Sekans, kosekans, kotangens ja Pythagorase samasused

Anna ühe trigonomeetrilise funktsiooni väärtus ja veerand: leht leiab nurga, samasuse abil teise funktsiooni väärtuse ning punkti P järgi ülejäänud neli. Või lohista nurka ja vaata, kuidas sec θ, csc θ ja cot θ joonisel lõikudena muutuvad.

Sekans, kosekans, kotangens	$sec θ = \frac{1}{cos θ}, csc θ = \frac{1}{sin θ} cot θ = \frac{cos θ}{sin θ}$
Trigonomeetria põhiseos	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
Jagatud suurusega cos²θ	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
Jagatud suurusega sin²θ	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

Näidisarvutus — Sekans, kosekans, kotangens ja Pythagorase samasused

Nurk	143,1301°
Samasusest, II veerandi märgiga	−0,8
Siinus	0,6
Koosinus	−0,8
Tangens	−0,75
Sekans	−1,25
Kosekans	1,6667
Kotangens	−1,3333

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Sekans, kosekans, kotangens ja Pythagorase samasused

Sekans, kosekans ja kotangens on sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ ja cot θ = cos θ/sin θ; igaüks neist on määratud seal, kus tema nimetaja ei ole null. Pythagorase samasused sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ ja 1 + cot²θ = csc²θ kehtivad iga nurga korral, kus mõlemad pooled on määratud.

Kust valem tuleb

Alusta ringjoonest. Punkt P = (cos θ, sin θ) on iga nurga korral punktist O kaugusel 1, seega cos²θ + sin²θ = 1 igas veerandis. Ruudud märke ei näe, ja seepärast annab sama võrrandi ka kolmnurk kaatetitega |cos θ| ja |sin θ|.
$x_{P}^{2} + y_{P}^{2} = 1 \Rightarrow cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
Jaga suurusega cos²θ või sin²θ. Kumbki jagamine on lubatud täpselt seal, kus uued funktsioonid on määratud.
$\div cos^{2} θ : \div sin^{2} θ : 1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ cot^{2} θ + 1 = csc^{2} θ$
Võta ruutjuur ja vali siis märk. Samasus annab tundmatu ruudu ja määrab seega absoluutväärtuse; märgi määrab veerand.
$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ, sec θ = \pm 1 + tan^{2} θ$

Eeldab: Iga samasus kehtib ainult seal, kus selle funktsioonid on määratud: teine ei kehti 90° paaritute kordsete korral, kolmas 180° kordsete korral.

Ülesanded täielikult lahendatud

Antud on nürinurga siinus 2 sammu
sin θ = 3/5 ja θ on nürinurk. Leia ülejäänud viie funktsiooni täpsed väärtused.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Nürinurk asub II veerandis, kus koosinus on negatiivne. Seosest sin²θ + cos²θ = 1:
  
  $cos θ = - 1 - (\frac{3}{5})^{2} = - \frac{16}{25} = - \frac{4}{5}$
2. Ülejäänud neli on jagatised ja pöördväärtused:
  
  $tan θ csc θ = \frac{3/5}{- 4/5} = - \frac{3}{4}, = \frac{1}{sin θ} = \frac{5}{3}, sec θ cot θ = \frac{1}{cos θ} = - \frac{5}{4} = \frac{1}{tan θ} = - \frac{4}{3}$
Vastus

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3.

$cos θ = - \frac{4}{5}, tan θ = - \frac{3}{4}, sec θ = - \frac{5}{4}, csc θ = \frac{5}{3}, cot θ = - \frac{4}{3}$
Tangensist sekansini 2 sammu
tan θ = −12/5 ja 270° < θ < 360°. Leia sec θ, cos θ ja sin θ.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. IV veerandis on koosinus positiivne, seega ka sekans. Seosest 1 + tan²θ = sec²θ:
  
  $sec θ = + 1 + (- \frac{12}{5})^{2} = \frac{169}{25} = \frac{13}{5}$
2. Siis on cos θ pöördväärtus ja sin θ = tan θ · cos θ:
  
  $cos θ = \frac{5}{13}, sin θ = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = - \frac{12}{13}$
Vastus

sec θ = 13/5 = 2,6, cos θ = 5/13 ≈ 0,3846, sin θ = −12/13 ≈ −0,9231.

