O Método das Cascas Cilíndricas

Ao girar uma região em torno do eixo y, podemos fatiá-la transversalmente ao eixo em anéis ou paralelamente a ele em cascas cilíndricas finas, cada qual com raio x e altura h(x). O volume resultante é rigorosamente o mesmo por qualquer via, e a página calcula ambos de forma independente. O que muda é a dificuldade da integral — e a escolha do corte decide tudo.

Cascas, em torno do eixo y	$V = 2 π \int_{a}^{b} x h (x) d x$
Pappus	$V = A \cdot 2 π \overset{r}{ˉ}$

Exemplo resolvido — O Método das Cascas Cilíndricas

Área lateral da casca em x	0,7854
Volume por cascas	1,5708
Volume por anéis, fatias em y	1,5708
Casca em x	2πx·h(x)

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — O Método das Cascas Cilíndricas

A rotação da região sob y = h(x), para a ≤ x ≤ b, em torno do eixo y gera um sólido com volume V = 2π∫ₐᵇ x h(x) dx por cascas cilíndricas: cada faixa em x gera um cilindro fino de raio x, altura h(x) e espessura dx.

O que significa cada símbolo

h(x): a altura da região em x, borda superior menos borda inferior
x: o raio da casca: sua distância ao eixo de rotação

De onde vem a fórmula

Uma casca. Desenrolado, um cilindro fino de raio x, altura h e espessura Δx aproxima-se de uma placa plana, com comprimento 2πx e altura h; o seu volume é quase 2πx·h·Δx.
$Δ V \approx (2 π x) \cdot h (x) \cdot Δ x$
Somar as cascas. Some as faixas e faça Δx tender a zero.
$V = lim i \sum 2 π x_{i} h (x_{i}) Δ x = 2 π \int_{a}^{b} x h (x) d x$

Problemas resolvidos na íntegra

O mesmo sólido, pelos dois métodos 2 passos
A região sob y = x² em [0, 1] é girada em torno do eixo y. Calcule o volume por cascas e por anéis.

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1. Cascas: raio x, altura x².
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} x \cdot x^{2} d x = 2 π \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{2}$
2. Anéis: ao longo de y, a região estende-se de x = √y até x = 1.
  
  $V = π \int_{0}^{1} (1^{2} - (y)^{2}) d y = π \cdot \frac{1}{2} = \frac{π}{2}$
Resposta

π/2 ≈ 1,5708, por ambos os métodos.

$V = \frac{π}{2} \approx 1.5708$
Quando as cascas são o caminho mais simples 2 passos
Gire em torno do eixo y a região sob y = sen x em [0, π]. Calcule o volume.

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1. Cascas: raio x, altura sen x.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{π} x sin x d x$
2. ∫x sen x dx por partes, com u = x e dv = sen x dx:
  
  $\int_{0}^{π} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x = π + 0$
Resposta

2π² ≈ 19,7392. Por anéis, o cálculo exigiria arcsen y, razão pela qual ninguém o faz assim.

$V = 2 π^{2} \approx 19.7392$
Região entre duas curvas 1 passos
A região entre y = x e y = x² em [0, 1] é girada em torno do eixo y. Calcule o volume.

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1. Cascas: raio x, altura x − x².
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} x (x - x^{2}) d x = 2 π (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{π}{6}$
Resposta

π/6 ≈ 0,5236.

$V = \frac{π}{6} \approx 0.5236$
Um toro 2 passos
O disco (x − 2)² + y² ≤ 1 é girado em torno do eixo y. Calcule o volume.

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1. Por Pappus: a área multiplicada pela distância que o centro percorre.
  
  $V = A \cdot d = π \cdot 1^{2} \cdot 2 π \cdot 2 = 4 π^{2}$
2. Por cascas, a altura em x é 2√(1 − (x − 2)²):
  
  $V = 2 π \int_{1}^{3} x \cdot 2 1 - (x - 2)^{2} d x = u = x - 2 4 π \int_{- 1}^{1} (u + 2) 1 - u^{2} d u = 4 π \cdot 2 \cdot \frac{π}{2}$
Resposta

4π² ≈ 39,4784. A integral das cascas exige uma substituição e a área de um semidisco; Pappus resolve em uma linha.

