Lainevõrrand ühes, kahes ja kolmes mõõtmes

Üks löödud või tõmmatud kühm joonel, kilel ja ruumis. Jälgi selle levikut ja uuri, mida registreerib kuulaja kaugusel r neis kõigis kaua pärast häirituse möödumist.

Näidisarvutus — Lainevõrrand ühes, kahes ja kolmes mõõtmes

Häiritus jõuab kuulajani hetkel ct/a	4
Selle tagakülg on kuulajast möödunud hetkel ct/a	6
Keele suurim näit	0,5333

Need on väärtused, mida kalkulaator lehe avamisel näitab. Muuda ülal mõnda sisendit, et need ümber arvutada.

Interaktiivse simulatsiooni laadimine...

Õppetund

Teooria — Lainevõrrand ühes, kahes ja kolmes mõõtmes

Lainevõrrand u_tt = c²∇²u ütleb, et u teine tuletis aja järgi igas punktis (selle kiirendus, kui u tähistab hälvet) võrdub suuruse c² ja Laplace'i operaatori korrutisega. See operaator on võrdeline sellega, kui palju u keskmine väärtus punkti vahetus ümbruses ületab u väärtust selles punktis endas. Ühes mõõtmes on iga lahend kaks kiirusega c vastassuundades liikuvat kuju (d'Alembert, 1747). Kolmes mõõtmes jõuab piiratud alast lähtuv häiritus kauge punktini ainult seni, kuni vaadeldava punkti ümber joonistatud sfäär raadiusega ct seda piirkonda läbib, ja jätab punkti seejärel paigale. Kahes mõõtmes see nii pole. Sinna jääb alles saba ja pärast lööki kahaneb see ainult kui 1/t.

Mida iga sümbol tähendab

u: laine väärtus: keele või kile hälve, või ruumi puhul näiteks õhu ülerõhk
c: laine levimiskiirus
a: algkühmu raadius; kõik pikkused lehel on ühikutes a, kõik ajad ühikutes a/c
g: algkühmu kuju, mis on (1 − s²)² kaugusel s kühmu keskpunktist (ühikutes a) ja null, kui s ≥ 1

Eeldab: Otsadeta või seinteta joon, kile või ruum, et miski ei peegelduks kuulajani tagasi. Väikesed hälbed tagavad võrrandi lineaarsuse: kaks korda tugevamini löödud kühm kahekordistab iga arvu sellel lehel.

Löödud keel ei naase kunagi algolekusse 🖖

Vajuta Löödud, kuuldud 5a ja jälgi sinakasrohelist keelt. Löök saadab mõlemas suunas välja kalde. Nende taha jääb keel ühtlaselt 0,5333 v₀a/c võrra kõrgemale. Kuulaja asukoht tõuseb häirituse möödumise ajal. Pärast seda jääb näit paigale, olles sama nii ajahetkel ct = 20a kui ka 80a. Lülitu valikule Tõmmatud. Nüüd jaguneb sama üles lükatud ja vabastatud kühm kaheks algsest poole madalamaks koopiaks, mis eemalduvad teineteisest. Punkt tõuseb väärtuseni 0,5000 ja langeb tagasi täpselt tasemele 0. D'Alembert näitas 1747. aastal, et iga keele liikumine koosneb kahest vastassuunas levivast kujust. Väljendatuna algkuju f ja algkiiruse g kaudu kirjutatakse see võrrandina u = ½[f(x − ct) + f(x + ct)] + (1/2c)∫_x−ct^x+ctg. Kuju lahkub kahe liikuva poolena. Kiirus integreeritakse keele osal raadiusega ct ümber vaadeldava punkti. Kui see lõik laieneb nii palju, et katab kogu löödud ala, moodustab integraal kogu löögi ehk ½∫g = 8/15. Reaalsel keelel on fikseeritud otsad ja neilt peegelduvad lained tõmbavad keele tagasi tasakaaluasendisse. Siinsel mudelil otsi pole. Seetõttu ei peegeldu siin kunagi midagi tagasi.

Kilel ei jõua löök kunagi lõplikult pärale 🖖

Vajuta Löödud, kuuldud 5a ja jälgi kaht pinda. Kumbki kannab väljapoole levivat rõngast ja hetkeks ct = 6a on mõlemad kuulajast möödunud. Ruum on punktiiriga tähistatud ringi sees tasane, sest laine tagakülg on sealt juba lahkunud. Sealne kuulaja loeb edaspidi näiduks täpselt 0 ning tabeli viimane veerg näitab igas komakohas nulli. Kile aga püsib oma ringi sees endiselt kõrgemal. Ajahetkel ct = 20a on selle kuulaja näit 0,00861, mis teeb 9,93% tipust 0,0867. Vajuta valikut Löödud, 5a, kuula 80a. Tulemus on 0,00209, mis moodustab eelmisest umbes neljandiku, ehkki ooteaeg pikenes neli korda. Saba kahaneb seosega 1/t ega jõua kunagi nulli. Kaks lahendivalemit selgitavad põhjust. Ruumis saadakse vaadeldava punkti vastus algoleku keskmistamisel üle ct-raadiusega sfääri, mille keskpunkt on vaatluspunktis. Kui see sfäär kasvab kühmust suuremaks, pole sfääri pinnal enam mingit häiritust. Kilel aga leitakse vastus integreerimisega üle kogu ct-raadiusega ringi sisemuse. Nii jääb kühm igaveseks selle sisse, kaalutuna teguriga 1/√(c²t² − ρ²). Hadamard nimetas oma 1923. aastal avaldatud Yale'i loengutes seda ülejääki jääkintegraaliks. Ta kirjutas, et erinevalt sfäärilistest lainetest silindrilised lained hajuvad.

