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La aleatoriedad compra precisión a un tipo de cambio pésimo
Diez veces más muestras compra aproximadamente el triple de precisión. No diez. Ese tipo de cambio es fijo y ninguna astucia permite renegociarlo.
Lanzar dardos a un cuadrado para medir π es la primera demostración habitual de los métodos de Montecarlo. Basta con contar la fracción que cae dentro del cuadrante de círculo, multiplicar por cuatro y se obtiene una estimación.
Lo que la demostración suele omitir es lo mal que funciona.
Tres ajustes predeterminados y lo que cuestan
Monte Carlo π ofrece tres tamaños de muestra: 200, 2000 y 20000. Funcionan con una semilla fija, por lo que no son anécdotas: son los mismos tres números cada vez que alguien abre la página.
- 200 puntos dan 3,040000, con un error de 1,02 × 10⁻¹
- 2000 puntos dan 3,122000, con un error de 1,96 × 10⁻²
- 20000 puntos dan 3,127800, con un error de 1,38 × 10⁻²
Cien veces más trabajo entre la primera y la última fila, y la respuesta sigue siendo errónea en la segunda cifra decimal. Todavía no se ha ganado el "3,14" que cualquier escolar sabe recitar.
La tasa es uno entre la raíz cuadrada
Cada dardo es un ensayo independiente de sí o no, y el error estándar de una proporción medida a partir de n ensayos disminuye como 1/√n. Para este estimador en particular, el error típico resulta ser 0,116 para 200 muestras, 0,0367 para 2000 y 0,0116 para 20000.
Por tanto, diez veces más muestras compra aproximadamente 3,16 veces más precisión, porque 3,16 es la raíz cuadrada de diez. Para ganar un dígito decimal, es decir, un factor de diez en precisión, se necesita un factor de cien en muestras. Para pasar del error de aproximadamente 0,037 con 2000 muestras a 0,0037, se necesitan 200.000 dardos.
Vale la pena recordar esto porque no es una propiedad de π, ni de los dardos, ni de esta implementación. Es el teorema del límite central en funcionamiento: el error de una media de elementos independientes se reduce según la raíz cuadrada de la cantidad de elementos promediados, sean cuales sean. La misma aritmética rige las encuestas de opinión, los recuentos de eventos en física de partículas y cualquier simulación que se ejecute.
Lo que una sola semilla no puede decirnos
Ahora observe de nuevo esos tres errores predeterminados, porque no se comportan como la regla acaba de prometer. Al pasar de 200 a 2000, el error se redujo 5,19 veces. Al pasar de 2000 a 20000, solo se redujo 1,42 veces. Ninguno de los dos valores es 3,16.
No hay nada roto. La ley de la raíz cuadrada describe el error típico, el ancho de la distribución de la que se extrae la estimación, y una sola ejecución es una única extracción de esa distribución. La ejecución de 2000 puntos dio la casualidad de quedar más cerca que su error típico, a una media desviación típica aproximadamente. La ejecución de 20000 puntos cayó más lejos. La relación entre ambas apenas dice nada.
Esta es la malinterpretación más común de una simulación. Que una ejecución salga bien no es prueba de un buen método, y que salga mal no es prueba de uno malo. No se puede apreciar la tasa a partir de una sola semilla; solo se puede apreciar repitiendo y observando la dispersión, que es lo que describe Normal Distribution cuando representa esa dispersión como una curva.
Por qué se tolera esto
Un método que requiere multiplicar por cien el trabajo por cada dígito parece indefendible, y para problemas unidimensionales lo es. La integración numérica ordinaria sobre una malla lo superará con facilidad.
La razón por la que Montecarlo domina el cálculo real es que 1/√n no menciona la dimensión. Si se coloca una malla sobre un problema de 20 dimensiones con 10 puntos por eje, se necesitan 10²⁰ evaluaciones. El método aleatorio sigue necesitando lo que 1/√n exija para la precisión deseada, sin importar que haya 20 ejes.
Así pues, el tipo de cambio es pésimo y, además, es constante. En dimensiones bajas conviene rechazarlo. En dimensiones altas es con frecuencia la única opción disponible, razón por la cual la física, las finanzas y el renderizado lo pagan.
Poisson es la misma aritmética vista desde el extremo del recuento: cuando se cuentan eventos raros, la varianza es igual a la media, por lo que el error relativo vuelve a disminuir como uno entre la raíz cuadrada del recuento. Duplicar la confianza en una tasa siempre implica cuadruplicar la observación.