$V = 4 π^{2} \approx 39.4784$
Uma raiz, por cascas 1 passos
A região sob y = √x em [0, 4] é girada em torno do eixo y. Calcule o volume.
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1. Cascas: raio x, altura √x; o integrando torna-se uma simples potência de x.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{4} x x d x = 2 π [\frac{2}{5} x^{5/2}]_{0}^{4} = 2 π \cdot \frac{64}{5}$
Resposta

128π/5 ≈ 80,4248.

$V = \frac{128 π}{5} \approx 80.4248$
Cascas em torno do eixo x 2 passos
Use cascas para calcular o volume quando a região sob y = x² em [0, 1] é girada em torno do eixo x.
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1. Em torno do eixo x, as cascas estendem-se ao longo de x: raio y e comprimento de x = √y a x = 1.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} y (1 - y) d y = 2 π (\frac{1}{2} - \frac{2}{5}) = \frac{π}{5}$
2. Verificação pelo método dos discos:
  
  $V = π \int_{0}^{1} (x^{2})^{2} d x = \frac{π}{5}$
Resposta

π/5 ≈ 0,6283, por ambos os métodos. As cascas estendem-se sempre em paralelo ao eixo de rotação; seu raio é a distância até ele.

$V = \frac{π}{5} \approx 0.6283$

Dois fatiamentos, um só volume 🖖

Clique em y = x², das duas formas. Pelo método das cascas, o sólido decompõe-se em cilindros concêntricos de raio x e altura x², somando 2πx·x² no intervalo [0, 1]. Já os anéis cortam o sólido perpendicularmente ao eixo: discos de raio 1 perfurados por orifícios de raio √y, cuja integral totaliza π(1 − y) sobre [0, 1]. Nenhum cálculo depende do outro, e ambos chegam a 1,5708 = π/2. Tinha de ser assim. São apenas duas formas de repartir o mesmo sólido em porções infinitesimais, e o volume total não depende da lâmina.

Fatie na direção em que a região é mais simples de descrever 🖖

Clique em sen x: cascas vencem. Em x, a região é elementar de delimitar: 0 ≤ y ≤ sen x para 0 ≤ x ≤ π. Por cascas, obtemos 2π∫x sen x dx, que se resolve com uma única integração por partes para dar 2π². Já em relação a y, a fronteira corre de arcsen y até π − arcsen y, obrigando os anéis a calcular π∫((π − arcsen y)² − (arcsen y)²) dy. A página resolve a expressão e obtém os mesmos 19,7392, mas ninguém faria essa conta à mão por escolha própria. Antes de definir o método, descubra qual variável descreve as bordas com simplicidade; o corte deve acompanhar a outra.

Um toro é um disco vezes a distância que o seu centro percorre 🖖

Clique em Um toro. Ao girar, o disco de raio 1 centrado em x = 2 varre o espaço e forma um anel. As cascas revelam que o seu volume é 39,4784 = 4π². Trata-se da área do disco, π, multiplicada pela distância que o seu centro percorre ao redor do eixo, 2π·2 = 4π. Pappus de Alexandria formulou esse resultado por volta de 340, no Livro VII da sua Coleção Matemática, para qualquer região plana que gire em torno de uma reta sem ser cortada por ela; Paul Guldin redescobriu-o em 1640, e o teorema é frequentemente chamado pelo seu nome.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (3)

The method of cylindrical shells as the page uses it (equation 6.6, V = ∫ₐᵇ 2πx f(x) dx about the y-axis), and the section's own comparison of shells with discs and washers, the choice depending on which integral is easier: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.3, “Volumes of Revolution: Cylindrical Shells”.
Insight block 3: Theorem 6.14, Theorem of Pappus for Volume (a region turned about a line that does not meet it has volume equal to its area times the distance its centroid travels): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.6, “Moments and Centers of Mass”.
Insight block 3: the attribution, “what is now known as Guldin's theorem was proved by Pappus in Book VII of the Mathematical Collection”, the Collection “thought to have been written in around 340”, and Guldin's publication in 1640: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Pappus of Alexandria”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.