Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Sisesta x kümnendmurruna, hariliku murruna või juurena: leht leiab peaväärtuste vahemikust ainsa nurga, mille siinus, koosinus või tangens on x, või selgitab, miks sellist nurka pole. Teine võimalus on lohistada nurka θ ning vaadata, kuidas f⁻¹(f(θ)) murdub tagasi lubatud vahemikku.

Arkussiinus	$sin^{- 1} x \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}], - 1 \leq x \leq 1$
Arkuskoosinus	$cos^{- 1} x \in [0, π], - 1 \leq x \leq 1$
Arkustangens	$tan^{- 1} x \in (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}), x \in R$
Siinuse pöördtehe	$sin (sin^{- 1} x) = x sin^{- 1} (sin θ) = θ ⟺ - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$

Näidisarvutus — Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Antud väärtus	−0,5
Peaväärtus radiaanides	−0,5236
Kraadides	−30°
cos(sin⁻¹ x) kolmnurga abil	0,866

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid

Trigonomeetrilised pöördfunktsioonid sin⁻¹ x, cos⁻¹ x ja tan⁻¹ x (tähistatakse ka arcsin, arccos ja arctan) annavad kindlast vahemikust ainsa nurga ehk peaväärtuse, mille siinus, koosinus või tangens on x. Märk −1 tähistab siin pöördfunktsiooni, mitte astendajat: sin⁻¹ x ei tähenda 1/sin x.

Kust valem tuleb

Siinus ei ole üksühene. Üks ja sama siinuse väärtus kuulub lõpmata paljudele nurkadele, mistõttu „nurk, mille siinus on ½“ ei määra ühtki kindlat nurka enne, kui pole tehtud valikut.
$sin \frac{π}{6} = sin \frac{5 π}{6} = sin (- \frac{7 π}{6}) = \frac{1}{2}$
Kitsenda ja alles siis pööra. Lõigus −π/2 kuni π/2 kasvab siinus väärtusest −1 väärtuseni 1 ja läbib iga väärtuse täpselt ühe korra, mistõttu seal saabki rääkida pöördfunktsioonist. Samal põhjusel piiratakse koosinust vahemikuga 0 ≤ y ≤ π ja tangensit vahemikuga −π/2 < y < π/2.
$y = sin^{- 1} x ⟺ sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2}$
Pööramine toimib vaid ühes suunas. Seos sin(sin⁻¹ x) = x kehtib iga lubatud x korral, kuid sin⁻¹(sin θ) annab tulemuseks nurga θ vaid siis, kui θ juba asub selles vahemikus. Vastasel juhul annab see lubatud vahemikust selle nurga, mille siinus on sama.
$sin (sin^{- 1} x) = x (- 1 \leq x \leq 1), sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Liitfunktsioonid tulevad täisnurkselt kolmnurgalt. Võta y = sin⁻¹ x, millest sin y = x. Pythagorase teoreem annab teise kaateti ning funktsiooni vahemik määrab selle märgi.
$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}$

Eeldab: Funktsioonid sin⁻¹ ja cos⁻¹ on määratud vaid lõigus −1 ≤ x ≤ 1; tan⁻¹ on määratud kõigi reaalarvude hulgal.

Ülesanded täielikult lahendatud

Negatiivne siinus 2 sammu
Leia sin⁻¹(−1/2) täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Vastus peab jääma arkussiinuse vahemikku:
  
  $- \frac{π}{2} \leq sin^{- 1} x \leq \frac{π}{2}$
2. Nurga π/6 siinus on 1/2 ning siinusfunktsioon on paaritu, seega on vahemikku kuuluv nurk −π/6:
  
  $sin \frac{π}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow sin (- \frac{π}{6}) = - \frac{1}{2}$
Vastus

sin⁻¹(−1/2) = −π/6. Nurkadel 7π/6 ja 11π/6 on küll sama siinus, kuid need jäävad vahemikust välja.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} \approx - 0.5236$
Negatiivne koosinus 2 sammu
Leia cos⁻¹(−√3/2) täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Peaväärtuste vahemik on 0 kuni π ning vastav teravnurk on π/6:
  
  $0 \leq cos^{- 1} x \leq π, cos \frac{π}{6} = \frac{3}{2}$
2. Lubatud vahemikus on koosinus negatiivne üksnes pärast nurka π/2, seega on otsitav nurk π − π/6:
  
  $cos (π - \frac{π}{6}) = - cos \frac{π}{6} = - \frac{3}{2}$
Vastus

cos⁻¹(−√3/2) = 5π/6.

