Longueur d’onde de de Broglie et ondes de matière

Choisissez une particule et son énergie cinétique — ou, pour un électron ou un proton, la tension qui l’a accéléré —, ou donnez une vitesse à la balle. La page calcule la longueur d’onde à partir de la quantité de mouvement, par la formule exacte et par celle des manuels, ainsi que l’angle sous lequel la surface d’un cristal de nickel dévierait le faisceau.

Exemple résolu — Longueur d’onde de de Broglie et ondes de matière

Énergie de masse	511,0 keV
Quantité de mouvement, sous forme pc	7,429 keV
Longueur d’onde	0,1669 nm
Longueur d’onde selon la formule non relativiste	0,1669 nm
Surestimation par cette formule	0,00264%
Vitesse en fraction de c	0,01454

Ce sont les valeurs affichées par le calculateur à l’ouverture de la page. Modifiez une entrée ci-dessus pour les recalculer.

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Leçon

La théorie — Longueur d’onde de de Broglie et ondes de matière

À toute particule en mouvement est associée une longueur d’onde, appelée longueur d’onde de de Broglie : λ = h/p, où p désigne sa quantité de mouvement et h la constante de Planck. Un faisceau de particules est donc diffracté, comme la lumière, par un réseau dont le pas est comparable à λ. Pour une particule de masse m et d’énergie cinétique K, la quantité de mouvement vérifie pc = √(K² + 2K·mc²). Lorsque K est très inférieure à l’énergie de masse mc², on retrouve p = √(2mK). Un électron ou un proton accéléré depuis le repos sous une tension de V volts acquiert l’énergie K = eV.

Ce que signifie chaque symbole

λ: la longueur d’onde de de Broglie de la particule
h: la constante de Planck, exactement égale à 6,62607015×10⁻³⁴ J·s
p: la quantité de mouvement de la particule ; pc exprime cette même grandeur sous la forme d’une énergie
K: l’énergie cinétique ; pour une charge élémentaire accélérée sous une tension de V volts, K = eV
mc²: l’énergie de masse, égale à 511,0 keV pour un électron et à 938,3 MeV pour un proton
d: l’espacement des rangées d’atomes sur la face (111) du nickel, soit 0,2158 nm
φ: l’angle entre le faisceau incident et le premier faisceau diffracté, donné par sin φ = λ/d

Suppose: Toutes les particules du faisceau ont la même énergie, mesurée à l’extérieur du cristal : K = eV pour une charge accélérée depuis le repos. Le faisceau arrive perpendiculairement sur la surface du nickel, modélisée comme un réseau en réflexion constitué de rangées d’atomes espacées de 0,2158 nm ; seule la couche superficielle intervient donc. Cet espacement est calculé à partir du paramètre de maille du nickel, égal à 0,352387 nm. La balle choisie a une masse de 145 g, proche de celle d’une balle de baseball.
Ne tient plus quand: À l’intérieur du métal, l’électron est attiré par le cristal et se déplace plus vite qu’à l’extérieur ; sa longueur d’onde y est donc plus courte. En 1928, Davisson et Germer constatèrent que leurs faisceaux ne suivaient pas la loi de Bragg pour les plans situés sous la surface. Reprenant une suggestion de Carl Eckart, ils attribuèrent cet écart à la réfraction. Celle-ci ne modifie pas la formule employée ici pour les rangées superficielles, car l’attraction s’exerce perpendiculairement à la surface et laisse inchangée la composante parallèle de la quantité de mouvement. La formule vaut pour toute particule, chargée ou non. En 1930, Immanuel Estermann et Otto Stern dirigèrent des faisceaux d’atomes d’hélium et de molécules d’hydrogène sur un cristal de fluorure de lithium et observèrent leur diffraction.

