Tsentraalse piirteoreemi uurija

vaata, kuidas valimi keskmised muutuvad kellukujuliseks

Algväärtused — Tsentraalse piirteoreemi uurija

Lähtejaotus	Ühtlane
Valimi suurus (n)	30
Automaatne kiirus	12
Histogrammi klassid	34
Eksponentsiaalne määr	1
Kahetipuline eraldatus	2

Muuda ülal mõnda juhtelementi ja tulemused arvutatakse uuesti.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Miks keskmised muutuvad normaalseks isegi kummalistest allikatest 🖖

Keskmiste jaotus läheneb normaaljaotusele, sest keskmistamine tähendab korduvat konvolutsiooni koos mõõtkava muutmisega. Kui jaotust iseendaga piisavalt palju kordi konvoleerida, silenevad selle iseärasused. Laiuse mõju kõrvaldamisel kahanevad asümmeetria ja kühmud, hajuvus aga ei kao. Seepärast sarnaneb tulemus algjaotusest olenemata üha enam Gaussi jaotusega. Ainus sisuline nõue on lõplik dispersioon. Ühtlane, eksponent- ja kahe tipuga bimodaalne jaotus lähenevad kõik samale kellukakujulisele kõverale, ehkki eri kiirusega. Just seetõttu sai n = 30 statistikute mitteametlikuks rusikareegliks, mitte täpseks piiriks.

Kahanemise taga peituv ruutjuureseadus 🖖

Mida rohkem tõmbeid teed, seda kitsamaks — mitte ainult siledamaks — muutub keskmiste histogramm. Selle hajuvust kirjeldab standardviga σ/√n, nii et täpsus paraneb vaid valimi mahu ruutjuurega: laiuse poole võrra vähendamiseks tuleb n neljakordistada. See ongi teoreemi praktiline tuum: suuremad valimid määravad keskmise täpsemalt, kuid üha väheneva tuluga.

Jaotus, mis teoreemi murrab 🖖

Teoreem eeldab vaikimisi lõplikku dispersiooni, ja üks kuulus seadusrikkuja rikub seda: Cauchy jaotus, kahe standardnormaaljaotusega suuruse jagatis. Keskmista miljon Cauchy tõmmet ja tulemus järgib täpselt sama Cauchy kõverat nagu üksainus tõmme — kell ei teki kunagi ja lisaandmed ei anna midagi. Selle sabad on nii rasked, et üksainus koletu väärtus võib domineerida iga keskmise üle, olgu see kui suur tahes.

Ülesanne täielikult lahendatud

n = 30 reegel ühtlase jaotuse korral lõigul [0, 1] 5 sammu
Mille kohta n = 30 reegel tegelikult käib? See on vaikeolek: Ühtlane allikas vahemikus [0, 1] valimi mahuga n = 30.
1. Ühtlane allikas on lõigul [0, 1] konstantne, seega selle keskväärtus asub keskpunktis ja dispersioon on teine algmoment miinus selle ruut. Iga allpool toodud arv tuleneb sellest ühest tulemusest.
  
  $μ = \frac{1}{2}, σ^{2} = \int_{0}^{1} x^{2} d x - μ^{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}, σ = \frac{1}{12} = 0.288675$
2. Standardviga tuleneb dispersioonist ja mitte millestki muust. See ei nõua allika sümmeetrilisust ega kellikujulisust ega ka seda, et n oleks suur — valem on täpne nii n = 1 kui ka n = 30 korral ning ainus fakt, mida see kasutab, on see, et sõltumatute suuruste dispersioonid liituvad.
  
  $σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = \frac{0.288675}{30} = \frac{0.288675}{5.477226} = 0.052705$
3. Seega polnud laius kunagi teoreemi pärusmaa. Teoreem puudutab kuju ning kalleduse standardne mõõt on asümmeetriakordaja. Sõltumatute võtmiste kolmandad tsentraalsed momendid liituvad täpselt samamoodi nagu dispersioonid ja asümmeetriakordaja on konstrueeritud taluma telje skaala muutmist, mistõttu nende kahe kokkupanekul kahaneb keskmise kalle kiirusega 1/√n.
  
  $μ_{3} (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = n μ_{3}, σ (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) = σ n ⟹ γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{n μ _{3}}{( σ n ) ^{3}} = \frac{γ _{1}}{n}$
4. Tööriista allikad algavad väga erineva kaldega. Ühtlasel allikal pole midagi kaotada, seega on selle valimi keskmine sümmeetriline iga n korral, kaasa arvatud n = 1; eksponentsiaalne allikas algab asümmeetriakordajaga 2 ja on n = 30 korral endiselt paremale kaldu.
  