$cos^{- 1} (- \frac{3}{2}) = \frac{5 π}{6} \approx 2.618$
Arkustangens 2 sammu
Leia tan⁻¹(−√3) täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. tan⁻¹ on määratud kõigi reaalarvude korral ja annab vastuseid rangelt vahemikust −π/2 kuni π/2:
  
  $- \frac{π}{2} < tan^{- 1} x < \frac{π}{2}, x \in R$
2. tan(π/3) = √3 ja tangens on paaritu funktsioon:
  
  $tan \frac{π}{3} = 3 \Rightarrow tan (- \frac{π}{3}) = - 3$
Vastus

tan⁻¹(−√3) = −π/3.

$tan^{- 1} (- 3) = - \frac{π}{3} \approx - 1.0472$
Millised väärtused on olemas 2 sammu
Millised avaldistest sin⁻¹ 1,5, cos⁻¹(−1,2) ja tan⁻¹ 1,5 on määratud? Arvuta need, mis on olemas.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Siinus ja koosinus on ühikringjoone punkti koordinaadid, mistõttu võtavad sin⁻¹ ja cos⁻¹ sisendiks vaid väärtusi vahemikust −1 kuni 1:
  
  $sin^{- 1} x, cos^{- 1} x : - 1 \leq x \leq 1; 1.5 \in / [- 1, 1], - 1.2 \in / [- 1, 1]$
2. Tangens võib omandada mis tahes reaalarvulise väärtuse, seega on tan⁻¹ 1,5 olemas. Kuna see pole tabelinurk, leiame selle taskuarvutiga radiaanides:
  
  $tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828 \approx 56.309 9^{\circ}$
Vastus

Määratud on vaid tan⁻¹ 1,5 ≈ 0,9828, ligikaudu 56,3099°. Avaldised sin⁻¹ 1,5 ja cos⁻¹(−1,2) pole määratud.

$tan^{- 1} 1.5 \approx 0.9828$
Siinuse pööramine väljaspool vahemikku 2 sammu
Leia sin⁻¹(sin 5π/6).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. 5π/6 jääb vahemikust välja, seega ei saa vastus olla 5π/6:
  
  $\frac{5 π}{6} > \frac{π}{2}$
2. Nurgal π − θ on sama siinus mis nurgal θ ning π − 5π/6 asub lubatud vahemikus:
  
  $sin (π - \frac{5 π}{6}) = sin \frac{5 π}{6}, π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$
Vastus

sin⁻¹(sin 5π/6) = π/6.

$sin^{- 1} (sin \frac{5 π}{6}) = \frac{π}{6}$
Koosinuse pööramine väljaspool vahemikku 2 sammu
Leia cos⁻¹(cos 4π/3).

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. 4π/3 on suurem kui π ehk asub väljaspool vahemikku:
  
  $\frac{4 π}{3} > π$
2. Nurgal 2π − θ on sama koosinus mis nurgal θ, sest koosinus on paaris ja perioodiga 2π, ning 2π − 4π/3 kuulub vahemikku:
  
  $cos (2 π - \frac{4 π}{3}) = cos \frac{4 π}{3}, 2 π - \frac{4 π}{3} = \frac{2 π}{3} \in [0, π]$
Vastus

cos⁻¹(cos 4π/3) = 2π/3.

