Explorateur du Cercle Unité

sin, cos & tan — visualisés sur le cercle trigonométrique

Valeurs de départ — Explorateur du Cercle Unité

Angle	45

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La tangente porte le nom d’une vraie droite 🖖

Traçons la droite verticale x = 1. Elle effleure le cercle en un seul point : c’est précisément une tangente. Prolongeons maintenant le rayon d’angle θ jusqu’à cette droite : il l’atteint exactement à la hauteur tan θ. À 60°, le rayon passe par (0,5000, 0,8660) et se prolonge jusqu’à (1, 1,7321) — le même 1,7321 que cet outil affiche pour tan 60°. Ce segment est ce qui a donné son nom à la fonction, et il explique aussi la divergence : quand θ approche 90°, le rayon devient parallèle à la droite et ne la rencontre plus, d’où l’affichage +∞ au lieu d’un nombre.

Quand les coordonnées sont la réponse 🖖

Le cercle trigonométrique est simplement un cercle de rayon 1 centré sur l'origine. Choisissez un angle θ quelconque : le point où il rencontre le cercle a exactement pour coordonnées (cos θ, sin θ) — puisque le rayon vaut 1, aucune mise à l'échelle n'est nécessaire. L'identité de Pythagore cos²θ + sin²θ = 1 n'est alors que la formule de la distance déguisée : chaque point se trouve à exactement une unité du centre.

Le mot sinus signifie poitrine 🖖

Le nom sinus est le fossile d'une erreur de traduction. Les mathématiciens indiens appelaient la demi-corde ardha-jyā ; les savants arabes l'ont transcrite en jiba, écrite sans voyelles jb. Des lecteurs plus tardifs l'ont confondue avec jaib — poitrine, pli ou baie —, si bien que les traducteurs latins ont choisi sinus, « un pli du vêtement ». Chaque sin θ ravive une bévue de copiste vieille de plusieurs siècles.

LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE — QUELLE FAMILLE D’ANGLES, ET QUI FIXE LES SIGNES ?

Dans quel cas du cercle trigonométrique êtes-vous ?

Un cercle de rayon 1 porte toute la trigonométrie : le point d’angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ), et c’est la définition, non une conséquence. Presque tout angle demandé appartient à l’une de trois familles : la diagonale de 45°, le couple 30° et 60° taillé dans le triangle équilatéral, et les quatre angles posés sur les axes. Tout ce qui sort du premier quadrant est l’un d’eux, muni d’un signe.

45° — le cas isocèle, où sinus et cosinus sont égaux sinθ = cosθ = √2/2

30° et 60° — deux lectures du même triangle sinθ = cos(90° − θ)

Sur un axe — une coordonnée est nulle et la tangente casse cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Au-delà du premier quart — les grandeurs se répètent, seuls les signes changent ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

45° — le cas isocèle, où sinus et cosinus sont égaux

Ce que vous savez: La moitié d’un angle droit. Le point est sur la diagonale y = x, donc les deux coordonnées doivent être identiques et tan θ = 1.

Valeurs: sinθ = cosθ = √2/2

Exemple résolu: θ = 45° → sin θ = cos θ = √2/2 ≈ 0,7071, tan θ = 1

Ouvrir ce cas: 45°

45° — le cas isocèle, où sinus et cosinus sont égaux. Le point à 45° tombe exactement sur la diagonale, donc les deux coordonnées valent √2/2. La moitié d’un angle droit. Le point est sur la diagonale y = x, donc les deux coordonnées doivent être identiques et tan θ = 1. — Le point à 45° tombe exactement sur la diagonale, donc les deux coordonnées valent √2/2.

30° et 60° — deux lectures du même triangle

Ce que vous savez: La moitié d’un triangle équilatéral a pour côtés 1, 1/2 et √3/2. Laquelle est le sinus et laquelle le cosinus ne dépend que de l’angle aigu où l’on se place.

Valeurs: sinθ = cos(90° − θ)

Exemple résolu: θ = 30° → sin θ = 1/2 = 0,5, cos θ = √3/2 ≈ 0,8660, tan θ = 1/√3 ≈ 0,5774. À 60°, les deux premières échangent leurs rôles.

