Volume par tranches

Découpez un solide en tranches fines le long d'un axe : son volume est la somme des aires de chaque tranche multipliées par leur épaisseur, soit V = ∫A(x) dx. Disques, rondelles ou sections de forme imposée procèdent tous de cette même idée, avec une expression propre pour A(x). La page représente le domaine plan, la tranche en x vue de face et la courbe de l'aire A(x) le long de l'axe, sous laquelle l'aire correspond au volume.

Volume par tranches	$V = \int_{a}^{b} A (x) d x$
Une rondelle	$A (x) = π (R (x)^{2} - r (x)^{2})$

Exemple résolu — Volume par tranches

Aire de la tranche en x	0,7854
Volume, intégrale de l'aire des tranches	3,1416

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Volume par tranches

Si la tranche d'un solide en x a pour aire A(x) pour a ≤ x ≤ b, son volume vaut V = ∫ₐᵇ A(x) dx. Par rotation autour d'un axe, un domaine engendre des disques, A = πR², ou des rondelles, A = π(R² − r²), où R et r représentent les distances à l'axe.

Ce que signifie chaque symbole

A(x): l'aire de la tranche en x, perpendiculaire à l'axe
R, r: rayons extérieur et intérieur d'une rondelle, mesurés depuis l'axe de rotation

D’où vient la formule

Découper et sommer les tranches. Une tranche fine d'épaisseur Δx a un volume proche de A(x)Δx. Additionnez-les et faites tendre Δx vers zéro : la somme devient l'intégrale.
$V \approx i \sum A (x_{i}) Δ x ⟶ \int_{a}^{b} A (x) d x$
Disques et rondelles. La rotation d'un domaine autour d'un axe produit des tranches en forme de disque plein ou de rondelle évidée : soustrayez l'aire du trou, non son rayon.
$A = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) \neq = π (R - r)^{2}$

Problèmes entièrement résolus

Un disque autour de l'axe des abscisses 1 étapes
Déterminez le volume obtenu en faisant tourner le domaine situé sous y = √x sur [0, 4] autour de l'axe des abscisses.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. Chaque tranche est un disque de rayon √x :
  
  $V = \int_{0}^{4} π (x)^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = π \cdot 8$
Réponse

8π ≈ 25,1327.

$V = 8 π \approx 25.1327$
La formule du cône par les disques 2 étapes
Démontrez qu'un cône de rayon r et de hauteur h a pour volume πr²h/3.

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1. Placez-le le long de l'axe des abscisses avec son sommet en 0 : le rayon en x vaut rx/h.
  
  $R (x) = \frac{r}{h} x, 0 \leq x \leq h$
2. Intégrez l'aire des disques :
  
  $V = \int_{0}^{h} π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} x^{2} d x = π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} \cdot \frac{h ^{3}}{3} = \frac{π r ^{2} h}{3}$
Réponse

πr²h/3. Avec r = 1 et h = 3, la page affiche 3,1416, c'est-à-dire π.

$V = \frac{π r ^{2} h}{3}$
Une rondelle 1 étapes
Le domaine compris entre y = x et y = x² sur [0, 1] tourne autour de l'axe des abscisses. Calculez son volume.

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1. Rayon extérieur x, rayon intérieur x² :
  
  $V = \int_{0}^{1} π (x^{2} - x^{4}) d x = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2 π}{15}$
Réponse

2π/15 ≈ 0,4189. L'intégrale π∫(x − x²)² dx donne 0,1047, l'erreur signalée dans l'encadré sur les rondelles.

$V = \frac{2 π}{15} \approx 0.4189$
Une rondelle autour d'un autre axe 2 étapes
Le domaine situé sous y = x² sur [0, 1] tourne autour de la droite y = −1. Calculez son volume.

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1. Mesurez les rayons depuis la droite y = −1 : le bord extérieur est en x² + 1 et le trou en 1 (l'axe des abscisses) :
  
  $R = x^{2} + 1, r = 1$
2. Développez et intégrez :
  
  $V = \int_{0}^{1} π ((x^{2} + 1)^{2} - 1) d x = π \int_{0}^{1} (x^{4} + 2 x^{2}) d x = π (\frac{1}{5} + \frac{2}{3})$
Réponse

13π/15 ≈ 2,7227. Oublier de décaler les rayons de 1 donnerait le volume autour de l'axe des abscisses, π/5, qui correspond à un autre solide.

$V = \frac{13 π}{15} \approx 2.7227$
Sections carrées 1 étapes
La base d'un solide est le domaine situé sous y = √x sur [0, 4]. Chaque section perpendiculaire à l'axe des abscisses est un carré. Calculez son volume.

