Laboratório de Pitágoras

Define os dois catetos. Lê o teorema como áreas, vê a altura demonstrá-lo e depois dobra a superfície onde ele vive para o ver falhar.

Exemplo resolvido — Laboratório de Pitágoras

a² + b²	25
c²	25
Terno pitagórico	1

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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A demonstração é a ferramenta do lado 🖖

Baixa a perpendicular do ângulo reto até à hipotenusa. Ela cai num ponto que parte c em dois pedaços, p e q, e cria dois triângulos mais pequenos, cada um com os mesmos três ângulos do original e portanto semelhante a ele. Triângulos semelhantes têm lados proporcionais, e essa proporção dá a² = c·p para um pedaço e b² = c·q para o outro. Soma-os: a² + b² = c(p + q) = c². Todo o teorema é uma reta perpendicular e o facto de que a forma são os ângulos.

É uma afirmação sobre planura, não sobre triângulos 🖖

Arraste o controlo da curvatura e veja a igualdade a² + b² = c² deixar de valer. Numa esfera, o terceiro lado fica aquém do esperado; numa superfície hiperbólica, vai além. Não há nada de estranho em nenhuma das superfícies: o ângulo reto continua a ser reto, e os catetos continuam a medir 3 e 4. O que mudou foi o espaço.

As leis que substituem essa igualdade, cos(c/R) = cos(a/R)·cos(b/R) e cosh(c/R) = cosh(a/R)·cosh(b/R), convergem ambas para c² = a² + b² à medida que R aumenta, pois o primeiro termo não nulo de cada desenvolvimento é quadrático. É por isso que o teorema equivale logicamente ao postulado das paralelas de Euclides: admitindo um deles, demonstra-se o outro. Um topógrafo pode ignorar esta questão; quem trabalha à escala da Terra ou do espaço-tempo não pode.

Os ângulos fazem parte do mesmo fenómeno: a diferença entre a soma e 180° é exatamente o produto da curvatura pela área, como estabelece o teorema de Gauss–Bonnet. A ferramenta nunca mede a área do triângulo curvo; deduz essa área a partir dos três ângulos.

Os quadrados são acessórios — e as sobras podem ser quadradas 🖖

Nada no teorema exige quadrados. Constrói qualquer figura sobre os três lados, desde que as três sejam semelhantes entre si, e as dos catetos continuarão a somar a da hipotenusa — é Euclides, Elementos VI.31, e vale pela mesma razão que tudo o resto aqui: a área cresce com o quadrado do comprimento. Usa semicírculos e cai algo espantoso. O semicírculo da hipotenusa passa exatamente pelo ângulo reto, e as duas lúnulas que ficam de fora têm, juntas, exatamente a área do triângulo. Hipócrates de Quios encontrou-o por volta de 440 a.C., e foi a primeira vez que alguém mostrou que uma região de bordos curvos tinha exatamente a área de uma de lados retos.

Mais velho do que o seu nome, e o nome está provavelmente errado 🖖

Pitágoras de Samos não deixou nada escrito, e a atribuição só aparece séculos depois da sua morte. A relação em si é muito mais antiga e surge de forma independente em vários sítios. A tábua babilónica Plimpton 322, de cerca de 1800 a.C., lista números que a satisfazem — embora a reavaliação de Eleanor Robson defenda que a tábua é um exercício de professor sobre pares de recíprocos e não uma tabela de ternos por si mesma. O Baudhāyana Śulbasūtra, um manual para traçar altares de sacrifício, enuncia a regra da diagonal vários séculos antes de Euclides, mas não demonstra nada. Na China a regra gōugǔ aparece no Zhōubì Suànjīng, sendo o diagrama de dissecção geralmente atribuído ao comentário de Zhao Shuang, no século III d.C. O que Euclides dá, por volta de 300 a.C. nos Elementos I.47, é a primeira demonstração conservada — e é essa a parte que mais ninguém tinha posto por escrito. Elisha Loomis viria a reunir 370 demonstrações diferentes num só volume.

Cada terno é um ponto racional numa circunferência 🖖

Dividindo a² + b² = c² por c², obtemos x² + y² = 1, com x e y racionais. Portanto, os ternos pitagóricos não dizem respeito apenas a triângulos: são os pontos racionais da circunferência unitária, e existe um método simples para os encontrar a todos. Trace a reta que parte de (−1, 0) com declive racional. Ela volta a intersectar a circunferência num ponto racional, e cada ponto racional da circunferência, exceto o próprio (−1, 0), é obtido exatamente uma vez desta forma. É daí que vêm os m e n de Euclides e é por isso que a ferramenta consegue recuperá-los a partir de a, b e c. O método funciona porque uma circunferência que contém um ponto racional é uma curva de género 0. Experimente fazer o mesmo com x³ + y³ = 1: o método falha. Essa curva tem género 1, e uma reta que passe por um dos seus pontos racionais encontra mais dois, em vez de apenas um; o procedimento deixa de ter por onde avançar. O género 1, por si só, não permite concluir nada, pois uma curva elíptica pode ter infinitos pontos racionais. Esta, porém, tem apenas (1, 0) e (0, 1). É o último teorema de Fermat para cubos, que Euler conseguiu demonstrar. Entre Pitágoras e Fermat está esse único número.

