Pythagorase labor

Määra kaks kaatetit. Loe teoreemi pindaladena, vaata, kuidas kõrgus selle tõestab, ja painuta siis pinda, millel see elab, et näha teda läbi kukkumas.

Näidisarvutus — Pythagorase labor

a² + b²	25
c²	25
Pythagorase kolmik	1

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Tõestus on kõrvaltoas olev tööriist 🖖

Langeta täisnurgast ristlõik hüpotenuusile. See maandub punktis, mis jagab c kaheks lõiguks p ja q, ning tekitab kaks väiksemat kolmnurka — mõlemal on algsega samad kolm nurka, seega on mõlemad sellega sarnased. Sarnastel kolmnurkadel on võrdelised küljed, ja sellest võrdelisusest tuleb ühe lõigu jaoks a² = c·p ja teise jaoks b² = c·q. Liida need: a² + b² = c(p + q) = c². Kogu teoreem koosneb ühest ristsirgest ja tõsiasjast, et kuju tähendab nurki.

See on väide tasasuse, mitte kolmnurkade kohta 🖖

Liiguta kõveruse liugurit ja vaata, kuidas võrdus a² + b² = c² enam ei kehti. Sfääril jääb kolmas külg lühemaks, hüperboolsel pinnal aga pikeneb üle oodatud väärtuse. Kummaski geomeetrias pole midagi kummalist: täisnurk on endiselt täisnurk ja kaatetid on ikka 3 ja 4. Muutunud on ruum.

Seda võrdust asendavad seadused cos(c/R) = cos(a/R)·cos(b/R) ja cosh(c/R) = cosh(a/R)·cosh(b/R). Kui R kasvab, taanduvad mõlemad kujule c² = a² + b², sest kummagi arenduse esimene allesjääv liige on ruutliige. Seetõttu on teoreem loogiliselt samaväärne Eukleidese paralleelide postulaadiga: kummast tahes lähtudes saab teise tõestada. Maamõõtja võib selle erinevuse kõrvale jätta, kuid Maa või aegruumi mõõtkavas töötades ei saa seda eirata.

Ka nurgad pole eraldiseisev nähtus. Nurgasumma kõrvalekalle väärtusest 180° võrdub täpselt kõveruse ja pindala korrutisega; seda väljendab Gaussi-Bonnet’ teoreem. Tööriist ei mõõda kõvera kolmnurga pindala, vaid määrab selle kolme nurga järgi.

Ruudud on kõrvalised — ja ülejääke saab ruutida 🖖

Miski teoreemis ei nõua ruute. Ehita kolmele küljele ükskõik millised kujundid, kui need kolm on üksteisega sarnased, ja kaatetite omad annavad kokku ikka hüpotenuusi oma — see on Eukleides, Elemendid VI.31, ja see kehtib samal põhjusel nagu kõik muu siin: pindala kasvab pikkuse ruuduga. Võta poolringid ja välja kukub midagi hämmastavat. Hüpotenuusil olev poolring läbib täpselt täisnurka, ja kaks väljapoole jäävat poolkuud on kokku täpselt kolmnurga pindalaga. Hippokrates Chioselt leidis selle umbes 440 eKr, ja see oli esimene kord, kui keegi näitas kõverate servadega piirkonnal olevat täpselt sama pindala mis sirgeservalisel.

Vanem kui tema nimi, ja nimi on ilmselt vale 🖖

Pythagoras Samoselt ei jätnud midagi kirjalikku ja omistus talle ilmub alles sajandeid pärast tema surma. Seos ise on palju vanem ja tekib sõltumatult mitmes kohas. Babüloonia tahvel Plimpton 322 umbes aastast 1800 eKr loetleb arve, mis seda rahuldavad — kuigi Eleanor Robsoni ümberhindamine väidab, et tahvel on õpetaja harjutus pöördarvupaaridega, mitte kolmikute tabel omaette. Baudhāyana Śulbasūtra, ohvrialtarite märkimise käsiraamat, sõnastab diagonaalireegli mitu sajandit enne Eukleidest, kuid ei tõesta midagi. Hiinas esineb gōugǔ reegel teoses Zhōubì Suànjīng, tükeldusjoonist omistatakse tavaliselt Zhao Shuangi kommentaarile 3. sajandist pKr. Mida Eukleides umbes 300 eKr teoses Elemendid I.47 pakub, on esimene säilinud tõestus — ja just seda polnud keegi teine kirja pannud. Elisha Loomis kogus hiljem ühte köitesse 370 erinevat tõestust.

