See on masintõlge; artikli algversioon on inglise keeles. Loe originaali
Juhuslikkus ostab täpsust väga halva vahetuskursiga
Kümnekordne valimi maht annab umbes kolmekordse täpsuse. Mitte kümnekordse. See vahetuskurss on fikseeritud ning ükski kavalus ei muuda seda.
Noolte viskamine ruutu arvu π mõõtmiseks on Monte Carlo meetodite tüüpiline esmatutvustus. Loendage veerandringi sisse langevate noolte osakaal, korrutage see neljaga ja oletegi saanud hinnangu.
Esitlus jätab aga tavaliselt mainimata, kui halvasti see toimib.
Kolm eelseadistust ja nende hind
Monte Carlo π pakub kolme valimi mahtu: 200, 2000 ja 20000. Need põhinevad fikseeritud algseemnel, seega ei ole tegemist üksikjuhtumitega — need on täpselt samad kolm arvu iga kord, kui keegi lehe avab.
- 200 punkti annavad tulemuseks 3,040000, eksides 1,02 × 10⁻¹ võrra
- 2000 punkti annavad tulemuseks 3,122000, eksides 1,96 × 10⁻² võrra
- 20000 punkti annavad tulemuseks 3,127800, eksides 1,38 × 10⁻² võrra
Esimese ja viimase rea vahel on sada korda rohkem tööd, kuid vastus on teises komakohas ikka veel vale. See ei ole veel välja teeninud arvu „3,14“, mida iga koolilaps peast teab.
Muutumiskiirus on üks jagatud ruutjuurega
Iga noolevise on sõltumatu jah-või-ei katse ning n katsest mõõdetud osakaalu standardviga kahaneb kui 1/√n. Antud hindaja puhul on tüüpiline viga 200 valimi korral 0,116, 2000 korral 0,0367 ja 20000 korral 0,0116.
Nõnda annab kümnekordne valimi maht umbes 3,16 korda suurema täpsuse, sest 3,16 on ruutjuur kümnest. Ühe täiendava komakoha ehk kümnekordse täpsuse saavutamiseks on vaja sajakordset valimi mahtu. Et vähendada 2000-st valimist saadud viga umbes väärtuselt 0,037 väärtuseni 0,0037, läheb vaja 200 000 nooleviset.
Seda teadmist tasub meeles pidada, sest tegemist pole arvu π, noolevisete ega antud teostuse eripäraga. Siin toimib tsentraalne piirteoreem: sõltumatute suuruste keskmise viga kahaneb ruutjuure võrra keskmistatavate arvust, olenemata sellest, mis suurustega oli tegemist. Sama matemaatika valitseb arvamusküsitlusi, osakestefüüsika sündmuste loendust ja iga simulatsiooni, mida keegi kunagi käivitab.
Mida üksik algseeme ei suuda näidata
Vaadake nüüd uuesti neid kolme eelseadistuse viga, sest need ei käitu nõnda, nagu reegel just lubas. Minnes 200-lt 2000-le kahanes viga 5,19 korda. Minnes 2000-lt 20000-le kahanes see vaid 1,42 korda. Kumbki tulemus ei ole 3,16.
Midagi ei ole katki. Ruutjuure seadus kirjeldab tüüpilist viga ehk selle jaotuse laiust, kust hinnang võetakse, ning üksik käivitus on vaid üks valim sellest jaotusest. 2000 punktiga käivitus sattus tüüpilisest veast lähemale, umbes poole standardhälbe kaugusele. 20000 punktiga käivitus sattus aga kaugemale. Nende suhe ei räägi peaaegu midagi.
See on simulatsioonide kõige sagedasem väärinterpreteerimine. Hästi õnnestunud käivitus ei tõesta meetodi headust ning halvasti õnnestunud käivitus ei tõesta selle halbust. Kahanemistempot ei ole võimalik näha ühest algseemnest; seda saab näha vaid katset korrates ja hajuvust jälgides, mida Normal Distribution kirjeldabki, kui kujutab seda hajuvust kõverana.
Miks sellega üldse lepitakse
Meetod, mis nõuab numbrikoha kohta sajakordset töö mahu kasvu, kõlab kaitsetult, ja ühemõõtmeliste ülesannete puhul see nii ongi. Tavaline numbriline integreerimine võrgustikul ületab selle kerge vaevaga.
Põhjus, miks Monte Carlo valitseb tegelikus arvutustöös, seisneb selles, et 1/√n ei sisalda viidet mõõtmelisusele. Kui asetada võrgustik 20-mõõtmelisele ülesandele 10 punktiga telje kohta, läheb vaja 10²⁰ arvutust. Juhuslik meetod nõuab soovitud täpsuse saavutamiseks ikka vaid seda, mida 1/√n ette näeb, hoolimata sellest, et telgi on 20.
Seega on vahetuskurss kohutav, kuid samas muutumatu. Madalates mõõtmetes tasuks sellest loobuda. Kõrgetes mõõtmetes on see aga sageli ainus võimalik valik, mistõttu füüsika, rahandus ja arvutigraafika renderdus selle eest ka maksavad.
Poisson kujutab endast samasugust matemaatikat loendamise vaatevinklist: harvu sündmusi loendades võrdub dispersioon keskväärtusega, seega väheneb suhteline viga taas kui üks jagatud loendustulemuse ruutjuurega. Sageduse usaldusväärsuse kahekordistamine tähendab alati vaatlusmahu neljakordistamist.