À 54 volts, la longueur d’onde d’un électron est de l’ordre de la distance entre deux atomes 🖖

Appuyez sur Davisson et Germer, 54 V. La longueur d’onde de l’électron est de 0,1669 nm. Sur la face (111) d’un cristal de nickel, les rangées d’atomes sont espacées de 0,2158 nm : la surface forme ainsi un réseau de diffraction en réflexion dont le pas dépasse à peine la longueur d’onde. Le premier faisceau diffracté émerge à l’angle donné par sin φ = λ/d, soit 50,66° par rapport au faisceau incident. En 1927, aux Bell Telephone Laboratories de New York, Clinton Davisson et Lester Germer dirigèrent perpendiculairement sur une telle face des électrons accélérés sous 54 V et observèrent un faisceau intense à 50°. Leur expérience devait à l’origine étudier la diffusion des électrons par les métaux ; ce n’est qu’à l’été 1926 qu’elle devint un test de l’hypothèse de de Broglie. Appuyez sur Tension multipliée par quatre : λ est presque divisée par deux et vaut 0,08344 nm, tandis que l’angle du faisceau retombe à 22,75°. En dessous de 32,30 V, la longueur d’onde dépasse l’espacement des rangées et aucun faisceau diffracté ne peut apparaître. C’est le même type de limite que la <a href="/phy/braggs-law">loi de Bragg</a> impose aux rayons X.

À température ambiante, un neutron possède déjà une longueur d’onde comparable aux dimensions d’un cristal 🖖

Choisissez Neutron à 20 °C. Son énergie vaut 0,0253 eV, soit kT à 20 °C : c’est l’énergie typique d’un neutron qui a subi assez de collisions avec les atomes du modérateur d’un réacteur pour atteindre leur température. Cela suffit à lui donner une longueur d’onde de 0,1798 nm, supérieure à celle de l’électron accéléré sous 54 V. Pour obtenir la même longueur d’onde, un électron doit posséder 46,52 eV, soit 1 839 fois plus, ce qui correspond au rapport des deux masses. C’est la quantité de mouvement, et non l’énergie, qui détermine la longueur d’onde. À énergie égale, la quantité de mouvement varie comme √m : la particule la plus lourde a donc l’onde la plus courte. Dans le deuxième tableau, un électron de 0,0253 eV possède une longueur d’onde de 7,710 nm, 42,9 fois supérieure à celle du neutron. C’est précisément pour cette raison que les premiers réacteurs de recherche ont fourni des neutrons lents destinés à traverser des cristaux. Clifford Shull a partagé le prix Nobel de physique de 1994 pour avoir fait de ce principe la diffraction neutronique.

À 100 kV, dans un microscope, la formule des manuels donne une longueur d’onde supérieure de 4,78% 🖖

Choisissez Microscope, 100 kV. La formule enseignée dans la plupart des cours, λ = h/√(2meV), donne 3,878 pm. Mais l’électron se déplace à 0,548c et sa quantité de mouvement n’est plus égale à √(2mK). La relation exacte (pc)² = K² + 2K·mc² conduit à une longueur d’onde de 3,701 pm : la valeur donnée par la formule des manuels est supérieure de 4,78%. Le tableau ci-dessous montre comment l’écart augmente : 0,00264% à 54 V, 0,488% à 10 kV et 18,0% à 400 kV. La relativité invalide aussi la loi en 1/√V suivie par les deux premiers préréglages. Lorsque la tension passe de 100 kV à 400 kV, donc qu’elle est multipliée par quatre, λ diminue de 3,701 à 1,644 pm : elle est divisée par 2,25 et non par 2. Dès que K représente une part appréciable de l’énergie de masse, 511 keV, la quantité de mouvement croît plus vite que √K. Sur le graphique, la courbe exacte s’écarte de la courbe en pointillés au voisinage de mₑc², puis sa pente augmente et tend vers λ ∝ 1/K.