Iga kolmik on ringjoone ratsionaalne punkt 🖖

Jaga võrdus a² + b² = c² arvuga c². Saad x² + y² = 1, kus x ja y on ratsionaalarvud. Seega ei käsitle Pythagorase kolmikud õigupoolest ainult kolmnurki, vaid kirjeldavad ühikringjoone ratsionaalsete koordinaatidega punkte. Kõik need punktid saab leida ühe selge meetodiga. Tõmba punktist (−1, 0) ratsionaalse tõusuga sirge. See lõikab ringjoont teist korda ratsionaalsete koordinaatidega punktis ning iga selline ringjoone punkt peale punkti (−1, 0) saadakse sel viisil täpselt üks kord. Siit pärinevad Eukleidese m ja n ning seepärast saab tööriist need a, b ja c järgi taastada. Meetod toimib, sest ringjoon, millel leidub üks ratsionaalsete koordinaatidega punkt, on perekonda 0 kuuluv kõver. Võrrandi x³ + y³ = 1 korral sama võte ei tööta. See kõver kuulub perekonda 1 ja selle ratsionaalsete koordinaatidega punkti läbiv sirge lõikab kõverat veel kahes punktis, mitte ühes, mistõttu pole võttel enam pidepunkti. Perekond 1 ei taga iseenesest midagi: elliptilisel kõveral võib olla lõpmata palju ratsionaalsete koordinaatidega punkte, kuid sellel kõveral on ainult (1, 0) ja (0, 1). See on Fermat’ suur teoreem kuupastmete kohta, mille tõestas Euler. Pythagorast ja Fermat’d lahutab just see üks arv.

Ülesanded täielikult lahendatud

Näitamine, et 1,4142 hüpotenuus on arv, mida ükski murd ei suuda kirjutada 5 sammu
Näidake, et hüpotenuus, mille tööriist kuvab kujul 1,4142, on arv, mida ei saa esitada ühegi murruna. See on vaade Tõestus, kus mõlema kaateti väärtuseks on seatud 1, seega annab teoreem c² = 2 ja midagi muud mängus ei ole.
1. Kaks kaatetit pikkusega 1 annavad c² = 2 ning kuna 2 ei ole täisruut, ei ole c täisarv. See osa on lihtne. Keeruline väide on see, et see ei ole ka murd, kuigi murd on olnud iga mõõtmine, mis kunagi tehtud.
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 ⟹ c = 2 = 1.4142 \dots$
2. Eeldame, et see on murd, ja kirjutame selle taandatud kujul — iga murdu saab nii esitada, seega see eeldus ei maksa midagi. Ruutuvõtmine ja nimetaja kaotamine teisendavad pikkust puudutava väite väiteks kahe täisarvu kohta, mis ongi tõestuses ainus samm, mis vajas leiutamist.
  
  $2 = \frac{p}{q}, g cd (p, q) = 1 ⟹ p^{2} = 2 q^{2}$
3. Paaritu arvu ruut on paaritu arv, mistõttu p² paarisarvulisus sunnib p ennast olema paarisarv. Asendades p = 2m ja läbi jagades satub q täpselt samasse positsiooni, kus p just oli, ning nüüd on mõlemad paarisarvud — mis on vastuolus vabalt valitud taandatud kujuga. Eeldus on ainus asi selles arutluses, mis saab olla väär.
  
