ド・ブロイ波長と物質波

粒子と運動エネルギーを選びます。電子または陽子なら加速電圧を、ボールなら速さを指定してください。運動量から波長を厳密に求め、教科書の公式による値と比べます。さらに、ニッケル結晶の表面でビームが回折する角度も計算します。

計算例 — ド・ブロイ波長と物質波

静止エネルギー	511.0 keV
運動量（pcで表示）	7.429 keV
波長	0.1669 nm
非相対論的公式による波長	0.1669 nm
公式が過大に見積もる割合	0.00264%
光速cに対する速さ	0.01454
ニッケル表面原子列による最初のビーム	50.66°

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レッスン

理論 — ド・ブロイ波長と物質波

運動する粒子には、ド・ブロイ波長と呼ばれる波長があります。λ = h/pで表され、pは粒子の運動量、hはプランク定数です。そのため粒子線も、間隔がλと同程度の回折格子に当たると、光と同じように回折します。質量m、運動エネルギーKの粒子では、運動量はpc = √(K² + 2K·mc²)です。Kが静止エネルギーmc²より十分小さければ、よく知られた式p = √(2mK)になります。電子や陽子を静止状態からVボルトの電圧で加速すると、K = eVです。

各記号の意味

λ: 粒子のド・ブロイ波長
h: プランク定数。厳密に6.62607015×10⁻³⁴ J·s
p: 粒子の運動量。pcは同じ量をエネルギーとして表したもの
K: 運動エネルギー。素電荷一個をVボルトで加速したときはK = eV
mc²: 静止エネルギー。電子では511.0 keV、陽子では938.3 MeV
d: ニッケルの(111)面にある原子列の間隔。0.2158 nm
φ: 入射線と一次回折線のなす角。sin φ = λ/dで求める

前提: 粒子線に含まれる粒子は、すべて同じエネルギーをもつものとします。静止状態から加速された荷電粒子ではK = eVであり、エネルギーは結晶の外側で測ります。電子線はニッケル表面へ垂直に入射し、表面を間隔0.2158 nmの原子列からなる反射型回折格子として扱います。そのため寄与するのは最上層だけです。ニッケルの原子列間隔は、格子定数0.352387 nmから計算しています。ボールの質量は、野球ボールとほぼ同じ145 gとします。
成り立たない場合: 金属の内部では、電子は結晶に引かれて外部にいたときより速く進むため、波長も短くなります。1928年、デイヴィソンとガーマーは、表面より下の結晶面に対する電子線がブラッグの法則に従わないと報告しました。カール・エッカートの示唆を受け、二人はその原因をこの屈折に求めました。ここで用いる表面原子列の式には影響しません。結晶による引力は表面に垂直な方向へ働き、表面に平行な運動量成分を変えないからです。この式は、電荷の有無を問わず、どの粒子にも成り立ちます。1930年には、イマヌエル・エスターマンとオットー・シュテルンがヘリウム原子と水素分子の粒子線をフッ化リチウム結晶に当て、その回折を観測しました。

54ボルトの電子の波長は、原子間のすき間ほど 🖖

デイヴィソンとガーマーの54 Vを押してください。電子の波長は0.1669 nmです。ニッケル結晶の(111)面では原子列の間隔が0.2158 nmなので、この表面は格子間隔が波長よりわずかに長い反射型回折格子として働きます。一次回折線が出る方向はsin φ = λ/dで決まり、入射電子線に対して50.66°です。1927年、ニューヨークのベル電話研究所にいたクリントン・デイヴィソンとレスター・ガーマーは、このような結晶面へ54 Vの電子を垂直に当て、50°の方向に鋭い電子線を観測しました。もともとは金属による電子散乱を調べる実験でしたが、1926年夏になってド・ブロイの考えを検証する実験へと発展しました。電圧を四倍にするを押すと、λはほぼ半分の0.08344 nmになり、電子線の方向は22.75°まで内側へ寄ります。32.30 V未満では波長が原子列の間隔より長くなり、回折線は現れません。これは<a href="/phy/braggs-law">ブラッグの法則</a>がX線に課すのと同じ種類の限界です。

室温の中性子は、すでに結晶と同程度の波長をもつ 🖖

室温の中性子を押してください。運動エネルギーは0.0253 eVで、20 °CにおけるkTに相当します。原子炉の減速材を構成する原子と十分な回数衝突し、同じ温度になった中性子の典型的なエネルギーです。これだけで波長は0.1798 nmとなり、54 Vの電子より長くなります。同じ波長を得るのに電子は46.52 eVを必要とします。中性子の1,839倍です。この値は両者の質量比に等しくなります。波長を決めるのはエネルギーではなく運動量です。エネルギーが等しければ運動量は√mに比例するので、重い粒子ほど波長が短くなります。下の表を見ると、中性子と同じ0.0253 eVをもつ電子の波長は7.710 nmで、42.9倍の長さです。初期の研究用原子炉から得た低速中性子が結晶へ通されたのも、まさにこの性質を利用するためでした。中性子回折を確立した功績により、クリフォード・シャルは1994年のノーベル物理学賞を共同受賞しています。

