Calculadora de caída libre

tiempo de caída, velocidad de impacto y energía en la caída libre bajo gravedad

Ejemplo resuelto — Calculadora de caída libre

Tiempo de caída (Impact)	4,5152 s
Velocidad de impacto	44,29 m/s (159,5 km/h / 99,1 mph)
Energía cinética por kg	981 J/kg

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Lección

La teoría — Calculadora de caída libre

La caída libre es el movimiento bajo la sola acción de la gravedad, habiendo eliminado el aire del problema. Una aceleración constante g actúa durante toda la caída, y todo lo que informa el panel se deduce de esa única suposición — no se añade ninguna fuerza y no se omite ninguna.

Qué significa cada símbolo

h: la altura de caída, medida hacia abajo en línea recta. Es la única distancia en el problema: qué distancia recorre el objeto lateralmente y qué forma tiene no aparecen.
g: la aceleración de la gravedad, en metros por segundo al cuadrado. Ajústala a 1.62 para la Luna y la misma caída de 100 m se alarga de 4.5152 s a 11.1111 s, llegando a 18 m/s en lugar de 44.29 m/s.
v: la velocidad de impacto en el momento en que llega al suelo, no un promedio. El objeto viajaba más despacio que esto durante toda la caída excepto en su instante final.
t: el tiempo de caída. Crece como la raíz cuadrada de la altura, que es la parte que sorprende a la gente — diez veces la altura de caída solo otorga 3.1623 veces el tiempo.

De dónde viene la fórmula

Con una aceleración constante y partiendo del reposo, la distancia es h = ½gt². Eso es toda la física; el resto es álgebra.
Despeja el tiempo: t = √(2h/g). La raíz cuadrada es la razón por la que una caída no tarda el doble desde el doble de altura.
La velocidad tras un tiempo t es v = gt. Sustituir el tiempo del paso 2 da v = g·√(2h/g) = √(2gh) — la altura y la gravedad entran de forma simétrica, y la masa no aparece nunca en ninguna de las dos líneas.
La energía cinética por kilogramo es ½v², y elevar al cuadrado √(2gh) devuelve exactamente g·h. Con h = 100 y g = 9.81 la tercera fila marca 981 J/kg, que es 9.81 × 100 — la lectura es el producto de las dos entradas y nada más.

Cómo leer lo que ves

Cambia la altura y observa cómo las dos filas superiores se mueven a la vez, pero no a la par: a 1000 m la caída tarda 14.2784 s frente a 4.5152 s, y alcanza los 140.07 m/s frente a 44.29 m/s. Ambos quedan multiplicados por 3.1623, ya que diez veces la altura equivale a √10 veces todo lo demás. Reduce la altura a la cuarta parte y la velocidad se quedará exactamente en la mitad, puesto que v es proporcional a √h: 25 m dan 22.15 m/s.

Supone: Sin aire, partiendo del reposo y con una gravedad constante durante la caída. Esta última es la condición más leve de las tres: g disminuye con la altitud, por lo que una caída real de 1000 m no transcurre con un único valor como ocurre en este caso.
Falla cuando: La resistencia del aire es lo que la invalida en primer lugar, y lo hace por completo en vez de ligeramente. Un paracaidista real deja de acelerar al alcanzar una velocidad límite cercana a 55 m/s, por lo que esta página ya sobreestima el caso de 1000 m en más de un factor de dos con 140.07 m/s. La fórmula no tiene ningún término que pueda producir un límite superior — v = √(2gh) aumenta sin límite —, de modo que el número que muestra no es una respuesta ligeramente optimista, sino la respuesta a una pregunta diferente.

Galileo no podía cronometrar una bola al caer, así que ralentizó la gravedad 🖖

Una caída de unos pocos metros termina en menos de un segundo, y el mejor reloj disponible en 1600 era un recipiente de agua pesado en una balanza. Así que Galileo diluyó la gravedad en lugar de luchar contra ella: al hacer rodar una bola por un plano inclinado de poca pendiente, la misma aceleración constante actúa a una fracción de su intensidad, alargando el movimiento hasta poder medirlo a mano. Lo que descubrió fue que las distancias recorridas en intervalos iguales sucesivos aumentaban como 1, 3, 5, 7 — los números impares, cuyas sumas acumuladas son 1, 4, 9, 16, los cuadrados. Eso es h ∝ t² demostrado sin un cronómetro. El cuadro de gravedad de arriba hace lo mismo por software: ajustarlo a 1.62 no altera la física, solo el ritmo al que esta transcurre.

Práctica

Compruébalo tú mismo

Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.