  $2 ∣ p^{2} \Rightarrow 2 ∣ p; p = 2 m : 4 m^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 m^{2} \Rightarrow 2 ∣ q ⟹ g cd (p, q) \geq 2$
4. Seega ei ole võrrandil p² = 2q² täisarvudes üldse lahendit. Nihutades sihtmärki ühe võrra, on lahendeid lõpmata palju: paar paari järel rahuldab võrrandit p² − 2q² = ±1, ning 1 on väikseim nullist erinev vahe täisarvude vahel. Lähedased möödalasud muutuvad suhtelises mõttes suvaliselt heaks ja vahe ei sulgu kunagi.
  
  $p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1 : (3, 2), (7, 5), (17, 12), (41, 29), (99, 70), 9 9^{2} - 2 \cdot 7 0^{2} = 9801 - 9800 = 1$
5. Vahe teguriteks lahutamine teisendab selle ligilähedase tulemuse veaks. Lugeja on eelmiselt realt pärit ±1, seega on kogu viga üks jagatud millegagi, mille suurusjärk on umbes 2√2 q² — arvu √2 hea lähisväärtuse täpsus tuleneb q suurusest, mitte mingist kavalusest p suhtes.
  
  $\frac{99}{70} - 2 = \frac{9 9 ^{2} - 2 \cdot 7 0 ^{2}}{70 ( 99 + 70 2 )} = \frac{1}{13 859.65} = 7.2152 \times 1 0^{- 5}$
Vastus

Iga arv, mille tööriist selle kolmnurga jaoks kuvab, on ümardus: 1,4142 c jaoks ning 0,7071 kõrguse ja mõlema lõigu jaoks, milleks see hüpotenuusi jagab — millest kõik kolm on c/2. Neli komakohta ei ole ekraani piirang — ükski mis tahes laiusega ekraan ei jõuaks lõpule, ja põhjuseks on 3. samm. Üks järeldus ilmneb kohe: üheski Pythagorase kolmikus ei ole a = b, sest see nõuaks täisarve seosega p² = 2q², mistõttu lõpmata paljudest kolme täisarvulise küljega täisnurksetest kolmnurkadest ei ole ükski võrdhaarne. Teine järeldus on see, et 1,4142 on kättesaamatu mõõdetaval, mitte ebamäärasel viisil — 99/70 eksib 7,2 × 10⁻⁵ võrra, 239/169 on veelgi parem ning vahe jääb igal järgneval paaril väärtusele ±1. Kreeklased tundsid neid paare külje- ja diagonaalarvudena ning ehitasid nende abil sajandeid, mis on praktiline vastus võimatusele: te ei saa arvu √2, kuid võite saada nii palju selle numbreid, kui palju olete valmis maksma.

$p^{2} = 2 q^{2} ⟹ g cd (p, q) \geq 2 p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1 : (3, 2), (7, 5), (17, 12), \dots$
Retsept, mis andis täisarvude kolmiku 5, 12 ja 13 6 sammu
Esimene ülesanne näitas, et ühikruudu diagonaal on irratsionaalne. Siin on 5, 12 ja 13 kõik täisarvud, ja paneel nimetab isegi paari (m, n) = (3, 2), millest nad tulid. Küsi siis raskem küsimus: kas see retsept püüab kinni iga sellise kolmiku — ja mis on neil kõigil salaja ühist?
1. Alusta paneelist. 25 ja 144 annavad kokku 169, ja 169 on täpselt 13² — just see teeb sellest kolmnurgast nimetamisväärse.
  
  $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$
2. Eukleidese retsept võtab kaks suvalist täisarvu ja annab kolmiku. Korruta ruudud lahti ja ristliikmed taanduvad: samasus kehtib iga m ja n korral, seega ei saa see kunagi vale tulemust anda.
  
  $a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2} ⟹ a^{2} + b^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2} = c^{2}$
3. Paneeli enda paar on (3, 2), ja sealt tulebki 5-12-13. Anna talle (2, 1) ja välja tuleb 3-4-5.
  
