principio de Hamilton. En gravedad uniforme el cuenco nunca se vuelca. La tabla muestra que toda curva eleva la acción, para un lanzamiento de cualquier duración.

En un resorte, la mínima acción dura solo medio periodo 🖖

Cambia al resorte y pulsa Resorte 1,5 s, un arco. El periodo del resorte es de 2 s, así que el movimiento supera el medio periodo. Ahora la curva de un arco disminuye la acción. Al curvarse 0,2 m, cae de 0,0000 a −0,0822 J·s, y c₁ es −2,0562. Pulsa Resorte 1,5 s, dos arcos y la acción, por el contrario, sube a 0,1151 J·s. El movimiento real es menor que algunos vecinos y mayor que otros. Forma una silla de montar, con la misma forma que el rayo de un espejismo en la carretera caliente. Incluso la línea recta entre los mismos extremos da −2,1341 J·s, muy por debajo del movimiento real. El motivo es el tirón de vuelta hacia el centro. Una curva con n arcos cuesta (mT/4)((nπ/T)² − ω²). Una vez que T supera el medio periodo, π/T cae por debajo de ω y la primera curva se invierte. El artículo de Gray y Taylor sobre esto se titula, con justicia, "Cuando la acción no es la mínima". Ellos demuestran que es un mínimo para movimientos lo bastante cortos y nunca un máximo verdadero. El principio que se cumple en cualquier duración es que la acción es estacionaria.

A exactamente medio periodo, una curva no cuesta nada 🖖

Pulsa Resorte medio periodo. La masa va desde 1 m en un lado hasta 1 m en el opuesto en exactamente 1 s. Cúrvalo 0,2 m con un arco y la acción no se mueve en absoluto, 0,0000 J·s. Lo mismo ocurre con una curva de cualquier tamaño. La parábola en el segundo panel se queda plana. El movimiento curvado no es una aproximación a uno real. Es uno real. Una masa en este resorte, soltada a 1 m con un empujón, alcanza −1 m después de medio periodo sin importar cuál fue el empujón, porque el periodo no depende de la amplitud de la oscilación. Todos estos movimientos unen los mismos dos extremos en el mismo tiempo con la misma acción. Gray y Taylor llaman al segundo extremo el foco cinético del primero. Más allá de él, como mostraron los preajustes de 1,5 s, la acción es una silla de montar.

Problema resuelto al detalle

Cayendo a través de la Tierra 4 pasos
Perfora un agujero recto a través de una Tierra uniforme y deja caer una pelota dentro. En el interior, la gravedad es proporcional a la distancia desde el centro. Por eso la pelota se mueve como una masa en un resorte con ω² = g/R, R = 6.371 km. ¿Para qué duración de viaje sigue siendo un mínimo la acción de la pelota, y dónde se encuentra entonces? Pulsa Resorte 1,5 s, un arco para comprobar el primer paso.

Abre este problema en la herramienta
1. En el resorte de 2 s de la página, pasado el medio periodo la curva de un arco ya reduce la acción:
  
  $P = 2 s, T = 1.5 s : c_{1} = \frac{m T}{4} (\frac{π ^{2}}{T ^{2}} - ω^{2}) = - 2.0562 J s/ m^{2}$
2. c₁ cambia de signo donde π/T = ω, lo cual equivale a medio periodo:
  
  $c_{1} = 0 ⟺ \frac{π}{T} = ω ⟺ T = \frac{π}{ω} = \frac{P}{2}$
3. Para el túnel, con g = 9,80665 m/s²:
  
  $ω = \frac{g}{R} = \frac{9 . 80665}{6 , 371 , 000} = 1.2407 \times 1 0^{- 3} s^{- 1}, P = \frac{2 π}{ω} = 5064 s = 84.41 min$
4. La mitad de eso:
  
  $\frac{P}{2} = 42.20 min, x (\frac{P}{2}) = R cos π = - R$
Respuesta

La acción de la pelota es un mínimo para cualquier viaje más corto de 42,20 minutos. Y 42,20 minutos es exactamente el tiempo que tarda en caer de un lado de la Tierra al otro. La posición x = R cos ωt alcanza −R a medio periodo. Los viajes que terminan en el lado opuesto están en el foco cinético. Los más largos, en el camino de vuelta, son sillas de montar. La pelota pasa por el centro a ωR = 7,90 km/s.

$T < 42.20 min ⟺ c_{1} > 0, v_{m a x} = ω R = 7.90 km/s$

Ruta de aprendizaje

Mínimo tiempo, mínima acción

Referencias (2)

Whether the action of a true motion is a minimum: a minimum for short enough motions, a trough at the kinetic focus, a saddle beyond it and never a true maximum; the harmonic oscillator's kinetic focus at half a period, the formula for the change made by each Fourier bend, and no kinetic focus in uniform gravity: C. G. Gray and E. F. Taylor, "When action is not least", American Journal of Physics 75(5), 434–458 (2007).
Hamilton's principle derived from Newton's laws for a particle moving in one dimension in a given time, with the footnote that strictly the path need only be stationary: M. Fowler, "Hamilton's Least Action Principle and Noether's Theorem", lecture 4 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.