  $U (0, 1) : γ_{1} = 0 \Rightarrow γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = 0 \forall n; Exp (1) : γ_{1} = 2 \Rightarrow \frac{2}{30} = 0.3651$
5. Rakendage sama seost tagurpidi kalleduse jaoks, mis on piisavalt väike, et seda eirata.
  
  $\frac{2}{n} \leq 0.1 ⟹ n \geq 400$
Vastus

Tabel näitab lähtejaotuse keskväärtuseks 0,5 ja standardveaks 0,052705. Nende väärtuste leidmiseks piisas dispersioonist 1/12. Viimased kolm sammu rõhutavad, et see tabelirida ei tulene keskpiirteoreemist: lõpliku dispersiooniga lähtejaotuse korral on standardviga täpne iga n puhul, valimi suurus n mõjutab aga jaotuse kuju.

Ühtlane lähtejaotus on juba sümmeetriline, seega ei vähenda n-i suurendamine väärtuseni 30 selle asümmeetriat. Selle lehe vaikevaliku puhul pole rusikareeglist mingit kasu. Eksponentjaotuse asümmeetriakordaja on n = 30 korral endiselt 0,365 ja jääb histogrammil silmaga eristatavaks. Väärtusest 0,1 allapoole jõudmiseks peab n = 400.

Kolmest lähtejaotusest näib bimodaalne kõige vähem normaaljaotuse moodi, kuid koondub ligikaudu sama kiiresti kui ühtlane jaotus. Ka see on sümmeetriline, mistõttu on asümmeetriakordaja iga n korral 0. Selle ekstsess −1,28 kahaneb kiirusega 1/n ja jõuab n = 30 korral väärtuseni −0,043; ühtlase jaotuse vastav väärtus on −0,040. Ühelgi neist kolmest arvust pole tabelis oma rida. Koondumist saabki näha ainult histogrammilt.

$σ_{\overset{ˉ}{X}} = \frac{σ}{n} = 0.052705, γ_{1} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{1}}{n}, γ_{2} (\overset{ˉ}{X}) = \frac{γ _{2}}{n}$

Õpitee

Loendustest kõverateni

Viib edasi Z-skoor põhjuse, miks see kõver ilmub välja ka siis, kui miski pole binomiaalne.

Allikad (1)

Insight block 3 — why averaging Cauchy draws returns the same Cauchy curve: W. Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 2, 2nd ed., ch. VI and XVII. Wiley, 1971. ISBN 978-0-471-25709-7 — stable laws, and the finite-variance condition the central limit theorem actually needs.

42Mathi meeskond · Uuendatud 2026-08-17

Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud. Toimetamispõhimõtted · Parandused

Kõik Statistika & rahandus õppetunnid →

Näiteülesanded

ühtlane, n=5 - Ühtlase lähtejaotuse vahemikus [0; 1] on standardhälve 0,2887, seega annab 5 vaatluse keskmine standardveaks 0,129. Histogramm on juba sümmeetriline, sest ühtlasel jaotusel pole asümmeetriat, mis saaks kaduda. Kui n = 5, jääb puudu kitsusest, mitte kujust.
ühtlane, n=30 - Valimi suurendamine 6 korda parandab täpsust √6 korda, kuid ei muuda midagi muud: standardviga väheneb väärtuselt 0,129 väärtuseni 0,0527. Ühtlase lähtejaotuse puhul polnud kuju algusest peale probleem. Selle valiku korral ei tee rusikareegel n = 30 üldse tööd.
eksponentsiaalne, n=30 - See lähtejaotus on tugevalt paremale kaldu ja selle asümmeetriakordaja on 2. 30 vaatlust jagavad selle väärtuse arvuga √30, kuid tulemuseks jääb 0,365. Kalle on histogrammil endiselt selgelt nähtav. Väärtusest 0,1 allapoole jõudmiseks oleks vaja valimit suurusega 400.
kahetipuline, n=30 - Jaotusel on kaks tippu, kuid see koondub ligikaudu sama kiiresti kui ühtlane lähtejaotus. Sümmeetria tõttu on selle asümmeetriakordaja iga n korral 0. Kaduma peab ekstsess −1,28, mis kahaneb kiirusega 1/n, mitte 1/√n, ja jõuab 30 vaatluse järel väärtuseni −0,043.