Ouvrir ce cas: 30°

30° et 60° — deux lectures du même triangle. Le point à 30° est bas et très à droite ; à 60°, ces deux mêmes longueurs échangent leurs rôles. La moitié d’un triangle équilatéral a pour côtés 1, 1/2 et √3/2. Laquelle est le sinus et laquelle le cosinus ne dépend que de l’angle aigu où l’on se place. — Le point à 30° est bas et très à droite ; à 60°, ces deux mêmes longueurs échangent leurs rôles.

Sur un axe — une coordonnée est nulle et la tangente casse

Ce que vous savez: Les angles 0°, 90°, 180° et 270° posent le point sur un axe : l’une des deux coordonnées est donc exactement nulle.

Valeurs: cosθ = 0 ⇒ tanθ → ±∞

Exemple résolu: θ = 90° → sin θ = 1, cos θ = 0, et tan θ = sin θ / cos θ n’a aucune valeur

Ouvrir ce cas: 90°

Sur un axe — une coordonnée est nulle et la tangente casse. À 90° le point est au sommet du cercle : hauteur 1, largeur 0, et aucune tangente. Les angles 0°, 90°, 180° et 270° posent le point sur un axe : l’une des deux coordonnées est donc exactement nulle. — À 90° le point est au sommet du cercle : hauteur 1, largeur 0, et aucune tangente.

Au-delà du premier quart — les grandeurs se répètent, seuls les signes changent

Ce que vous savez: Passé 90°, les coordonnées gardent les grandeurs qu’elles avaient à l’angle de référence jusqu’à l’axe horizontal. Le quadrant décide lesquelles sont négatives.

Valeurs: ±f(θ′), θ′ = θ − 180°

Exemple résolu: θ = 180° → sin θ = 0, cos θ = −1. Et sin 210° = −sin 30° = −0,5, car 210° a pour angle de référence 30° et se trouve au troisième quadrant.

Ouvrir ce cas: 180°

Au-delà du premier quart — les grandeurs se répètent, seuls les signes changent. Un demi-tour place le point en (−1, 0) ; les signes de chaque quadrant sont indiqués autour du cercle. Passé 90°, les coordonnées gardent les grandeurs qu’elles avaient à l’angle de référence jusqu’à l’axe horizontal. Le quadrant décide lesquelles sont négatives. — Un demi-tour place le point en (−1, 0) ; les signes de chaque quadrant sont indiqués autour du cercle.

Problème entièrement résolu

Une borne inférieure pour π en utilisant uniquement le sinus affiché à 45° 5 étapes
Minorer π en n'utilisant rien d'autre que le sinus affiché à 45°. Il s'agit de l'état par défaut, θ = 45°, le cas isocèle où le sinus et le cosinus sont égaux.
1. 45° divise le premier quadrant en deux parties égales, de sorte que le point se situe sur la droite y = x et que les deux coordonnées ne peuvent pas différer. L'équation du cercle ne conserve alors plus qu'une seule inconnue.
  
  $x = y, x^{2} + y^{2} = 1 \Rightarrow 2 x^{2} = 1 \Rightarrow sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2} = 0.7071$
2. La ligne de l'identité est cette même équation du cercle réarrangée, et 45° est le seul angle du premier quadrant qui la sépare en deux moitiés égales. C'est également le seul pour lequel la tangente, rapport de deux nombres égaux, vaut exactement 1.
  
  $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 0.5000 + 0.5000 = 1, tan 4 5^{\circ} = \frac{0.7071}{0.7071} = 1.0000$
3. Un octogone régulier inscrit dans le cercle est formé de huit triangles identiques se rejoignant au centre, ayant chacun deux côtés de longueur 1 séparés par un angle de 45°. L'aire d'un tel triangle vaut ½ab sin C, de sorte que le sinus déjà présent à l'écran est la seule quantité dont l'octogone a besoin.
  
  $A_{8} = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin 4 5^{\circ} = 4 \times 0.70711 = 2.82843$
4. Le cercle unité a pour aire π, si bien que le rapport des deux aires indique quelle proportion du cercle l'octogone englobe. Avec huit côtés, un dixième du cercle reste à l'extérieur.
  
  $\frac{A _{8}}{π} = \frac{2.82843}{3.14159} = 0.9003$
5. Doubler le nombre de côtés nécessite le sinus de l'angle moitié, et la formule de l'angle moitié l'obtient à partir du cosinus déjà affiché. La même formule ½ab sin C s'applique ensuite à la figure à seize côtés.
  