顕微鏡の100 kVでは、教科書の公式が4.78%長すぎる 🖖

電子顕微鏡、100 kVを押してください。多くの授業で扱うλ = h/√(2meV)では、波長は3.878 pmです。しかし電子は0.548cで運動しており、運動量を√(2mK)とは表せません。厳密な関係式(pc)² = K² + 2K·mc²を使うと、波長は3.701 pmです。教科書の値は4.78%長すぎます。下の表では、誤差が54 Vで0.00264%、10 kVで0.488%、400 kVで18.0%へと増えていきます。相対論的効果が現れると、最初の二つの設定に成り立つ1/√Vの関係も崩れます。100 kVから、その四倍の400 kVへ上げたとき、λは3.701 pmから1.644 pmへ減少します。比は2ではなく2.25です。Kが静止エネルギー511 keVに対して無視できなくなると、運動量が√Kより速く増えるためです。グラフでは、厳密な曲線がmₑc²付近で破線から離れ、傾きを増しながらλ ∝ 1/Kへ近づきます。

全プロセスの詳細解説

同じ波長をもつ電子とX線 5 ステップ
銅のKα X線の波長は0.154184 nmで、ブラッグの法則による結晶測定に使われます。電子を同じ波長にするには何ボルトが必要でしょうか。その波長のX線光子一個がもつエネルギーはいくらでしょう。波長が長くなると、両者の比較はどう変わるでしょうか。まずデイヴィソン＝ガーマーの54 Vを押してください。

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1. 54 Vでは、電子の波長が次のように表示されます。
  
  $λ_{54 V} = 0.1669 nm$
2. mc²よりはるかに小さい領域ではλは1/√Vに比例するので、より短い波長に必要な電圧は、波長の比の二乗を使って求められます。
  
  $V = 54 V \times (\frac{0 . 16689 nm}{0 . 154184 nm})^{2} = 63.27 V$
3. 光子のエネルギーはhc/λです。ここでhc = 1239.84 eV·nmです。
  
  $E_{γ} = \frac{h c}{λ} = \frac{1239 . 84 eV nm}{0 . 154184 nm} = 8, 041 eV$
4. 光子のエネルギーは電子の127倍です。
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{8 , 041 eV}{63 . 27 eV} = 127.1$
5. 低速の電子ではK = h²/(2mλ²)、光子ではエネルギーがhc/λです。両者の比は2mcλ/h、すなわち波長を電子のコンプトン波長h/mₑc = 2.4263 pmで割った値の二倍になります。
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{h c / λ}{h ^{2} / ( 2 m _{e} λ ^{2} )} = \frac{2 λ}{h / ( m _{e} c )} = \frac{2 \times 154 . 184 pm}{2 . 4263 pm} = 127.1$
解答

電子を63.27 Vで加速すると、銅Kα線と同じ0.154184 nmになります。この波長の光子一個がもつエネルギーは8,041 eVで、電子の127.1倍です。この比は2λ/λ_Cなので、波長に比例して大きくなります。結晶で重要になる長さの尺度では、質量をもつ粒子は、光よりずっと小さなエネルギーでその波長に達します。粒子が重いほど、必要な割合はさらに小さくなります。三つ目の設定にある中性子がその例です。比が1へ近づくのは、波長がλ_Cよりはるかに短い領域に限られます。そのとき電子はきわめて高速で、エネルギーは光子と同じくpcで表されます。

$K = 63.27 eV, E_{γ} = 8, 041 eV, \frac{E _{γ}}{K} \approx \frac{2 λ}{λ _{C}}$

学習の道すじ

量子力学：波としての物質

参考文献 (4)

Davisson's own account of the experiment: a 54-volt beam aimed at the (111) face of a nickel crystal, how the work began as a study of electron scattering and became a test of de Broglie only in 1926, and the check of λ = h/p against λ = 12.25/√V Å for nineteen beams: C. J. Davisson, "The discovery of electron waves." Nobel Lecture, 13 December 1937.
Diffraction is not special to electrons: Stern's account of sending helium atoms and hydrogen molecules at a lithium fluoride crystal, and checking de Broglie's formula to about 2%: O. Stern, "The method of molecular rays." Nobel Lecture, 12 December 1946.
The 54 V, 50° peak itself, and its reading as Bragg reflection from planes inside the crystal: R. Nave, "Davisson-Germer Experiment." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
Neutrons from a reactor, slowed to thermal speeds and reflected by a crystal because of their wave nature, as the basis of neutron diffraction: The Royal Swedish Academy of Sciences, "The Nobel Prize in Physics 1994." Press release, 12 October 1994.

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。