Volumen durch Querschnitte

Schneidest du einen Körper entlang einer Achse in dünne Scheiben, ergibt sich sein Volumen als Summe der Schnittflächen mal ihrer Dicke: V = ∫A(x) dx. Ob Kreisscheiben, Kreisringe oder feste Querschnittsformen: Es ist immer derselbe Gedanke, nur mit anderem A(x). Hier siehst du die ebene Fläche und den Schnitt bei x in Frontalansicht. Daneben wächst A(x) entlang der Achse – die Fläche unter dieser Kurve ist das Volumen.

Volumen durch Schnitte	$V = \int_{a}^{b} A (x) d x$
Kreisring	$A (x) = π (R (x)^{2} - r (x)^{2})$

Rechenbeispiel — Volumen durch Querschnitte

Fläche des Schnitts bei x	0,7854
Volumen, Integral über A(x)	3,1416

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Volumen durch Querschnitte

Besitzt der Schnitt eines Körpers bei x für a ≤ x ≤ b den Flächeninhalt A(x), so beträgt sein Volumen V = ∫ₐᵇ A(x) dx. Rotiert eine Fläche um eine Achse, entstehen Kreisscheiben mit A = πR² oder Kreisringe mit A = π(R² − r²), wobei R und r die Abstände zur Rotationsachse sind.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

A(x): Flächeninhalt des Schnitts bei x senkrecht zur Achse
R, r: Außen- und Innenradius eines Kreisrings, gemessen ab der Rotationsachse

Woher die Formel kommt

In Scheiben schneiden und aufsummieren. Eine dünne Scheibe der Dicke Δx hat näherungsweise das Volumen A(x)Δx. Summierst du diese Scheiben auf und lässt Δx gegen null gehen, wird aus der Summe das Integral.
$V \approx i \sum A (x_{i}) Δ x ⟶ \int_{a}^{b} A (x) d x$
Scheiben und Kreisringe. Rotiert eine Fläche um eine Achse, ist jeder Schnitt eine Kreisscheibe oder eine Scheibe mit Loch: Ziehe die Fläche des Lochs ab, niemals seinen Radius.
$A = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2}) \neq = π (R - r)^{2}$

Aufgaben vollständig gelöst

Kreisscheibe um die x-Achse 1 Schritte
Bestimme das Volumen, wenn die Fläche unter y = √x auf [0, 4] um die x-Achse rotiert.

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1. Jeder Schnitt ist eine Kreisscheibe mit Radius √x:
  
  $V = \int_{0}^{4} π (x)^{2} d x = π \int_{0}^{4} x d x = π \cdot 8$
Antwort

8π ≈ 25,1327.

$V = 8 π \approx 25.1327$
Die Kegelformel über Kreisscheiben 2 Schritte
Zeige, dass ein Kegel mit Radius r und Höhe h das Volumen πr²h/3 besitzt.

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1. Lege den Kegel mit der Spitze bei 0 entlang der x-Achse: Bei x beträgt der Radius rx/h.
  
  $R (x) = \frac{r}{h} x, 0 \leq x \leq h$
2. Integriere die Kreisflächen:
  
  $V = \int_{0}^{h} π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} x^{2} d x = π \frac{r ^{2}}{h ^{2}} \cdot \frac{h ^{3}}{3} = \frac{π r ^{2} h}{3}$
Antwort

πr²h/3. Für r = 1 und h = 3 zeigt die Seite 3,1416 an, also genau π.

$V = \frac{π r ^{2} h}{3}$
Ein Kreisring 1 Schritte
Die Fläche zwischen y = x und y = x² auf [0, 1] rotiert um die x-Achse. Bestimme das Volumen.

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1. Außenradius x, Innenradius x²:
  
  $V = \int_{0}^{1} π (x^{2} - x^{4}) d x = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{2 π}{15}$
Antwort

2π/15 ≈ 0,4189. Das Integral π∫(x − x²)² dx ergibt 0,1047 – genau die Warnung im Abschnitt über Kreisringe.

$V = \frac{2 π}{15} \approx 0.4189$
Kreisring um eine andere Gerade 2 Schritte
Die Fläche unter y = x² auf [0, 1] rotiert um die Gerade y = −1. Bestimme das Volumen.

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1. Miss die Radien ab y = −1: Der Außenrand liegt bei x² + 1, das Loch bei 1 (der x-Achse):
  
  $R = x^{2} + 1, r = 1$
2. Ausmultiplizieren und integrieren:
  
  $V = \int_{0}^{1} π ((x^{2} + 1)^{2} - 1) d x = π \int_{0}^{1} (x^{4} + 2 x^{2}) d x = π (\frac{1}{5} + \frac{2}{3})$
Antwort

13π/15 ≈ 2,7227. Vergisst du, die Radien um 1 zu verschieben, erhältst du das Scheibenvolumen um die x-Achse, π/5 – und damit einen völlig anderen Körper.

$V = \frac{13 π}{15} \approx 2.7227$
Quadratische Querschnitte 1 Schritte
Die Grundfläche eines Körpers ist die Fläche unter y = √x auf [0, 4]. Jeder Querschnitt senkrecht zur x-Achse ist ein Quadrat. Bestimme das Volumen.

