Tsentraalse piirteoreemi uurija
vaata, kuidas valimi keskmised muutuvad kellukujuliseks
miks keskmised muutuvad normaalseks isegi kummalistest allikatest 🖖
See toimib, sest keskmistamine on sisuliselt korduv konvolutsioon, ja jaotuse konvolveerimine iseendaga piisavalt palju kordi silub selle iseärasused — kaldsus ja mitmetipulisus kaovad kiiremini kui hajuvus, nii et alles jääv näeb üha rohkem Gaussi kõvera moodi välja, sõltumata algsest allikast. Ainus tegelik nõue on lõplik dispersioon; ühtlane, eksponentsiaalne ja kahetipuline allikas tõmmatakse kõik sama kellukõvera poole, kui tõmbeid piisavalt keskmistada, lihtsalt erineva kiirusega — seetõttu saigi n=30 statistika mitteametlikuks rusikareegliks, mitte täpseks läveväärtuseks.
Kahanemise taga peituv ruutjuureseadus 🖖
Mida rohkem tõmbeid teed, seda kitsamaks — mitte ainult siledamaks — muutub keskmiste histogramm. Selle hajuvust kirjeldab standardviga σ/√n, nii et täpsus paraneb vaid valimi mahu ruutjuurega: laiuse poole võrra vähendamiseks tuleb n neljakordistada. See ongi teoreemi praktiline tuum: suuremad valimid määravad keskmise täpsemalt, kuid üha väheneva tuluga.
Jaotus, mis teoreemi murrab 🖖
Teoreem eeldab vaikimisi lõplikku dispersiooni, ja üks kuulus seadusrikkuja rikub seda: Cauchy jaotus, kahe standardnormaaljaotusega suuruse jagatis. Keskmista miljon Cauchy tõmmet ja tulemus järgib täpselt sama Cauchy kõverat nagu üksainus tõmme — kell ei teki kunagi ja lisaandmed ei anna midagi. Selle sabad on nii rasked, et üksainus koletu väärtus võib domineerida iga keskmise üle, olgu see kui suur tahes.
Näiteülesanded
- ühtlane, n=5 - Ühtlane jaotus, n=5 – valimikeskmised on veel hajusad ja mürarikkad
- ühtlane, n=30 - Ühtlane jaotus, n=30 – valimikeskmised moodustavad selge kellukakõvera
- eksponentsiaalne, n=30 - Eksponentjaotus, n=30 – allikas on nihkes, kuid valimikeskmised on peaaegu normaaljaotusega
- kahetipuline, n=30 - Kahetipuline jaotus, n=30 – segunenud tipud koonduvad keskmiste puhul normaaljaotuseks