Funções Trigonométricas Inversas

Introduza x como decimal, fração ou com raiz: a página calcula o único ângulo no intervalo principal cujo seno, cosseno ou tangente vale x, ou explica por que razão tal ângulo não existe. Se preferir, arraste θ para ver como f⁻¹(f(θ)) se recolhe de volta ao intervalo.

Arco-seno	$sin^{- 1} x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], - 1 \leq x \leq 1$
Arco-cosseno	$cos^{- 1} x \in [0, π], - 1 \leq x \leq 1$
Arco-tangente	$tan^{- 1} x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), x \in R$
Desfazer o seno	$sin (sin^{- 1} x) = x sin^{- 1} (sin θ) = θ ⟺ - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$

Exemplo resolvido — Funções Trigonométricas Inversas

Valor dado	−0,5
Valor principal, em radianos	−0,5236
Em graus	−30°
cos(sin⁻¹ x), pelo triângulo	0,866

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Funções Trigonométricas Inversas

As funções trigonométricas inversas sin⁻¹ x, cos⁻¹ x e tan⁻¹ x (também escritas arcsen, arccos e arctan) devolvem o único ângulo num intervalo prefixado, o chamado valor principal, cujo seno, cosseno ou tangente vale x. O −1 indica a função inversa e não uma potência: sin⁻¹ x não é 1/sin x.

De onde vem a fórmula

O seno não é injetivo. Uma infinidade de ângulos partilha o mesmo valor de seno; assim, dizer «o ângulo cujo seno é ½» não identifica ângulo algum enquanto não se fixar uma convenção.
$sin \frac{π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = sin (- \frac{7 π}{6}) = \frac{1}{2}$
Restringir para inverter. De −π/2 a π/2, o seno cresce de −1 a 1 e assume cada valor uma única vez, admitindo aí uma inversa. Pelo mesmo motivo, restringe-se o cosseno a 0 ≤ y ≤ π e a tangente a −π/2 < y < π/2.
$y = sin^{- 1} x ⟺ sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
A anulação só funciona num sentido. Temos sin(sin⁻¹ x) = x para qualquer x admissível, mas sin⁻¹(sin θ) só devolve θ se o próprio θ já pertencer ao intervalo. Caso contrário, devolve o ângulo desse intervalo que tem o mesmo seno.
$sin (sin^{- 1} x) = x (- 1 \leq x \leq 1), sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
As composições resolvem-se num triângulo retângulo. Seja y = sin⁻¹ x, de modo que sin y = x. O teorema de Pitágoras fornece o outro cateto, cabendo ao intervalo ditar o respetivo sinal.
$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}$

Pressupõe: sin⁻¹ e cos⁻¹ admitem apenas valores com −1 ≤ x ≤ 1; tan⁻¹ aceita qualquer número real.

Problemas resolvidos na íntegra

Um seno negativo 2 passos
Determine o valor exato de sin⁻¹(−1/2).

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1. A resposta tem de pertencer ao intervalo de sin⁻¹:
  
  $- \frac{π}{2} \leq sin^{- 1} x \leq \frac{π}{2}$
2. Como π/6 tem seno igual a 1/2 e a função seno é ímpar, o ângulo no intervalo é −π/6:
  
  $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$
Resposta

sin⁻¹(−1/2) = −π/6. Os ângulos 7π/6 e 11π/6 têm o mesmo seno, mas situam-se fora do intervalo.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} \approx - 0.5236$
Um cosseno negativo 2 passos
Determine o valor exato de cos⁻¹(−√3/2).

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1. O intervalo vai de 0 a π, sendo o ângulo de referência π/6:
  
  $0 \leq cos^{- 1} x \leq π, cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$
2. Dentro do intervalo, o cosseno só é negativo para lá de π/2; logo, o ângulo pretendido é π − π/6:
  
  $cos (π - \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$
Resposta

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

$cos^{- 1} (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6} \approx 2.618$
Uma tangente inversa 2 passos
Determine o valor exato de tan⁻¹(−√3).

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1. A função tan⁻¹ admite qualquer número real e responde estritamente entre −π/2 e π/2:
  
  $- \frac{π}{2} < tan^{- 1} x < \frac{π}{2}, x \in R$
2. Temos tan(π/3) = √3, e a tangente é uma função ímpar:
  
  $tan \frac{π}{3} = 3 \Rightarrow tan (- \frac{π}{3}) = - 3$
Resposta

tan⁻¹(−√3) = −π/3.