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1. Das Quadrat bei x hat die Seitenlänge √x:
  
  $V = \int_{0}^{4} (x)^{2} d x = \int_{0}^{4} x d x = 8$
Antwort

8. Keine Rotation und kein π: Allein die Form des Schnitts bestimmt A(x), mehr braucht es nicht.

$V = 8$
Halbkreisförmige Querschnitte 1 Schritte
Die Grundfläche eines Körpers ist die Kreisscheibe x² + y² ≤ 1. Die Querschnitte senkrecht zur x-Achse sind Halbkreise über den Sehnen. Bestimme das Volumen.

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1. Die Sehne bei x hat die Länge 2√(1 − x²), der Halbkreis also den Radius √(1 − x²):
  
  $A (x) = \frac{1}{2} π (1 - x^{2}), V = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{2} π (1 - x^{2}) d x = \frac{1}{2} π \cdot \frac{4}{3}$
Antwort

2π/3 ≈ 2,0944. Genau die Hälfte des Volumens der Einheitskugel, da hier Halbkreise statt voller Kreise stehen.

$V = \frac{2 π}{3} \approx 2.0944$
Die Kugel 1 Schritte
Zeige, dass eine Kugel mit Radius r das Volumen 4πr³/3 besitzt.
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1. Rotiert der Halbkreis y = √(r² − x²) um die x-Achse, besitzt die Kreisscheibe bei x den Radius √(r² − x²).
  
  $V = \int_{- r}^{r} π (r^{2} - x^{2}) d x = π (2 r^{3} - \frac{2 r ^{3}}{3})$
Antwort

4πr³/3. Archimedes fand diesen Wert als zwei Drittel des umschriebenen Zylinders mit 2πr³.

$V = \frac{4 π r ^{3}}{3}$

Ein Kegel füllt genau ein Drittel seines Zylinders – die Schnitte zeigen, warum 🖖

Klick auf Kegel: ein Drittel. Der Schnitt bei x ist eine Kreisscheibe mit Radius x/3. Ihre Fläche wächst quadratisch mit x²: winzig an der Spitze, π an der Basis. Das Volumen entspricht der Fläche unter A(x) von 0 bis 3. Weil ∫x² dx = x³/3 ist, füllt die Fläche unter einer solchen Parabelkurve stets genau ein Drittel des umschreibenden Rechtecks. Jenes Rechteck misst π mal 3, das Volumen des Zylinders. Der Kegel hat damit das Volumen π – und dieses Drittel gilt ausnahmslos für jeden Kegel, unabhängig von Höhe und Radius. Demokrit vermutete diesen Zusammenhang zuerst, Archimedes schrieb den strengen Beweis Eudoxos zu. Mit Querschnitten genügt dafür ein einziges Integral.

Ein Kreisring ist die Differenz zweier Flächen, nicht die Fläche einer Differenz 🖖

Klick auf Flächen, nicht Radien. Jeder Schnitt ist eine Kreisscheibe mit Radius x, aus der eine kleinere Scheibe mit Radius x² herausgeschnitten wurde. Das ergibt die Fläche π(x² − x⁴) und ein Gesamtvolumen von 2π/15 ≈ 0,4189. Ein verlockender Denkfehler quadriert stattdessen die Differenz der Radien: π(x − x²)². Die Seite berechnet auch das: Es kommt 0,1047 heraus, exakt ein Viertel des echten Volumens. Beide Ausdrücke unterscheiden sich in jedem Schnitt um 2πr(R − r). Da dieser Wert nie negativ wird, liefert der Rechenfehler grundsätzlich ein zu kleines Ergebnis. Das Loch ist eine Kreisscheibe mit Radius r – und genau deren Fläche musst du abziehen.

Das Volumen hängt allein von den Schnittflächen ab, nicht von ihrer Anordnung 🖖

Klick auf Quadratische Schnitte, danach auf Halbkreisschnitte. Keiner dieser Körper entsteht durch Rotation. Beim ersten stehen Quadrate senkrecht über der Fläche, beim zweiten Halbkreise über der Kreisscheibe. Die Seite berechnet beide Körper exakt gleich: durch Integration von A(x). Auf die äußere Form der Schnitte kommt es dabei gar nicht an. Schiebst du einen Münzstapel zur Seite, sodass er schief steht, bleibt sein Volumen unverändert – jede Münze behält ihre Fläche. Bonaventura Cavalieri formulierte daraus 1635 sein berühmtes Prinzip. Zu Geng, der Sohn von Zu Chongzhi, wandte genau diese Erkenntnis in China schon um das Jahr 500 an.

Lernpfad

Anwendungen der Integralrechnung

Quellen (4)

The method as the page computes it: the slicing method, V = ∫ₐᵇ A(x) dx, derived from Riemann sums, the disk method (equation 6.3) and the washer method (equation 6.5, π[(f(x))² − (g(x))²]): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: the cone as one third of the cylinder, first stated by Democritus, the proof attributed to Eudoxus by Archimedes in On the Sphere and Cylinder: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Eudoxus of Cnidus”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).
Insight block 3: Cavalieri's principle in his Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota (1635): J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Bonaventura Francesco Cavalieri”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated July 2014).
Insight block 3: Zu Geng's principle, “a generalisation of what is often called Cavalieri's principle”; Zu Geng born about 450, died about 520: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.