$sec θ = \frac{13}{5}, cos θ = \frac{5}{13} \approx 0.3846, sin θ = - \frac{12}{13} \approx - 0.9231$
Kotangensist kosekansini 2 sammu
cot θ = 3/4 ja 180° < θ < 270°. Leia csc θ, sin θ ja cos θ.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. III veerandis on siinus negatiivne, seega ka kosekans. Seosest 1 + cot²θ = csc²θ:
  
  $csc θ = - 1 + (\frac{3}{4})^{2} = - \frac{25}{16} = - \frac{5}{4}$
2. Siis on sin θ pöördväärtus ja cos θ = cot θ · sin θ:
  
  $sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{5}$
Vastus

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5.

$csc θ = - \frac{5}{4}, sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = - \frac{3}{5}$
Täpsed väärtused 30° juures 3 sammu
Leia sec 30°, csc 30° ja cot 30° täpsed väärtused.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Pool võrdkülgsest kolmnurgast küljega 2 on kolmnurk külgedega 1, √3 ja 2, seega
  
  $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
2. Võta pöördväärtused ja vabasta nimetaja juurest:
  
  $sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = \frac{3 /2}{1/2} = 3$
3. Kontroll teise samasusega:
  
  $1 + tan^{2} 3 0^{\circ} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = (\frac{2}{3})^{2}$
Vastus

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1,1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1,7321.

$sec 3 0^{\circ} = \frac{2 3}{3} \approx 1.1547, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = 3 \approx 1.7321$
Lihtsustamine kahe samasusega 2 sammu
Lihtsusta avaldis (1 − cos²θ)(1 + cot²θ).
Näita lahendust
1. Kumbki sulg on ühe samasuse üks pool; asenda see teise poolega:
  
  $(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = sin^{2} θ \cdot csc^{2} θ$
2. ja csc θ = 1/sin θ:
  
  $sin^{2} θ \cdot \frac{1}{sin ^{2} θ} = 1$
Vastus

1 iga nurga korral, mis ei ole 180° kordne; seal ei ole cot θ määratud.

$(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = 1, θ \neq = k \cdot 18 0^{\circ}$
Tõestus tegurdatud samasusega 3 sammu
Näita, et 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, ja kontrolli seda nurga θ = 60° korral.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. Korruta lugejat ja nimetajat avaldisega sec θ + tan θ:
  
  $\frac{1}{sec θ - tan θ} = \frac{sec θ + tan θ}{sec ^{2} θ - tan ^{2} θ}$
2. Seose 1 + tan²θ = sec²θ tõttu on nimetaja 1:
  
  $= \frac{sec θ + tan θ}{1} = sec θ + tan θ$
3. 60° juures on sec θ = 2 ja tan θ = √3:
  
  $\frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3$
Vastus

Mõlemad pooled on võrdsed kõikjal, kus nad on määratud; 60° juures on mõlemad 2 + √3 ≈ 3,7321.

$\frac{1}{sec 6 0 ^{\circ} - tan 6 0 ^{\circ}} = 2 + 3 \approx 3.7321$
Väärtus, mida ükski nurk ei anna 2 sammu
Leia kõik nurgad, mille korral sec θ = 1/2.

Ava see ülesanne tööriistas
Näita lahendust
1. sec θ = 1/2 tähendaks, et
  
  $cos θ = \frac{1}{sec θ} = 2$
2. kuid cos θ on raadiusega 1 ringjoone punkti koordinaat, seega |cos θ| ≤ 1 ja järelikult
  
  $∣ sec θ ∣ = \frac{1}{∣ cos θ ∣} \geq 1$
Vastus

Selliseid nurki ei ole: sec θ ja csc θ ei võta kunagi väärtust, mis on rangelt −1 ja 1 vahel. Näide lükkab 1/2 tagasi ja jätab θ väärtuseks 60°, kus pöördväärtus käib teistpidi: cos θ = 1/2 ja sec θ = 2.