$cos^{- 1} (cos \frac{4 π}{3}) = \frac{2 π}{3}$
Liitfunktsioon negatiivse sisendiga 3 sammu
Leia tan(cos⁻¹(−3/5)) täpne väärtus.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Tähistame nurga tähega y. Kuna selle koosinus on −3/5, jääb nurk vahemiku tõttu teise veerandisse ehk üle π/2:
  
  $y = cos^{- 1} (- \frac{3}{5}) : cos y = - \frac{3}{5}, \frac{π}{2} < y \leq π$
2. Siinus on seal positiivne, mistõttu seosest sin²y + cos²y = 1
  
  $sin y = + 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
3. ning valemist tan y = sin y / cos y:
  
  $tan y = \frac{4/5}{- 3/5} = - \frac{4}{3}$
Vastus

tan(cos⁻¹(−3/5)) = −4/3.

$tan (cos^{- 1} (- \frac{3}{5})) = - \frac{4}{3} \approx - 1.3333$
Liitfunktsioon muutuja x kaudu 3 sammu
Avalda cos(sin⁻¹ x) muutuja x kaudu ja kontrolli seda kohal x = −3/5.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Olgu see nurk y. Funktsiooni sin⁻¹ vahemik hoiab nurga y vahemikus −π/2 kuni π/2, kus koosinus pole kunagi negatiivne:
  
  $y = sin^{- 1} x : sin y = x, - \frac{π}{2} \leq y \leq \frac{π}{2} \Rightarrow cos y \geq 0$
2. seega võtame ruutjuure ees positiivse märgi:
  
  $cos y = + 1 - sin^{2} y = 1 - x^{2}$
3. Kohal x = −3/5:
  
  $cos (sin^{- 1} (- \frac{3}{5})) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$
Vastus

cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²), ilma märgita ±, iga x korral lõigus −1 kuni 1.

$cos (sin^{- 1} x) = 1 - x^{2}, - 1 \leq x \leq 1$
Võrrand pöördfunktsiooniga 2 sammu
Lahenda võrrand cos⁻¹ x = 2π/3 ja seejärel cos⁻¹ x = −π/3.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Võtame mõlemast poolest koosinuse. Kuna 2π/3 kuulub vahemikku, on see ainus lahend:
  
  $cos^{- 1} x = \frac{2 π}{3} \Rightarrow x = cos \frac{2 π}{3} = - \frac{1}{2}$
2. cos⁻¹ ei anna kunagi tulemust −π/3, sest see jääb vahemikust välja:
  
  $- \frac{π}{3} \in / [0, π]$
Vastus

Esimese lahend on x = −1/2; teisel lahend puudub. cos(−π/3) = 1/2, kuid cos⁻¹(1/2) = π/3.

$x = - \frac{1}{2}; - \frac{π}{3} \in / [0, π] \Rightarrow \emptyset$

Lisaülesanded, ainult vastustega

Leia tan⁻¹(tan 2π/3).

Näita vastust

−π/3, mis on 2π/3 − π.

$tan^{- 1} (tan \frac{2 π}{3}) = - \frac{π}{3}$
Leia cos⁻¹(cos(−2π/5)).

Näita vastust

2π/5, sest koosinus on paaris funktsioon.

$cos^{- 1} (cos (- \frac{2 π}{5})) = \frac{2 π}{5}$
Leia sin⁻¹(sin 4), kus 4 on radiaanides.

Näita vastust

π − 4 ≈ −0,8584, sest 4 jääb väärtuste π/2 ja 3π/2 vahele.

$sin^{- 1} (sin 4) = π - 4 \approx - 0.8584$
Leia sin(cos⁻¹(−12/13)) täpne väärtus.

Näita vastust

5/13: nurk on suurem kui π/2, kus siinus on positiivne.

$sin (cos^{- 1} (- \frac{12}{13})) = \frac{5}{13}$
Avalda tan(sin⁻¹ x) muutuja x kaudu.

Näita vastust

x/√(1 − x²), kui −1 < x < 1.

$tan (sin^{- 1} x) = \frac{x}{1 - x ^{2}}, - 1 < x < 1$
Näita, et sin⁻¹ x + cos⁻¹ x = π/2, kui −1 ≤ x ≤ 1, ja kontrolli seda kohal x = −1/2.