  $sin 22. 5^{\circ} = \frac{1 - cos 4 5 ^{\circ}}{2} = 0.146447 = 0.38268 \Rightarrow A_{16} = 8 sin 22. 5^{\circ} = 3.06147$
Réponse

L'outil affiche sin 45° = cos 45° = 0,7071, tan 45° = 1,0000 et l'identité sous la forme 0,5000 + 0,5000 = 1. Ces quatre décimales mènent l'octogone à 2,8284 et, après une première division de l'angle par deux, le 16-gone à 3,0615. Toutes deux sont des bornes inférieures plutôt que des estimations : un polygone tracé à l'intérieur du cercle ne peut englober une aire supérieure à celle du cercle. En poursuivant les divisions par deux, le déficit diminue d'un facteur d'environ 4 à chaque fois — 9,97 %, 2,55 %, 0,64 %, 0,16 % — si bien qu'un polygone à 96 côtés — le nombre retenu par Archimède lui-même — donne 3,1394 par cette méthode des aires, exact à deux décimales près et pas plus. Ce facteur de 4 explique pourquoi cette méthode a fini par être abandonnée : chaque chiffre exact supplémentaire coûte environ deux nouvelles divisions par deux, et chaque division par deux nécessite de calculer une racine carrée à la main.

$A_{n} = \frac{n}{2} sin \frac{36 0 ^{\circ}}{n} ↗ π : A_{8} = 2.8284, A_{16} = 3.0615, A_{32} = 3.1214, A_{96} = 3.1394$

Parcours

Les règles du triangle, et d'où elles viennent

Mène à Géométrie analytique sinus, cosinus et tangente pour tout angle — y compris celui où la tangente n'a aucune valeur.

Références (3)

The reference definitions of sine and cosine, and their periodicity: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §4.14 — Trigonometric Functions: Definitions and Periodicity.
Where sine and cosine stopped being ratios in a triangle and became functions of a number: L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Volume I. Lausanne, 1748.
The radian as an SI unit, and why an angle in it is a ratio of two lengths: Bureau International des Poids et Mesures, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019.

Par l’équipe 42Math · Mis à jour 2026-08-17

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Exemples de problèmes

0° - Le rayon est confondu avec l’axe des x : son extrémité est donc (1 ; 0) et le cosinus vaut 1, tout simplement parce que l’abscisse EST le cosinus. La tangente est nulle, car le rayon rencontre la droite x = 1 sur l’axe lui-même.
30° - On reconnaît la moitié d’un triangle équilatéral, d’où cette valeur que tout le monde apprend par cœur : coupez en deux un triangle équilatéral unité, et le petit côté mesure exactement la moitié du grand. Sin 30° vaut exactement 0,5 ; il ne s’agit nullement d’une approximation.
45° - C’est le seul angle pour lequel le sinus et le cosinus sont égaux : le triangle est isocèle et le point appartient à la droite y = x. La tangente vaut exactement 1 ; le rayon prolongé rencontre donc la tangente à la même hauteur que le cercle.
60° - C’est le même demi-triangle équilatéral que pour 30°, observé dans l’autre sens. Toutes les valeurs s’échangent : le cosinus devient le sinus. La tangente atteint √3 ; le rayon doit donc se prolonger bien au-delà du cercle avant de rencontrer la droite x = 1.
90° - Le rayon est vertical et ne rencontre jamais la droite x = 1. Voilà ce que signifie géométriquement l’absence de valeur de la tangente, indépendamment de tout calcul. Lorsque vous approchez de 90° par valeurs inférieures, la valeur affichée augmente sans limite ; ce n’est pas la dernière étape qui échoue.
180° - Après un demi-tour, le point se trouve en (−1 ; 0) : le cosinus devient négatif pour la première fois, tandis que le sinus revient à zéro. La tangente est de nouveau nulle, et les deux angles pour lesquels tan = 0 occupent les extrémités opposées du cercle.
270° - Aux trois quarts du tour, le point se trouve en (0 ; −1), là où le sinus atteint son minimum. Le rayon est dirigé verticalement vers le bas et redevient parallèle à la droite x = 1. C’est donc le second angle pour lequel la tangente n’a pas de valeur ; les deux angles concernés sont séparés exactement par un demi-tour, période de la tangente mais non du cercle.