Integrais duplas

Fixe x e o sólido sob z = f(x, y) tem uma secção cuja área A(x) é uma integral ordinária em y. Integre A(x) ao longo de x e obtém o volume. Se, em vez disso, fixar y, a região tem de ser lida ao contrário, com x entre duas curvas; as duas ordens concordam em todos os casos desta página, exceto num.

Fatias com x fixo	$\iint_{D} f d A = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x$
A outra ordem (Fubini), quando ∬\|f\| dA é finita	$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f d y d x = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f d x d y \iint_{D} ∣ f ∣ d A < \infty$

Exemplo resolvido — Integrais duplas

Área da fatia neste x	0,2188
Volume, fatias com x fixo	0,15
Volume na outra ordem, fatias com y fixo	0,15

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Integrais duplas

A integral dupla ∬_D f(x, y) dA é o volume entre uma região D do plano xy e a superfície z = f(x, y), contando como negativa qualquer parte abaixo do plano. Calcula-se como integral iterada: integra-se numa variável mantendo a outra fixa e depois integra-se o que resulta.

O que significa cada símbolo

A(x): a área da fatia num x fixo, ela própria uma integral em y
g₁(x), g₂(x): as fronteiras inferior e superior de D quando D é lida ao longo de x
h₁(y), h₂(y): as fronteiras esquerda e direita de D quando D é lida ao longo de y

De onde vem a fórmula

Fixe x. O plano nesse x corta o sólido numa fatia cujo bordo superior é a curva y ↦ f(x, y), desde a fronteira inferior da região até à superior. A sua área é uma integral em y com x tratado como constante, o mesmo gesto de uma derivada parcial.
$A (x) = \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y$
Some as fatias. O volume é a integral de A(x) ao longo de x: volume por fatiamento, com uma fatia que precisou de uma integral própria.
$V = \int_{a}^{b} A (x) d x = \int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f (x, y) d y d x$
Ou fatie no outro sentido. Leia D ao longo de y, com x entre uma fronteira esquerda e uma direita, e integre primeiro em x. O teorema de Fubini diz que as duas ordens dão o mesmo número sempre que ∬|f| dA é finita, o que se verifica para qualquer f contínua numa região fechada e limitada.
$\int_{a}^{b} \int_{g_{1} (x)}^{g_{2} (x)} f d y d x = \int_{c}^{d} \int_{h_{1} (y)}^{h_{2} (y)} f d x d y$

Pressupõe: f é contínua em D, ou pelo menos ∬|f| dA é finita. Onde uma fronteira de D muda de fórmula, como a aresta superior do triângulo em x = 1, a integral divide-se nesse ponto.

Problemas resolvidos na íntegra

Sobre um retângulo, nas duas ordens 3 passos
Calcule ∬ xy² dA sobre o retângulo 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, nas duas ordens.

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1. Com x fixo, integre em y tratando x como constante:
  
  $A (x) = \int_{0}^{1} x y^{2} d y = \frac{x}{3}$
2. Depois, ao longo de x:
  
  $\int_{0}^{2} \frac{x}{3} d x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
3. A outra ordem, fatias com y fixo:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x y^{2} d x d y = \int_{0}^{1} 2 y^{2} d y = \frac{2}{3}$
Resposta

2/3 ≈ 0,6667 de qualquer das maneiras. Sobre um retângulo os limites são números nas duas ordens, e um produto separa-se: (∫₀² x dx)(∫₀¹ y² dy) = 2 · 1/3.

$\iint_{R} x y^{2} d A = \frac{2}{3} \approx 0.6667$
Uma região entre duas curvas 2 passos
Calcule ∬ (x + y) dA sobre a região entre y = x² e y = x.

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1. As curvas encontram-se em x = 0 e x = 1, e entre elas x² ≤ x, pelo que com x fixo a fatia vai de y = x² até y = x:
  
  $A (x) = \int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y = [x y + \frac{y ^{2}}{2}]_{x^{2}}^{x} = \frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}$
2. Integre de 0 a 1:
  
  $\int_{0}^{1} (\frac{3 x ^{2}}{2} - x^{3} - \frac{x ^{4}}{2}) d x = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}$
Resposta

3/20 = 0,15.

$\iint_{D} (x + y) d A = \frac{3}{20} = 0.15$
Inverter a ordem 3 passos
Escreva a integral do problema 2 com a ordem de integração invertida e calcule-a.

