Integrales dobles

Fija x y el sólido bajo z = f(x, y) tiene una sección cuya área A(x) es una integral ordinaria en y. Integra A(x) a lo largo de x y tienes el volumen. Si fijas y, en cambio, la región hay que leerla al revés, con x entre dos curvas; los dos órdenes coinciden en todos los casos de esta página menos en uno.

Secciones con x fija	$\iint_{D} f d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x$
El otro orden (Fubini), cuando ∬\|f\| dA es finita	$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f d y d x = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f d x d y \iint_{D} ∣ f ∣ d A < \infty$

Ejemplo resuelto — Integrales dobles

Área de la sección en esta x	0,2188
Volumen, secciones con x fija	0,15
Volumen en el otro orden, secciones con y fija	0,15

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Integrales dobles

La integral doble ∬_D f(x, y) dA es el volumen entre una región D del plano xy y la superficie z = f(x, y), contando como negativa cualquier parte que quede bajo el plano. Se calcula como integral iterada: se integra en una variable manteniendo fija la otra y luego se integra lo que resulta.

Qué significa cada símbolo

A(x): el área de la sección para una x fija, que es a su vez una integral en y
g₁(x), g₂(x): los bordes inferior y superior de D cuando D se lee a lo largo de x
h₁(y), h₂(y): los bordes izquierdo y derecho de D cuando D se lee a lo largo de y

De dónde viene la fórmula

Fija x. El plano en esa x corta el sólido en una sección cuyo borde superior es la curva y ↦ f(x, y), desde el borde inferior de la región hasta el superior. Su área es una integral en y con x tratada como constante, el mismo gesto que al calcular una derivada parcial.
$A (x) = \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y$
Suma las secciones. El volumen es la integral de A(x) a lo largo de x: volumen por secciones, con una sección que ha necesitado su propia integral.
$V = \int_{a}^{b} A (x) d x = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x$
O corta en el otro sentido. Lee D a lo largo de y, con x entre un borde izquierdo y uno derecho, e integra primero en x. El teorema de Fubini dice que los dos órdenes dan el mismo número siempre que ∬|f| dA sea finita, y eso se cumple para toda f continua en una región cerrada y acotada.
$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f d y d x = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f d x d y$

Supone: f es continua en D, o al menos ∬|f| dA es finita. Donde un borde de D cambia de fórmula, como el borde superior del triángulo en x = 1, la integral se parte en ese punto.

Problemas resueltos al detalle

Sobre un rectángulo, en los dos órdenes 3 pasos
Calcula ∬ xy² dA sobre el rectángulo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, en los dos órdenes.

Abre este problema en la herramienta
1. Con x fija, integra en y tratando x como constante:
  
  $A (x) = \int_{0}^{1} x y^{2} d y = \frac{x}{3}$
2. Después, a lo largo de x:
  
  $\int_{0}^{2} \frac{x}{3} d x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
3. El otro orden, secciones con y fija:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x y^{2} d x d y = \int_{0}^{1} 2 y^{2} d y = \frac{2}{3}$
Respuesta

2/3 ≈ 0,6667 en ambos casos. Sobre un rectángulo los límites son números en los dos órdenes, y un producto se separa: (∫₀² x dx)(∫₀¹ y² dy) = 2 · 1/3.

$\iint_{R} x y^{2} d A = \frac{2}{3} \approx 0.6667$
Una región entre dos curvas 2 pasos
Calcula ∬ (x + y) dA sobre la región entre y = x² e y = x.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Las curvas se cortan en x = 0 y x = 1, y entre ellas x² ≤ x, así que con x fija la sección va de y = x² a y = x:
  
  $A (x) = \int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y = [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{x^{2}}^{x} = \frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}$
2. Integra de 0 a 1:
  
  $\int_{0}^{1} (\frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}$
Respuesta

3/20 = 0,15.