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1. Le carré en x a pour côté √x :
  
  $V = \int_{0}^{4} (x)^{2} d x = \int_{0}^{4} x d x = 8$
Réponse

8. Aucune rotation ni facteur π : la géométrie de la tranche fixe A(x), et rien d'autre n'est nécessaire.

$V = 8$
Sections en demi-cercle 1 étapes
La base d'un solide est le disque x² + y² ≤ 1. Les sections perpendiculaires à l'axe des abscisses sont des demi-cercles dressés sur des cordes. Calculez son volume.

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1. La corde en x a pour longueur 2√(1 − x²), le rayon du demi-cercle vaut donc √(1 − x²) :
  
  $A (x) = \frac{1}{2} π (1 - x^{2}), V = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{2} π (1 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} π \cdot \frac{4}{3}$
Réponse

2π/3 ≈ 2,0944. Soit la moitié du volume de la sphère unité, qui compte des cercles entiers là où ce solide a des demi-cercles.

$V = \frac{2 π}{3} \approx 2.0944$
La sphère 1 étapes
Démontrez qu'une sphère de rayon r a pour volume 4πr³/3.
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1. Faites tourner le demi-cercle y = √(r² − x²) autour de l'axe des abscisses : le disque en x a pour rayon √(r² − x²).
  
  $V = \int_{- r}^{r} π (r^{2} - x^{2}) d x = π (2 r^{3} - \frac{2 r ^{3}}{3})$
Réponse

4πr³/3. Archimède l'obtint comme les deux tiers du cylindre circonscrit, 2πr³.

$V = \frac{4 π r ^{3}}{3}$

Un cône vaut exactement le tiers de son cylindre, et les tranches expliquent pourquoi 🖖

Cliquez sur Un cône, un tiers. La tranche d'abscisse x est un disque de rayon x/3 ; son aire croît donc comme x², minuscule près du sommet et égale à π sur la base. Le volume cherché correspond à l'aire sous A(x) entre 0 et 3. Or, l'aire sous une parabole en x² représente le tiers du rectangle qui l'encadre, puisque ∫x² dx = x³/3. Ce rectangle mesure π par 3, c'est-à-dire le volume du cylindre. Le cône vaut ainsi π, ce tiers exact, et la règle vaut pour tout cône, quels que soient sa hauteur ou son rayon. Démocrite avait formulé ce tiers et Archimède en attribua la démonstration à Eudoxe ; le découpage en tranches l'obtient en une seule intégrale.

Une rondelle est la différence de deux aires, non l'aire d'une différence 🖖

Cliquez sur Aires, pas les rayons. Chaque tranche est un disque de rayon x évidé d'un disque de rayon x², d'aire π(x² − x⁴) ; le volume total donne 2π/15 ≈ 0,4189. On est parfois tenté d'élever au carré l'écart entre les rayons en calculant π(x − x²)², et la page intègre aussi cette formule : 0,1047, soit très exactement le quart ici. À chaque tranche, les deux expressions diffèrent de 2πr(R − r). Cette quantité n'étant jamais négative, le raccourci sous-estime toujours le volume. Le trou retiré est un disque de rayon r, et c'est bien son aire qu'il faut retrancher.

Le volume ne dépend que de l'aire des tranches, non de leur agencement 🖖

Cliquez sur Sections carrées, puis sur Sections en demi-cercle. Aucun de ces solides n'est issu d'une rotation : le premier dresse des carrés sur un domaine plan, le second des demi-cercles sur un disque. La page les traite de façon identique, en intégrant A(x), car rien d'autre ne compte dans la tranche. Inclinez une pile de pièces de monnaie : son volume ne change pas, car chaque tranche garde la même aire. Bonaventura Cavalieri en fit un principe en 1635 ; en Chine, Zu Geng, le fils de Zu Chongzhi, appliquait déjà ce même raisonnement vers l'an 500.

Parcours

Applications de l'intégration

Références (4)

The method as the page computes it: the slicing method, V = ∫ₐᵇ A(x) dx, derived from Riemann sums, the disk method (equation 6.3) and the washer method (equation 6.5, π[(f(x))² − (g(x))²]): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: the cone as one third of the cylinder, first stated by Democritus, the proof attributed to Eudoxus by Archimedes in On the Sphere and Cylinder: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Eudoxus of Cnidus”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).
Insight block 3: Cavalieri's principle in his Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Bonaventura Francesco Cavalieri”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated July 2014).
Insight block 3: Zu Geng's principle, “a generalisation of what is often called Cavalieri's principle”; Zu Geng born about 450, died about 520: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.