Näita vastust

Kui y = sin⁻¹ x, siis cos(π/2 − y) = sin y = x ning π/2 − y jääb vahemikku 0 kuni π, seega π/2 − y = cos⁻¹ x.

$sin^{- 1} (- \frac{1}{2}) + cos^{- 1} (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3} = \frac{π}{2}$

sin⁻¹(sin θ) liigub poolel ringjoonel tagurpidi 🖖

Klõpsa sin⁻¹(sin 150°): vastus on 30°. Lohista nüüd nurka θ väärtusest 90° väärtuseni 270°. Sel ajal kui θ kasvab, kahaneb sin⁻¹(sin θ) väärtusest 90° väärtuseni −90° täpse tõusuga −1, sest sellel lõigul on tema väärtuseks 180° − θ. Siinus jõuab 90° juures väärtuseni 1 ja pöördub tagasi; nii peab ka pöördfunktsioon temaga kaasa pöörduma. Koosinus teeb pöörde 0° ja 180° juures, nii et vahemikus −180° kuni 180° on cos⁻¹(cos θ) lihtne V-kujuline |θ|. Tangens seevastu ei pöördu kordagi tagasi. Ta kasvab asümptootide vahel igal lõigul, mistõttu tan⁻¹(tan θ) ei liigu kunagi tagurpidi — iga kord, kui θ ületab 90° paaritu kordse, kukub väärtus 180° võrra. Seepärast on tan⁻¹(tan 135°) = 135° − 180° = −45°.

cos⁻¹ ei saa laenata funktsiooni sin⁻¹ vahemikku 🖖

Vahemikus −90° kuni 90° ei ole koosinus kunagi negatiivne ning ta omandab iga väärtuse 0 ja 1 vahel kaks korda: kohal θ ja kohal −θ. Pöördfunktsioon nõuab aga mõlemas osas täit vastandit: kõiki väärtusi vahemikus −1 kuni 1 ning igaüht täpselt ühe korra. Seetõttu annab cos⁻¹ vastuseid vahemikust 0° kuni 180° ehk ringjoone ülemiselt poolelt, kus koosinus kahaneb sujuvalt väärtusest 1 väärtuseni −1. Selle hinna maksad negatiivsete sisendite juures. sin⁻¹(−1/2) annab vastuseks −30°, mis jääb allapoole x-telge, kuid cos⁻¹(−√3/2) on 150°. Negatiivne koosinus ei anna kunagi negatiivset nurka — ta viib vastuse alati üle 90°.

cos(sin⁻¹ x) ei vaja iial märki ± 🖖

Tavalise trigonomeetria põhiseose korral andis avaldis √(1 − sin²θ) vaid koosinuse absoluutväärtuse ning sobiv märk tuli tuletada veerandist. Siin määrab lubatud vahemik märgi juba enne, kui keegi küsidagi jõuab. Kuna sin⁻¹ x jääb alati vahemikku −90° kuni 90°, kus koosinus pole kunagi negatiivne, kehtib cos(sin⁻¹ x) = √(1 − x²) eranditult iga x korral lõigus −1 kuni 1. Kohal x = −3/5 on vastuseks +4/5, kuigi nurk ise on negatiivne. Sama kehtib seose sin(cos⁻¹ x) kohta, sest vahemikus 0° kuni 180° ei ole siinus kordagi negatiivne. Tangens võib muidugi tulla negatiivne, sest funktsiooni cos⁻¹ vahemik hõlmab ka II veerandit, ent valem tan(cos⁻¹ x) = √(1 − x²)/x kannab seda märki juba muutuja x kaudu ega vaja samuti mingit märki ±. Klõpsa tan(cos⁻¹(−3/5)): nurk on ligikaudu 126,8699°, mistõttu tangens on täpselt −4/3.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (1)

The domains and principal ranges of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹, sin⁻¹(sin x) = x only for −π/2 ≤ x ≤ π/2, the warning that sin⁻¹ x is not 1/sin x, and compositions such as cos(sin⁻¹ x) by a right triangle: J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 6.3, “Inverse Trigonometric Functions”.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.