  $(m, n) = (3, 2) : (9 - 4, 12, 9 + 4) = (5, 12, 13); (m, n) = (2, 1) : (3, 4, 5)$
4. Aga kas see püüab kinni kõik? Jaga teoreem c²-ga ja küsimus muudab kuju: millised ratsionaalsete koordinaatidega punktid asuvad ühikringjoonel? Igaüheni jõuab ratsionaalse tõusuga sirge läbi punkti (−1, 0), ja t = n/m ongi see tõus. Nimekiri on seega täielik — ükski kolmik ei saa peitu jääda.
  
  $(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1 ⟹ \frac{a}{c} = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, \frac{b}{c} = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, t = \frac{n}{m} \in Q$
5. Ja nüüd saladus, mis tuleb sellest, kui vähene saab ruut olla. Mooduli 3 järgi on ruut 0 või 1, mitte kunagi 2. Mooduli 5 järgi 0, 1 või 4. Mooduli 8 järgi samuti 0, 1 või 4. Aja a² + b² = c² sealt läbi ja võimalused varisevad kiiresti.
  
  $x^{2} \equiv 0, 1 (mod 3); x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 5); x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 8)$
6. Selle asemel et argumenti usaldada, loe üle. Alla 100 hüpotenuusiga primitiivseid kolmikuid on kuusteist.
  
  $c < 100 : 16 ⟶ 3 ∣ ab : 16/16, 4 ∣ ab : 16/16, 5 ∣ ab c : 16/16$
Vastus

Igal primitiivsel kolmikul on üks kaatet jaguv 3-ga, üks kaatet 4-ga ja üks külg 5-ga — nii et kolme külje korrutis on alati 60 kordne. Kontrollitud kõigil kuueteistkümnel, mille hüpotenuus on alla 100: kuusteist kuueteistkümnest igas punktis. 3-4-5 juures näib see juhusena, sest seal langevad kolm jagajat kolmele erinevale küljele. 5-12-13 juures kannab üksainus kaatet 12 nii 3 kui ka 4, ja 5 on hüpotenuusilt kaatetile kolinud. Tööriist joonistab korraga ühe kolmnurga, ja see muster on olemas ainult kõigi peale kokku.

$3 ∣ ab, 4 ∣ ab, 5 ∣ ab c ⟹ 60 ∣ ab c$

Õpitee

Kolmnurga reeglid ja kust need tulevad

Viib edasi Suvalise kolmnurga lahendamine a² + b² = c² ja piirangu, mis sellega kaasneb: see on väide ainult täisnurksete kolmnurkade kohta.

Allikad (5)

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Matemaatika õppetunnid →

Näiteülesanded

3-4-5 - Kaatetite ruudud mahutavad 9 ja 16, hüpotenuusi ruut mahutab 25. See on Pythagorase kolmik, mille annavad m = 2 ja n = 1.
5-12-13 - 25 + 144 = 169, seega c = 13 täpselt. Teine kolmik, arvudest m = 3 ja n = 2 — tõend, et 3-4-5 on reegli juhtum, mitte võlukunst.
See, mis lõhkus ühe koolkonna - Kaks ühepikkust kaatetit annavad c = 1,4142… ja ükski täisarvude murd ei võrdu sellega. Tõestusvaade näitab kõrgust maanduvat täpselt keskele — see sümmeetria teeb siit kõige lihtsama juhtumi, mille üle vaielda.
Keral - Samad kaatetid 3 ja 4 keral raadiusega 3,6199. Hüpotenuus tuleb 4,5698, mitte 5: pind kõverdub iseenda poole, seega on kolmandal küljel vähem maad katta.
Hüperboolne - Samad kaatetid 3 ja 4 sama raadiusega hüperboolsel pinnal. Nüüd on hüpotenuus 5,3118, pikem kui 5. Nende kahe vahel on tasane juhtum, ja ainult seal on c täpselt 5.