Ruumis jõuab vabastatud kühm pärale kühmu ja nõona 🖖

Vajuta Tõmmatud, kuuldud 5a ja jälgi sinist joont. Kühmus polnud miski kordagi alla nulli. Ruumis asuv kuulaja registreerib sellegipoolest tõusu väärtuseni 0,02862 ja sellele järgneva sama sügava languse. Nende pindalad 0,01667 ja −0,01667 tühistavad teineteist täpselt. Piirkonnas r > a on vastuseks u = (r − ct) g(ct − r)/(2r). See on algkuju korrutis kaldega, mis läbib nulli täpselt kühmu keskpunkti saabumise hetkel. Helirõhk allub samale võrrandile. Seetõttu jõuab paigalt vabastatud suruõhupall kuulajani tihendusena, millele järgneb sama suur hõrendus. Mingit summaarselt lükkavat mõju ei jää. Keel kannab sama vabastust edasi märki muutmata. Kile registreerib aga kühmu ja seejärel alla nulli jääva saba, mis kahaneb kui 1/t². See ongi märk, mille Hadamard kahemõõtmelise jäägi jaoks tuletas.

Ülesanne täielikult lahendatud

Kui kaua püsib plaksutuse heli tasases maailmas? 4 sammu
Löödud kilel registreerib 5a kaugusel asuv kuulaja suurimaks näiduks 0,0867 v₀a/c. Kui pikk aeg kulub selleks, et saba kahaneks 1% tasemeni sellest tipust? Vajuta Löödud, kuuldud 5a. Leht kuvab tipu väärtuse ning näidu hetkel ct = 20a saba seaduse kõrval.

Ava see ülesanne tööriistas
1. Kaua pärast laine möödumist järgib kile näit punktisuuruse löögi saba seadust. Hetkeks ct = 20a kattuvad need kaks juba kolme numbrikoha täpsusega:
  
  $\frac{1}{6 2 0 ^{2} - 5 ^{2}} = \frac{1}{6 375} = 0.00861$
2. Üks protsent tipust on
  
  $0.01 \times 0.0867 = 0.000867$
3. Võrdsusta saba seadus selle väärtusega ja lahenda muutuja ct/a suhtes:
  
  $(c t / a)^{2} - 25 = \frac{1}{6 \times 0 . 000867} = 192.2 \Rightarrow \frac{c t}{a} = 192 . 2^{2} + 25 = 192.3$
4. Ruumis valitseb sama kuulaja juures vaikus alates hetkest ct = 6a. Umbes 10 cm suuruse häirituse puhul, kus a = 0,05 m ja plaksutus kõlab õhus kiirusega c = 343 m/s, on ajaühikuks a/c
  
  $\frac{a}{c} = \frac{0 . 05 m}{343 m/s} = 0.146 ms, 6 \frac{a}{c} = 0.87 ms, 192.3 \frac{a}{c} = 28 ms$
Vastus

Ligikaudu ajahetkel ct = 192a, mis on kolmkümmend kaks korda suurem ajahetkest 6a, mil ruum vaikib. 10 cm suuruse plaksutuse puhul on see 28 millisekundit vähem kui ühe vastu. Tasapinnalises maailmas veaks iga heli endaga saba järgmistesse helidesse kaasa. 2% lävi lühendaks ootamist laias laastus poole võrra, kuna saba kahaneb kui 1/t.

$\frac{c t}{a} \approx 192 \approx 32 \times 6$

Õpitee

Soojusjuhtivuse, laine- ja Laplace'i võrrandid

Allikad (2)

The vibrating string's equation solved as the sum of two arbitrary functions, y = Ψ(t + s) + Γ(t − s): every motion of the string is two shapes travelling in opposite directions (art. VII), followed by a long continuation working out which shapes satisfy fixed ends: J. le Rond d'Alembert, "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration", Histoire de l'Académie royale des sciences et belles lettres de Berlin 3 (1747, published 1749), 214–219; "Suite des recherches…", same volume, 220–249.
Huygens' principle in its narrow sense, a disturbance localised at the start stays localised on a thin spherical shell (Book II, §33), and its failure in two dimensions: the 'residual integral' left after the wave has passed, so that 'cylindrical waves, unlike spherical ones, diffuse' (Book III, §111), and the sign of that residual, negative for a positive starting displacement when there are three variables (§112): J. Hadamard, Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations, Yale University Press, New Haven, 1923 (Mrs. Hepsa Ely Silliman Memorial Lectures), Book II §33, pp. 53–55, and Book III §§111–112, pp. 175–178.

42Mathi meeskond · Kontrollitud avaldatud allikate põhjal. Parandused on teretulnud.