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1. Leia a região ao longo de y: vai de y = 0 a y = 1, e à altura y a sua fronteira esquerda é a reta, x = y, e a direita é a parábola, x = √y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} (x + y) d y d x = \int_{0}^{1} \int_{y}^{y} (x + y) d x d y$
2. A integral interior, com y fixo:
  
  $\int_{y}^{y} (x + y) d x = [\frac{x ^{2}}{2} + x y]_{y}^{y} = \frac{y}{2} + y^{3/2} - \frac{3 y ^{2}}{2}$
3. Depois, ao longo de y:
  
  $\int_{0}^{1} (\frac{y}{2} + y^{3/2} - \frac{3 y ^{2}}{2}) d y = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = \frac{3}{20}$
Resposta

3/20 outra vez. A parábola que era a fronteira inferior na leitura ao longo de x é a fronteira direita na leitura ao longo de y, escrita x = √y.

$\int_{0}^{1} \int_{y}^{y} (x + y) d x d y = \frac{3}{20}$
Escolher a ordem que pede uma só integral 3 passos
Calcule ∬ xy dA sobre o triângulo de vértices (0, 0), (2, 0) e (1, 1).

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1. Lendo ao longo de x, a aresta superior é y = x até x = 1 e y = 2 − x a partir daí, o que obriga a duas integrais. Lendo ao longo de y, o triângulo vai da fronteira esquerda x = y à fronteira direita x = 2 − y para todo o y, por isso fatie com y fixo:
  
  $\iint_{T} x y d A = \int_{0}^{1} \int_{y}^{2 - y} x y d x d y$
2. A integral interior:
  
  $\int_{y}^{2 - y} x y d x = \frac{y}{2} ((2 - y)^{2} - y^{2}) = 2 y (1 - y)$
3. Depois, ao longo de y:
  
  $\int_{0}^{1} 2 y (1 - y) d y = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
Resposta

1/3 ≈ 0,3333. A outra ordem dá 1/8 + 5/24 a partir das suas duas partes, o mesmo 1/3.

$\iint_{T} x y d A = \frac{1}{3} \approx 0.3333$
Inverter a ordem para obter uma fórmula 3 passos
Calcule ∫₀¹ ∫ₓ¹ e^(y²) dy dx.

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1. A integral interior não tem primitiva elementar, por isso inverta a ordem. A região é 0 ≤ x ≤ y ≤ 1; lida ao longo de y, é 0 ≤ y ≤ 1 com 0 ≤ x ≤ y:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} e^{y^{2}} d y d x = \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x d y$
2. A função integranda não depende de x:
  
  $\int_{0}^{y} e^{y^{2}} d x = y e^{y^{2}}$
3. Substitua u = y²:
  
  $\int_{0}^{1} y e^{y^{2}} d y = [\frac{e ^{y^{2}}}{2}]_{0}^{1} = \frac{e - 1}{2}$
Resposta

(e − 1)/2 ≈ 0,8591.

$\frac{e - 1}{2} \approx 0.8591$
Um sólido descrito pelas suas faces 3 passos
Determine o volume do tetraedro limitado pelos três planos coordenados e pelo plano x + y + z = 1.
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1. O sólido fica sob z = 1 − x − y e sobre a parte do plano xy onde essa altura não é negativa: x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1. Leia esse triângulo ao longo de x:
  
  $V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x} (1 - x - y) d y d x$
2. A integral interior, com x fixo:
  
  $\int_{0}^{1 - x} (1 - x - y) d y = \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}$
3. Depois, ao longo de x:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2} d x = \frac{1}{6}$
Resposta

1/6, o que concorda com um terço da área da base vezes a altura: (1/3)(1/2)(1).

$V = \frac{1}{6}$
A altura média sobre uma região 3 passos
Determine o valor médio de f(x, y) = x + y sobre a região do problema 2.
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1. O valor médio é o volume dividido pela área |D| da região, ou seja, a altura de uma laje plana sobre D com o mesmo volume:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{∣ D ∣} \iint_{D} f d A$
2. A área é a integral dupla de 1:
  
  $∣ D ∣ = \int_{0}^{1} \int_{x^{2}}^{x} d y d x = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}$
3. Com o volume 3/20 do problema 2:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{3/20}{1/6} = \frac{9}{10}$
Resposta

9/10 = 0,9.

$\overset{ˉ}{f} = 0.9$
Quando as duas ordens não concordam 4 passos
Mostre que as duas integrais iteradas de f(x, y) = (x² − y²)/(x² + y²)² sobre o quadrado unitário são diferentes e indique que hipótese do teorema de Fubini falha.