Pulsa Torre de 100 m (Tierra): 4.5152 s, 44.29 m/s, 981 J/kg. Ahora pon la gravedad en los 1.62 de la Luna y deja la altura como está — la velocidad de impacto se desploma a 18 m/s. ¿Desde qué altura habría que soltarlo en la Luna para que llegue igual de fuerte, y qué fila te avisa de que ya has llegado?

Mostrar la respuesta

Unos 605.5 m, seis veces la altura para un sexto de la gravedad. Fíjate en la tercera fila. La energía cinética por kilogramo es g·h y nada más, así que igualar 981 J/kg equivale a igualar la velocidad. Con 605.5 y 1.62 verás 980.91 J/kg y 44.29 m/s, frente a los 981 de la Tierra y los mismos 44.29. Ahora la caída dura 27.341 s en lugar de 4.5152 s. Tarda seis veces más en alcanzar la misma velocidad, porque una gravedad débil necesita distancia para hacer lo que una fuerte logra rápidamente.
Un paracaidista real deja de acelerar en torno a 55 m/s. ¿A partir de qué altura de caída empieza esta página a dar una velocidad que ninguna persona en caída alcanza?

Mostrar la respuesta

Entre 154 m y 155 m: 154 da 54.97 m/s y 155 da 55.15 m/s. Ese umbral está más bajo de lo que casi nadie supone, y todo lo que hay por encima responde sobre el vacío, no sobre el aire. Después la diferencia crece deprisa: a 1000 m la página indica 140.07 m/s, dos veces y media una velocidad que un cuerpo cayendo en el aire no puede superar.

Problema resuelto al detalle

Dejar caer una piedra desde 100 m con g = 9,81 m/s² 5 pasos
Deja caer una piedra desde 100 m con g = 9,81 m/s². Calcula el tiempo de caída, la velocidad de impacto y la energía por kilogramo, y después averigua dónde se ubican los puntos medios de la caída, ya que ni la mitad de la altura ni la mitad de la energía coinciden con la mitad del tiempo.
1. El desplazamiento es cuadrático respecto al tiempo, por lo que igualar la altura a cero y resolver constituye la totalidad del primer paso.
  
  $y (t) = h - \frac{1}{2} g t^{2} = 0 ⟹ t = \frac{2 h}{g} = \frac{200}{9.81} = 4.5152 s$
2. La velocidad es la derivada, evaluada en ese instante. Merece la pena convertirla: 159 km/h es velocidad de autopista, desde diez pisos de altura.
  
  $v = g t = 9.81 \times 4.5152 = 44.29 m/s = 159.5 km/h$
3. Sustituir v² = 2gh en la energía cinética por kilogramo hace desaparecer la velocidad, y deja únicamente la altura de caída y la gravedad. Es la energía potencial devuelta de forma directa, de ahí que el número sea un 981 redondo.
  
  $v^{2} = 2 g h ⟹ \frac{E _{k}}{m} = \frac{1}{2} v^{2} = g h = 9.81 \times 100 = 981 J/kg$
4. Pasemos al perfil de la caída. Escribir la altura como una fracción del total convierte la dependencia del tiempo en un simple cuadrado, y los cuadrados son desfavorables: la mitad del tiempo transcurrido solo rinde una cuarta parte de la distancia.
  
  $\frac{y}{h} = 1 - (\frac{t}{t _{imp}})^{2} : t = \frac{1}{2} t_{imp} \Rightarrow only 25% fallen; y = \frac{1}{2} h \Rightarrow t = 0.707 t_{imp}$
5. El aire cambia el destino, no solo el ritmo. Con una velocidad límite de 55 m/s, la forma cerrada da 38,0 m/s: un 14% menos de velocidad, pero un 26% menos de energía, porque la energía varía con el cuadrado, y esta es la única línea en la que reaparecería la masa.
  
  $v_{t} = 55 m/s : v_{imp} = v_{t} 1 - e^{- 2 g h / v_{t}^{2}} = 55 1 - e^{- 0.6486} = 38.0 m/s, \frac{E _{k}}{m} = 721.8$
Respuesta

4,5152 s, 44,29 m/s y exactamente 981 J/kg. Esa última cifra es simplemente gh: la masa se cancela por partida doble, por lo que un guijarro y un piano llegan con la misma energía por kilogramo. Y la caída se concentra enormemente hacia el final: a la mitad del tiempo la piedra ha cubierto una cuarta parte del descenso, y solo alcanza la mitad de la altura al 71 % del tiempo. La mitad del recorrido tiene lugar en ese último 29 %, por lo que una caída a la que parece posible sobrevivir desde lo alto, no lo es.

$t = 4.5152 s, v = 44.29 m/s, E_{k} / m = g h = 981 J/kg$

Ruta de aprendizaje

Energía en lugar de fuerzas

Referencias (3)

Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.