Problème entièrement résolu

Un électron et un rayon X de même longueur d’onde 5 étapes
Les rayons X de la raie Kα du cuivre, de longueur d’onde 0,154184 nm, servent à étudier les cristaux au moyen de la loi de Bragg. Sous quelle tension faut-il accélérer un électron pour obtenir la même longueur d’onde ? Quelle énergie transporte un photon X correspondant, et comment la comparaison évolue-t-elle pour des ondes plus longues ? Choisissez Expérience à 54 V comme point de départ.

Ouvrez ce problème dans l'outil
1. À 54 V, la page indique la longueur d’onde de l’électron :
  
  $λ_{54 V} = 0.1669 nm$
2. Très loin au-dessous de mc², λ varie comme 1/√V ; pour obtenir l’onde plus courte, la tension est donc multipliée par le carré du rapport des longueurs d’onde :
  
  $V = 54 V \times (\frac{0 . 16689 nm}{0 . 154184 nm})^{2} = 63.27 V$
3. L’énergie d’un photon vaut hc/λ, avec hc = 1239,84 eV·nm :
  
  $E_{γ} = \frac{h c}{λ} = \frac{1239 . 84 eV nm}{0 . 154184 nm} = 8, 041 eV$
4. L’énergie du photon est 127 fois celle de l’électron :
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{8 , 041 eV}{63 . 27 eV} = 127.1$
5. Pour un électron lent, K = h²/(2mλ²), tandis que l’énergie du photon vaut hc/λ. Le rapport des deux énergies est donc 2mcλ/h : il est égal à deux fois le rapport entre la longueur d’onde et la longueur d’onde de Compton de l’électron, h/mₑc = 2,4263 pm.
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{h c / λ}{h ^{2} / ( 2 m _{e} λ ^{2} )} = \frac{2 λ}{h / ( m _{e} c )} = \frac{2 \times 154 . 184 pm}{2 . 4263 pm} = 127.1$
Réponse

Sous 63,27 V, un électron acquiert la longueur d’onde de la raie Kα du cuivre, soit 0,154184 nm. Un photon de même longueur d’onde transporte 8 041 eV, c’est-à-dire 127,1 fois plus. Comme le rapport vaut 2λ/λ_C, il augmente proportionnellement à la longueur d’onde. Aux échelles propres aux cristaux, une particule massive atteint ces longueurs d’onde avec une faible fraction de l’énergie nécessaire à la lumière ; cette fraction diminue encore lorsque la masse augmente. C’est le cas du neutron du troisième préréglage. Le rapport ne tend vers 1 que pour des longueurs d’onde très inférieures à λ_C, lorsque l’électron est assez rapide pour que son énergie, comme celle du photon, soit simplement pc.

$K = 63.27 eV, E_{γ} = 8, 041 eV, \frac{E _{γ}}{K} \approx \frac{2 λ}{λ _{C}}$

Parcours

Mécanique quantique : la matière comme onde

Références (4)

Davisson's own account of the experiment: a 54-volt beam aimed at the (111) face of a nickel crystal, how the work began as a study of electron scattering and became a test of de Broglie only in 1926, and the check of λ = h/p against λ = 12.25/√V Å for nineteen beams: C. J. Davisson, "The discovery of electron waves." Nobel Lecture, 13 December 1937.
Diffraction is not special to electrons: Stern's account of sending helium atoms and hydrogen molecules at a lithium fluoride crystal, and checking de Broglie's formula to about 2%: O. Stern, "The method of molecular rays." Nobel Lecture, 12 December 1946.
The 54 V, 50° peak itself, and its reading as Bragg reflection from planes inside the crystal: R. Nave, "Davisson-Germer Experiment." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
Neutrons from a reactor, slowed to thermal speeds and reflected by a crystal because of their wave nature, as the basis of neutron diffraction: The Royal Swedish Academy of Sciences, "The Nobel Prize in Physics 1994." Press release, 12 October 1994.

Par l’équipe 42Math · Vérifié sur des sources publiées. Corrections bienvenues.