フーリエ級数ビルダー

各回転ベクトルは調波インデックスkの正弦波成分を1つ受け持ちます。ベクトルを先端からつなげて足し合わせると部分和f_N(x)ができます。Nが大きくなるほど高周波成分が角を鋭くしますが、跳躍点付近では有限なギブスのオーバーシュートが残ります。

フーリエの洞察はこうです。どれほどギザギザな周期信号でも、基本波の整数倍の周波数をもつ純粋な正弦波の和で表せます。スライダーは、この「材料」となる波をいくつ重ねるかを選ぶだけです。矩形波には奇数次の高調波だけが現れ、次第に弱くなります。第3次は基本波の振幅の1/3、第5次はわずか1/5です。項を増やすほど和は目標の波形に近づき、角が鋭くなります。

不連続な跳びの近くでは、部分和が跳びの高さの約8.95%だけ行き過ぎます。しかもこの尖りは、高調波をいくら足しても小さくならず、幅が狭くなるだけです。物理学者マイケルソンは1898年、機械式の調和解析器が矩形波の端に頑固な尖りを描き続けるのを見て、装置の故障を疑いました。しかしJ. ウィラード・ギブズは、機械が正しいことを証明しました。この行き過ぎは本物の数学なのです。同じ「リンギング」は、JPEG画像の鋭い輪郭の近くにも現れます。