$tan^{- 1} (- 3) = - \frac{π}{3} \approx - 1.0472$
Que inversas existem 2 passos
Quais destas expressões estão definidas: sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) e tan⁻¹ 1,5? Calcule as que existirem.

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1. O seno e o cosseno são coordenadas de pontos no círculo trigonométrico, pelo que sin⁻¹ e cos⁻¹ só admitem valores entre −1 e 1:
  
  $sin^{- 1} x, cos^{- 1} x : - 1 \leq x \leq 1; 1.5 \in / [- 1, 1], - 1.2 \in / [- 1, 1]$
2. A tangente atinge todos os valores reais, pelo que tan⁻¹ 1,5 existe. Não sendo um ângulo notável, obtém-se o valor na calculadora em radianos:
  
  $tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828 \approx 56.309 9^{\circ}$
Resposta

Apenas tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828, cerca de 56,3099°. As expressões sin⁻¹ 1,5 e cos⁻¹(−1,2) não estão definidas.

$tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828$
Desfazer o seno fora do intervalo 2 passos
Calcule sin⁻¹(sin 5π/6).

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1. Como 5π/6 fica fora do intervalo, a resposta não pode ser 5π/6:
  
  $\frac{5 π}{6} > \frac{π}{2}$
2. O ângulo π − θ tem o mesmo seno de θ, e π − 5π/6 pertence ao intervalo:
  
  $sin (π - \frac{5 π}{6}) = sin \frac{5 π}{6}, π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
Resposta

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

$sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Desfazer o cosseno fora do intervalo 2 passos
Calcule cos⁻¹(cos 4π/3).

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1. 4π/3 ultrapassa π, ficando fora do intervalo:
  
  $\frac{4 π}{3} > π$
2. O ângulo 2π − θ tem o mesmo cosseno de θ, pois o cosseno é par com período 2π, e 2π − 4π/3 pertence ao intervalo:
  
  $cos (2 π - \frac{4 π}{3}) = cos \frac{4 π}{3}, 2 π - \frac{4 π}{3} = \frac{2 π}{3} \in [0, π]$
Resposta

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

$cos^{- 1} (cos \frac{4 π}{3}) = \frac{2 π}{3}$
Composição com argumento negativo 3 passos
Determine o valor exato de tan(cos⁻¹(−3/5)).

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1. Designemos o ângulo por y. Sendo o seu cosseno igual a −3/5, o intervalo coloca-o para lá de π/2:
  
  $y = cos^{- 1} (- \frac{3}{5}) : cos y = - \frac{3}{5}, \frac{π}{2} < y \leq π$
2. O seno é positivo nesse quadrante; logo, a partir de sin²y + cos²y = 1,
  
  $sin y = + 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
3. e como tan y = sin y / cos y:
  
  $tan y = \frac{4/5}{- 3/5} = - \frac{4}{3}$
Resposta

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

$tan (cos^{- 1} (- \frac{3}{5})) = - \frac{4}{3} \approx - 1.3333$
Composição em termos de x 3 passos
Exprima cos(sin⁻¹ x) em termos de x e confirme o resultado em x = −3/5.

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1. Chamemos y ao ângulo. O intervalo de sin⁻¹ mantém y entre −π/2 e π/2, onde o cosseno nunca é negativo:
  
  $y = sin^{- 1} x : sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \Rightarrow cos y \geq 0$
2. pelo que a raiz assume o sinal positivo:
  
  $cos y = + 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$
3. Para x = −3/5:
  
  $cos (sin^{- 1} (- \frac{3}{5})) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
Resposta

cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), sem qualquer ±, para todo o x de −1 a 1.

$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}, - 1 \leq x \leq 1$
Equação com função inversa 2 passos
Resolva cos⁻¹ x = 2π/3 e, em seguida, cos⁻¹ x = −π/3.

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1. Aplicando o cosseno a ambos os membros: como 2π/3 pertence ao intervalo, esta é a única solução:
  
  $cos^{- 1} x = \frac{2 π}{3} \Rightarrow x = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$
2. O arco-cosseno nunca devolve −π/3, valor situado fora do respetivo intervalo:
  
  $- \frac{π}{3} \in / [0, π]$
Resposta

x = −1/2 na primeira; a segunda não tem solução. De facto, cos(−π/3) = 1/2, mas cos⁻¹(1/2) vale π/3.