$\iint_{D} (x + y) d A = \frac{3}{20} = 0.15$
Invertir el orden 3 pasos
Escribe la integral del problema 2 con el orden de integración invertido y calcúlala.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Lee la región a lo largo de y: va de y = 0 a y = 1, y a la altura y su borde izquierdo es la recta, x = y, y el derecho la parábola, x = √y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y d x = \int_{0}^{1} \int_{y}^{y} (x + y) d x d y$
2. La integral interior, con y fija:
  
  $\int_{y}^{y} (x + y) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + x y]_{y}^{y} = \frac{y}{2} + y^{3/2} - \frac{3 y ^{2}}{2}$
3. Después, a lo largo de y:
  
  $\int_{0}^{1} (\frac{y}{2} + y^{3/2} - \frac{3 y ^{2}}{2}) d y = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = \frac{3}{20}$
Respuesta

3/20 otra vez. La parábola que era el borde inferior leyendo a lo largo de x es el borde derecho leyendo a lo largo de y, y se escribe x = √y.

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{y} (x + y) d x d y = \frac{3}{20}$
Elegir el orden que pide una sola integral 3 pasos
Calcula ∬ xy dA sobre el triángulo de vértices (0, 0), (2, 0) y (1, 1).

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. Leído a lo largo de x, el borde superior es y = x hasta x = 1 e y = 2 − x a partir de ahí, lo que significa dos integrales. Leído a lo largo de y, el triángulo va del borde izquierdo x = y al borde derecho x = 2 − y para cada y, así que corta con y fija:
  
  $\iint_{T} x y d A = \int_{0}^{1} \int_{y}^{2 - y} x y d x d y$
2. La integral interior:
  
  $\int_{y}^{2 - y} x y d x = \frac{y}{2} ((2 - y)^{2} - y^{2}) = 2 y (1 - y)$
3. Después, a lo largo de y:
  
  $\int_{0}^{1} 2 y (1 - y) d y = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Respuesta

1/3 ≈ 0,3333. El otro orden da 1/8 + 5/24 con sus dos trozos, el mismo 1/3.

$\iint_{T} x y d A = \frac{1}{3} \approx 0.3333$
Invertir el orden para obtener una fórmula 3 pasos
Calcula ∫₀¹ ∫ₓ¹ e^(y²) dy dx.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. La integral interior no tiene primitiva elemental, así que invierte el orden. La región es 0 ≤ x ≤ y ≤ 1; leída a lo largo de y es 0 ≤ y ≤ 1 con 0 ≤ x ≤ y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x d y$
2. El integrando no depende de x:
  
  $\int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x = y e^{y^{2}}$
3. Sustituye u = y²:
  
  $\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} d y = [\frac{e ^{y^{2}}}{2}]_{0}^{1} = \frac{e - 1}{2}$
Respuesta

(e − 1)/2 ≈ 0,8591.

$\frac{e - 1}{2} \approx 0.8591$
Un sólido descrito por sus caras 3 pasos
Halla el volumen del tetraedro limitado por los tres planos coordenados y el plano x + y + z = 1.
Mostrar solución
1. El sólido está bajo z = 1 − x − y y sobre la parte del plano xy donde esa altura no es negativa: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Lee ese triángulo a lo largo de x:
  
  $V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (1 - x - y) d y d x$
2. La integral interior, con x fija:
  
  $\int_{0}^{1 - x} (1 - x - y) d y = \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}$
3. Después, a lo largo de x:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{6}$
Respuesta

1/6, que coincide con un tercio del área de la base por la altura: (1/3)(1/2)(1).

$V = \frac{1}{6}$
La altura media sobre una región 3 pasos
Halla el valor medio de f(x, y) = x + y sobre la región del problema 2.
Mostrar solución
1. El valor medio es el volumen dividido entre el área |D| de la región, es decir, la altura de una losa plana sobre D que tenga el mismo volumen:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{∣ D ∣} \iint_{D} f d A$
2. El área es la integral doble de 1:
  
  $∣ D ∣ = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} d y d x = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$
3. Con el volumen 3/20 del problema 2:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{3/20}{1/6} = \frac{9}{10}$
Respuesta

9/10 = 0,9.

$\overset{ˉ}{f} = 0.9$
Cuando los dos órdenes no coinciden 4 pasos
Demuestra que las dos integrales iteradas de f(x, y) = (x² − y²)/(x² + y²)² sobre el cuadrado unidad son distintas, y di qué hipótesis del teorema de Fubini falla.