${θ : sec θ = \frac{1}{2}} = \emptyset$
Parameetri elimineerimine 2 sammu
Kõver on antud võrranditega x = 3 sec t, y = 2 tan t. Leia selle võrrand ristkoordinaatides.
Näita lahendust
1. Avalda mõlemad funktsioonid:
  
  $sec t = \frac{x}{3}, tan t = \frac{y}{2}$
2. ja asenda need seosesse sec²t − tan²t = 1:
  
  $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$
Vastus

x²/9 − y²/4 = 1, hüperbool. Kuna |sec t| ≥ 1, on selle igas punktis |x| ≥ 3.

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1, ∣ x ∣ \geq 3$

Kolm samasust on üks kolmnurk kolmes suuruses 🖖

Kolmnurga OMP kaatetid on |cos θ| ja |sin θ| ning hüpotenuus 1, nii et Pythagorase teoreem annab sin²θ + cos²θ = 1. Suurenda seda 1/|cos θ| korda ja küljed on 1, |tan θ| ja |sec θ|: need on kolmnurga OAT küljed ning OAT toetub puutujale x = 1. Pythagorase teoreem kolmnurgas OAT on 1 + tan²θ = sec²θ. Suurenda hoopis 1/|sin θ| korda ja küljed on 1, |cot θ| ja |csc θ|, sirgel y = 1 asuva kolmnurga OBS küljed, ning sealt tuleb 1 + cot²θ = csc²θ. Algebras tähendab see suurendamine esimese samasuse jagamist suurusega cos²θ või sin²θ. Meeles tasub seega pidada üht samasust, teised kaks on üks rida arvutust. Jooniselt paistab ka, kus iga samasus kehtimast lakkab: 90° juures on sirge OP paralleelne sirgega x = 1 ja kolmnurgal OAT pole kolmandat tippu. Mõisted tangens ja sekans võttis kasutusele Thomas Fincke oma 1583. aasta teoses Geometriae rotundi; ladina keeles tähendavad need puudutavat ja lõikavat, ning AT asub sirgel, mis ringjoont puudutab, OT aga sirgel, mis seda lõikab.

√(1 − sin²θ) ei ole cos θ 🖖

Vajuta sin θ = 3/5, II veerand. Samasusest tuleb cos²θ = 1 − 0,36 = 0,64, ja arvul 0,64 on kaks ruutjuurt. Juuremärk tähistab positiivset, seega √(1 − sin²θ) on |cos θ| ning kirjutis cos θ = √(1 − sin²θ) on vale iga nurga korral II ja III veerandis. Siin on cos θ = −0,8. Samasus määrab absoluutväärtuse, märgi aga ainult veerand, ja seepärast peab ülesanne ütlema, kus θ asub, nagu ütleb „θ on nürinurk“. Jäta väärtuseks 0,6 ja klõpsa I: θ liigub 36,8699° peale ja cos θ muutub +0,8-ks. Klõpsa III ja leht keeldub, sest seal on siinus negatiivne.

90° lähedal on sec θ ja tan θ tohutud ja peaaegu võrdsed 🖖

Vajuta θ = 89°: tan θ = 57,29 ja sec θ = 57,2987, vahe ainult 0,0087. Nii lähedal 90°-le ei saa nad teineteisest eemalduda, ja selle eest hoolitseb teine samasus. Kui kirjutada see kujul sec²θ − tan²θ = 1 ja teguriteks lahutada, saame (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1, nii et vahe on täpselt 1 jagatud summaga: 1/114,5887 ≈ 0,0087. Lohista θ 90°-le lähemale: summa kasvab tõkestamatult, vahe kahaneb 0 poole, ja 90° juures ei ole kumbki funktsioon määratud. Sama tegurdatud kuju on ühe tuntud tõestuse tuum: 1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ, sest kui korrutada murru lugejat ja nimetajat avaldisega sec θ + tan θ, jääb nimetajaks 1.

Õpitee

Trigonomeetrilised samasused ja võrrandid

Allikad (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.