$x = - \frac{1}{2}; - \frac{π}{3} \in / [0, π] \Rightarrow \emptyset$

Problemas suplementares, só com a resposta

Calcule tan⁻¹(tan 2π/3).

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−π/3, ou seja, 2π/3 − π.

$tan^{- 1} (tan \frac{2 π}{3}) = - \frac{π}{3}$
Calcule cos⁻¹(cos(−2π/5)).

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2π/5, dado que o cosseno é uma função par.

$cos^{- 1} (cos (- \frac{2 π}{5})) = \frac{2 π}{5}$
Calcule sin⁻¹(sin 4), com 4 em radianos.

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π − 4 ≈ −0,8584, porque 4 se situa entre π/2 e 3π/2.

$sin^{- 1} (sin 4) = π - 4 \approx - 0.8584$
Determine o valor exato de sin(cos⁻¹(−12/13)).

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5/13: o ângulo fica para lá de π/2, onde o seno é positivo.

$sin (cos^{- 1} (- \frac{12}{13})) = \frac{5}{13}$
Exprima tan(sin⁻¹ x) em termos de x.

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x/√(1 − x²), para −1 < x < 1.

$tan (sin^{- 1} x) = \frac{x}{1 - x ^{2}}, - 1 < x < 1$
Mostre que sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2 para −1 ≤ x ≤ 1 e confirme para x = −1/2.

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Se y = sin⁻¹ x, então cos(π/2 − y) = sin y = x; como π/2 − y se situa entre 0 e π, temos π/2 − y = cos⁻¹ x.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) + cos^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2}$

sin⁻¹(sin θ) recua em metade do círculo 🖖

Prima sin⁻¹(sin 150°): a resposta é 30°. Em seguida, arraste θ de 90° até 270°. Enquanto θ cresce, sin⁻¹(sin θ) desce de 90° a −90° com um declive de exatamente −1, pois nesse troço vale 180° − θ. Como o seno atinge 1 aos 90° e inverte o sentido, a função que o desfaz tem de acompanhar essa viragem. Já o cosseno inverte aos 0° e aos 180°, pelo que entre −180° e 180° a expressão cos⁻¹(cos θ) é igual a |θ|, desenhando um V. A tangente nunca inverte o sentido: sobe em cada ramo entre assíntotas, de modo que tan⁻¹(tan θ) jamais recua. Limita-se a descer 180° de cada vez que θ ultrapassa um múltiplo ímpar de 90°. Por isso, tan⁻¹(tan 135°) vale 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ não pode pedir o intervalo emprestado a sin⁻¹ 🖖

Entre −90° e 90°, o cosseno nunca é negativo e assume duas vezes cada valor estritamente entre 0 e 1: em θ e em −θ. Ora, uma função inversa exige precisamente o oposto em ambos os aspetos: precisa de cobrir todos os valores de −1 a 1, e cada um apenas uma vez. É por isso que cos⁻¹ responde de 0° a 180°, na metade superior do círculo, onde o cosseno decresce continuamente de 1 a −1. O preço a pagar surge nas entradas negativas. Enquanto sin⁻¹(−1/2) vale −30°, abaixo do eixo dos x, cos⁻¹(−√3/2) dá 150°: um cosseno negativo nunca conduz a um ângulo negativo, antes a um ângulo além dos 90°.

cos(sin⁻¹ x) nunca precisa de ± 🖖

Pela relação fundamental da trigonometria, a expressão √(1 − sin²θ) dava-nos apenas o módulo de cos θ, cabendo ao quadrante fornecer o sinal. Aqui, o contradomínio resolve a questão logo à partida. Como sin⁻¹ x fica compreendido entre −90° e 90°, onde o cosseno nunca é negativo, temos cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) para todo o x de −1 a 1. Em x = −3/5 o resultado é +4/5, muito embora o próprio ângulo seja negativo. O mesmo raciocínio aplica-se a sin(cos⁻¹ x), dado que o seno nunca é negativo entre 0° e 180°. A tangente ainda pode resultar negativa, uma vez que o intervalo de cos⁻¹ abrange o segundo quadrante; no entanto, a fórmula tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x transporta esse sinal no próprio x e também dispensa qualquer ±. Ao premir tan(cos⁻¹(−3/5)), obtemos o ângulo de 126,8699°, cuja tangente é −4/3.

Percurso de aprendizagem

Identidades e equações trigonométricas

Referências (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.