Problemas resolvidos na íntegra

Mostrar que a hipotenusa de 1,4142 é um número que nenhuma fração representa 5 passos
Mostre que a hipotenusa que a ferramenta apresenta como 1,4142 é um número que nenhuma fração consegue escrever. Esta é a vista A demonstração com ambos os catetos definidos para 1, pelo que o teorema dá c² = 2 e mais nada está em jogo.
1. Dois catetos de 1 dão c² = 2, e 2 não é um quadrado perfeito, pelo que c não é um número inteiro. Essa parte é fácil. A afirmação difícil é que também não é uma fração, e uma fração é o que todas as medições feitas até hoje sempre foram.
  
  $c^{2} = a^{2} + b^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2 ⟹ c = 2 = 1.4142 \dots$
2. Suponha-se que o é e escreva-se na forma irredutível — todas as frações têm uma forma assim, pelo que a suposição não custa nada. Elevar ao quadrado e eliminar o denominador converte uma afirmação sobre um comprimento numa afirmação sobre dois inteiros, que é o único passo da demonstração que precisou de ser inventado.
  
  $2 = \frac{p}{q}, g cd (p, q) = 1 ⟹ p^{2} = 2 q^{2}$
3. O quadrado de um número ímpar é um número ímpar, pelo que p² ser par força o próprio p a ser par. Substituindo p = 2m e dividindo ambos os membros coloca q exatamente na posição em que p acabava de estar, e agora ambos são pares — o que contradiz a forma irredutível que fora escolhida livremente. A suposição é a única coisa no argumento que pode estar errada.
  
  $2 ∣ p^{2} \Rightarrow 2 ∣ p; p = 2 m : 4 m^{2} = 2 q^{2} \Rightarrow q^{2} = 2 m^{2} \Rightarrow 2 ∣ q ⟹ g cd (p, q) \geq 2$
4. Assim, p² = 2q² não tem qualquer solução em números inteiros. Desloque-se o alvo em uma unidade e existem infinitas: par após par satisfaz p² − 2q² = ±1, e 1 é o menor valor que uma diferença não nula entre números inteiros pode ter. As aproximações quase exatas tornam-se arbitrariamente boas em termos relativos e a diferença nunca se anula.
  
  $p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1 : (3, 2), (7, 5), (17, 12), (41, 29), (99, 70), 9 9^{2} - 2 \cdot 7 0^{2} = 9801 - 9800 = 1$
5. Fatorizar a diferença converte essa aproximação num erro. O numerador é o ±1 da linha anterior, pelo que a totalidade do erro é um sobre algo com uma dimensão de cerca de 2√2 q² — a precisão de uma boa aproximação a √2 resulta de q ser grande, e não de qualquer astúcia em relação a p.
  
  $\frac{99}{70} - 2 = \frac{9 9 ^{2} - 2 \cdot 7 0 ^{2}}{70 ( 99 + 70 2 )} = \frac{1}{13 859.65} = 7.2152 \times 1 0^{- 5}$
Resposta

Cada número que a ferramenta apresenta para este triângulo é um arredondamento: 1,4142 para c, e 0,7071 para a altura e para ambas as partes em que esta divide a hipotenusa, sendo as três iguais a c/2. Quatro casas decimais não é uma limitação do ecrã — nenhum ecrã de largura alguma terminaria, e o passo 3 é a razão disso. Uma consequência surge imediatamente: nenhum terno pitagórico tem a = b, porque isso exigiria números inteiros com p² = 2q², pelo que, dos infinitos triângulos retângulos com três lados inteiros, nenhum é isósceles. A outra é que 1,4142 é inalcançável de uma forma mensurável e não vaga — 99/70 desvia-se por 7,2 × 10⁻⁵, 239/169 faz melhor, e a diferença mantém-se em ±1 para cada par seguinte. Os gregos conheciam estes pares como números de lado e de diagonal e construíram com eles durante séculos, o que é a resposta prática a uma impossibilidade: não pode ter √2, mas pode ter tantos dos seus dígitos quantos estiver disposto a pagar.