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1. A derivada de y/(x² + y²) em ordem a y é f, pelo que, com x > 0 fixo:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{x ^{2} - y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} d y = [\frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}]_{0}^{1} = \frac{1}{1 + x ^{2}}$
2. Nesta ordem, portanto:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan 1 = \frac{π}{4}$
3. Trocar x e y muda o sinal de f, pelo que a outra ordem é o mesmo cálculo com o sinal trocado:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = - \frac{π}{4}$
4. Em coordenadas polares, f = cos 2θ/r². Sobre o quarto de disco de raio 1, que está contido no quadrado,
  
  $\int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} \frac{∣ cos 2 θ ∣}{r ^{2}} r d r d θ = \int_{0}^{π /2} ∣ cos 2 θ ∣ d θ \int_{0}^{1} \frac{d r}{r} = \infty$
Resposta

π/4 ≈ 0,7854 numa ordem e −π/4 na outra. ∬|f| dA é infinita, e a finitude é exatamente o que o teorema de Fubini pressupõe.

$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d y d x \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} f d x d y = \frac{π}{4} \approx 0.7854 = - \frac{π}{4}$

Troque a ordem e uma integral sem fórmula passa a ter uma 🖖

Clique em Uma fatia sem fórmula. Com x fixo, a fatia é a integral de e^(y²) de y = x a 1, e e^(y²) não tem primitiva construída a partir de funções elementares: é a mesma parede contra a qual e^(−t²) esbarra no capítulo de integração. A página só consegue calcular cada fatia numericamente. Clique agora em O mesmo, ao contrário. Com y fixo, a fatia vai de x = 0 a x = y, e a altura e^(y²) não depende de x, pelo que a fatia é um retângulo de área y·e^(y²). Essa é a derivada de e^(y²)/2, e o volume é exatamente (e − 1)/2. Nada no sólido mudou. Foi a ordem de integração que decidiu se as fatias têm sequer uma fórmula.

Uma função em que a ordem muda o resultado 🖖

Clique em A ordem muda o resultado. A superfície (x² − y²)/(x² + y²)² é positiva abaixo da diagonal do quadrado unitário e negativa acima dela. Fatie com x fixo e cada fatia tem saldo positivo, 1/(1 + x²), pelo que a integral iterada é π/4 ≈ 0,7854. Passe a dx dy e cada fatia tem saldo negativo, −1/(1 + y²), e o resultado é −0,7854. Nenhum dos dois cálculos tem um erro. Perto da origem a superfície comporta-se como cos 2θ/r², de modo que o volume acima do quadrado e o volume abaixo dele são ambos infinitos, e as duas ordens compensam-nos um contra o outro de maneira diferente. Não há integral dupla em que possam concordar. O teorema de Fubini, publicado em 1907, garante que as ordens concordam quando ∬|f| dA é finita. Aqui é infinita, e o teorema não garante nada.

O sólido sob um pico infinito tem volume π²/6 🖖

Clique em Um volume de π²/6. A superfície 1/(1 − xy) cresce sem limite no canto (1, 1) e, ainda assim, o sólido por baixo dela sobre o quadrado unitário tem volume 1,6449. Desenvolva a função integranda em série geométrica, 1 + xy + x²y² + …, e integre termo a termo: xⁿyⁿ sobre o quadrado dá 1/(n + 1)², pelo que o volume é 1 + 1/4 + 1/9 + …, a soma que Euler mostrou em 1735 ser π²/6. Lida ao contrário, a integral dupla é uma maneira de somar a série. Frits Beukers usou integrais sobre esse mesmo quadrado, com 1 − xy no denominador, na sua curta demonstração de 1979 de que 1 + 1/8 + 1/27 + … é irracional.

Percurso de aprendizagem

Aplicações da integração

Referências (4)

The method and the two descriptions of a region the page uses: Type I (“between two vertical lines and the graphs of two continuous functions”) and Type II (between two horizontal lines), and Theorem 5.4, Fubini's theorem (strong form), for a function continuous on such a region: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.2, “Double Integrals over General Regions”.
Insight block 2: Fubini's theorem on successive integration, for f in L¹, that is, with ∬|f| finite; published 1907: G. Fubini, “Sugli integrali multipli”, Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (5) 16 (1907), no. 1, 608–614.
Insight block 3: Euler showed in 1735 that 1 + 1/4 + 1/9 + … = π²/6: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Leonhard Euler”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated September 1998).
Insight block 3: integrals over the unit square with 1 − xy in the denominator, used to prove ζ(2) and ζ(3) irrational: F. Beukers, “A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3)”, Bulletin of the London Mathematical Society 11 (1979), no. 3, 268–272.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.