Abre este problema en la herramienta
Mostrar solución
1. La derivada de y/(x² + y²) respecto de y es f, así que con x > 0 fija:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} d y = [\frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$
2. En este orden, entonces:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4}$
3. Intercambiar x e y cambia el signo de f, así que el otro orden es el mismo cálculo con el signo invertido:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = - \frac{π}{4}$
4. En coordenadas polares f = cos 2θ/r². Sobre el cuarto de disco de radio 1, que está dentro del cuadrado,
  
  $\int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} \frac{∣ cos 2 θ ∣}{r ^{2}} r d r d θ = \int_{0}^{π /2} ∣ cos 2 θ ∣ d θ \int_{0}^{1} \frac{d r}{r} = \infty$
Respuesta

π/4 ≈ 0,7854 en un orden y −π/4 en el otro. ∬|f| dA es infinita, y la finitud es justo lo que supone el teorema de Fubini.

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = \frac{π}{4} \approx 0.7854 = - \frac{π}{4}$

Cambia el orden y una integral sin fórmula pasa a tenerla 🖖

Pulsa Una sección sin fórmula. Con x fija, la sección es la integral de e^(y²) de y = x a 1, y e^(y²) no tiene primitiva construida con funciones elementales: es el mismo muro contra el que choca e^(−t²) en el capítulo de integración. La página solo puede calcular cada sección numéricamente. Ahora pulsa Lo mismo, al revés. Con y fija, la sección va de x = 0 a x = y, y la altura e^(y²) no depende de x, así que la sección es un rectángulo de área y·e^(y²). Esa es la derivada de e^(y²)/2, y el volumen es exactamente (e − 1)/2. El sólido no ha cambiado en nada. Ha sido el orden de integración lo que ha decidido si las secciones tienen fórmula siquiera.

Una función en la que el orden cambia el resultado 🖖

Pulsa El orden cambia el resultado. La superficie (x² − y²)/(x² + y²)² es positiva bajo la diagonal del cuadrado unidad y negativa por encima. Corta con x fija y cada sección tiene un balance positivo, 1/(1 + x²), de modo que la integral iterada es π/4 ≈ 0,7854. Cambia a dx dy y cada sección tiene un balance negativo, −1/(1 + y²), y sale −0,7854. Ninguno de los dos cálculos tiene un error. Cerca del origen la superficie se comporta como cos 2θ/r², así que el volumen sobre el cuadrado y el volumen bajo él son infinitos los dos, y cada orden los compensa entre sí de forma distinta. No hay ninguna integral doble en la que puedan coincidir. El teorema de Fubini, publicado en 1907, garantiza que los órdenes coinciden cuando ∬|f| dA es finita. Aquí es infinita, y el teorema no garantiza nada.

El sólido bajo un pico infinito tiene volumen π²/6 🖖

Pulsa Un volumen de π²/6. La superficie 1/(1 − xy) crece sin límite en la esquina (1, 1), y aun así el sólido que queda bajo ella sobre el cuadrado unidad tiene volumen 1,6449. Desarrolla el integrando como serie geométrica, 1 + xy + x²y² + …, e integra término a término: xⁿyⁿ sobre el cuadrado da 1/(n + 1)², así que el volumen es 1 + 1/4 + 1/9 + …, la suma que Euler demostró en 1735 que vale π²/6. Leída al revés, la integral doble es una forma de sumar la serie. Frits Beukers usó integrales sobre ese mismo cuadrado, con 1 − xy en el denominador, en su breve demostración de 1979 de que 1 + 1/8 + 1/27 + … es irracional.

Ruta de aprendizaje

Aplicaciones de la integral

Referencias (4)

The method and the two descriptions of a region the page uses: Type I (“between two vertical lines and the graphs of two continuous functions”) and Type II (between two horizontal lines), and Theorem 5.4, Fubini's theorem (strong form), for a function continuous on such a region: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.2, “Double Integrals over General Regions”.
Insight block 2: Fubini's theorem on successive integration, for f in L¹, that is, with ∬|f| finite; published 1907: G. Fubini, “Sugli integrali multipli”, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (5) 16 (1907), no. 1, 608–614.
Insight block 3: Euler showed in 1735 that 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Leonhard Euler”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated September 1998).
Insight block 3: integrals over the unit square with 1 − xy in the denominator, used to prove ζ(2) and ζ(3) irrational: F. Beukers, “A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)”, Bulletin of the London Mathematical Society 11 (1979), no. 3, 268–272.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.