$p^{2} = 2 q^{2} ⟹ g cd (p, q) \geq 2 p^{2} - 2 q^{2} = \pm 1 : (3, 2), (7, 5), (17, 12), \dots$
A receita que produziu o terno de números inteiros 5, 12 e 13 6 passos
O primeiro problema mostrou que a diagonal do quadrado unitário é irracional. Aqui 5, 12 e 13 são todos inteiros, e o painel até nomeia o par (m, n) = (3, 2) que os produziu. Faça então a pergunta difícil: essa receita apanha todos os ternos — e o que têm todos secretamente em comum?
1. Comece pelo painel. 25 e 144 somam 169, e 169 é exatamente 13² — é isso que dá nome a este triângulo.
  
  $5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 = 1 3^{2}$
2. A receita de Euclides pega em dois inteiros quaisquer e devolve um terno. Desenvolva os quadrados e os termos cruzados cancelam-se: a identidade vale para todo o m e n, portanto nunca pode falhar.
  
  $a = m^{2} - n^{2}, b = 2 mn, c = m^{2} + n^{2} ⟹ a^{2} + b^{2} = (m^{2} + n^{2})^{2} = c^{2}$
3. O par do painel é (3, 2), e é daí que vem 5-12-13. Dê-lhe (2, 1) e sai 3-4-5.
  
  $(m, n) = (3, 2) : (9 - 4, 12, 9 + 4) = (5, 12, 13); (m, n) = (2, 1) : (3, 4, 5)$
4. Mas apanha-os todos? Divida o teorema por c² e a pergunta muda de forma: que pontos de coordenadas racionais estão na circunferência unitária? A cada um chega uma reta de declive racional que passa por (−1, 0), e t = n/m é precisamente esse declive. A lista é completa — nenhum terno se pode esconder.
  
  $(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1 ⟹ \frac{a}{c} = \frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}}, \frac{b}{c} = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, t = \frac{n}{m} \in Q$
5. E agora o segredo, que vem do pouco que um quadrado pode ser. Módulo 3 um quadrado é 0 ou 1, nunca 2. Módulo 5 é 0, 1 ou 4. Módulo 8 também 0, 1 ou 4. Passe a² + b² = c² por aí e as possibilidades desabam.
  
  $x^{2} \equiv 0, 1 (mod 3); x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 5); x^{2} \equiv 0, 1, 4 (mod 8)$
6. Em vez de confiar no argumento, conte. Há dezasseis ternos primitivos com hipotenusa inferior a 100.
  
  $c < 100 : 16 ⟶ 3 ∣ ab : 16/16, 4 ∣ ab : 16/16, 5 ∣ ab c : 16/16$
Resposta

Todo o terno primitivo tem um cateto divisível por 3, um cateto divisível por 4 e um lado divisível por 5 — logo o produto dos três lados é sempre múltiplo de 60. Verificado nos dezasseis com hipotenusa abaixo de 100: dezasseis em dezasseis em cada caso. Em 3-4-5 parece coincidência, porque ali os três divisores caem em três lados diferentes. Em 5-12-13 o único cateto 12 carrega o 3 e o 4, e o 5 mudou-se da hipotenusa para um cateto. A ferramenta desenha um triângulo de cada vez, e este padrão só existe olhando para todos ao mesmo tempo.

$3 ∣ ab, 4 ∣ ab, 5 ∣ ab c ⟹ 60 ∣ ab c$

Percurso de aprendizagem

As regras do triângulo e de onde vêm

Conduz a Resolver qualquer triângulo a² + b² = c² e a restrição que o acompanha: é um enunciado apenas sobre triângulos retângulos.

Referências (5)

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-17

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

3-4-5 - Os quadrados dos catetos contêm 9 e 16, e o da hipotenusa contém 25. É um terno pitagórico, gerado por m = 2 e n = 1.
5-12-13 - 25 + 144 = 169, portanto c = 13 exatamente. Um segundo terno, de m = 3 e n = 2 — prova de que 3-4-5 é um caso de uma regra e não magia.
O que partiu uma escola - Dois catetos de 1 dão c = 1,4142… e nenhuma fração de inteiros vale isso. A vista da demonstração mostra a altura a cair exatamente a meio, simetria que faz deste o caso mais simples de discutir.
Numa esfera - Os mesmos catetos 3 e 4 numa esfera de raio 3,6199. A hipotenusa sai a 4,5698 em vez de 5: a superfície curva-se sobre si mesma, por isso o terceiro lado tem menos distância a percorrer.
Hiperbólica - Os mesmos catetos 3 e 4 numa superfície hiperbólica do mesmo raio. Agora a hipotenusa é 5,3118, mais do que 5. Entre as duas está o caso plano, e só aí c vale exatamente 5.