sec・csc・cot と三角関数の相互関係

三角関数の一つについて値と象限を入れると、このページは角を求め、二つの関数を結ぶ相互関係から相手の値を、点 P から残りの四つを求めます。角をドラッグして、sec θ, csc θ, cot θ が図の中の長さとして変わる様子を見ることもできます。

逆数の三角関数	$sec θ = \frac{1}{cos θ}, csc θ = \frac{1}{sin θ} cot θ = \frac{cos θ}{sin θ}$
基本の相互関係	$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$
cos²θ で割る	$1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ$
sin²θ で割る	$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

計算例 — sec・csc・cot と三角関数の相互関係

角	143.1301°
相互関係から（第 II 象限の符号）	−0.8
正弦	0.6
余弦	−0.8
正接	−0.75
正割	−1.25
余割	1.6667
余接	−1.3333

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レッスン

理論 — sec・csc・cot と三角関数の相互関係

逆数の三角関数は sec θ = 1/cos θ, csc θ = 1/sin θ, cot θ = cos θ/sin θ で、それぞれ分母が 0 でないところで定義されます。三角関数の相互関係 sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ は、両辺が定義されるすべての角で成り立ちます。

公式の導き方

円から始める。P = (cos θ, sin θ) はどの角でも O からの距離が 1 なので、どの象限でも cos²θ + sin²θ = 1 です。2 乗すると符号は消えます。だから、直角をはさむ辺が |cos θ| と |sin θ| の三角形からも同じ式が出てきます。
$x_{P}^{2} + y_{P}^{2} = 1 \Rightarrow cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$
cos²θ で、または sin²θ で割る。どちらの割り算も、新しい関数が定義されるところでちょうど許されます。
$\div cos^{2} θ : \div sin^{2} θ : 1 + tan^{2} θ = sec^{2} θ cot^{2} θ + 1 = csc^{2} θ$
平方根をとり、それから符号を選ぶ。関係式から得られるのは未知数の 2 乗なので、決まるのは大きさです。符号は象限が決めます。
$cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ, sec θ = \pm 1 + tan^{2} θ$

前提: 各関係式は、そこに現れる関数が定義される場所でだけ成り立ちます。第二の式は 90° の奇数倍で、第三の式は 180° の倍数で成り立ちません。

全プロセスの詳細解説

鈍角の正弦が与えられたとき 2 ステップ
sin θ = 3/5 で、θ は鈍角である。残りの五つの値を正確に求めよ。

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1. 鈍角は第 II 象限にあり、そこでは余弦は負です。sin²θ + cos²θ = 1 より：
  
  $cos θ = - 1 - (\frac{3}{5})^{2} = - \frac{16}{25} = - \frac{4}{5}$
2. 残りの四つは商と逆数です：
  
  $tan θ csc θ = \frac{3/5}{- 4/5} = - \frac{3}{4}, = \frac{1}{sin θ} = \frac{5}{3}, sec θ cot θ = \frac{1}{cos θ} = - \frac{5}{4} = \frac{1}{tan θ} = - \frac{4}{3}$
解答

cos θ = −4/5, tan θ = −3/4, sec θ = −5/4, csc θ = 5/3, cot θ = −4/3

$cos θ = - \frac{4}{5}, tan θ = - \frac{3}{4}, sec θ = - \frac{5}{4}, csc θ = \frac{5}{3}, cot θ = - \frac{4}{3}$
正接から正割を求める 2 ステップ
tan θ = −12/5, 270° < θ < 360° のとき、sec θ, cos θ, sin θ を求めよ。

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1. 第 IV 象限では余弦は正で、正割も正です。1 + tan²θ = sec²θ より：
  
  $sec θ = + 1 + (- \frac{12}{5})^{2} = \frac{169}{25} = \frac{13}{5}$
2. cos θ はその逆数で、sin θ = tan θ · cos θ です：
  
  $cos θ = \frac{5}{13}, sin θ = - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{13} = - \frac{12}{13}$
解答

sec θ = 13/5 = 2.6, cos θ = 5/13 ≈ 0.3846, sin θ = −12/13 ≈ −0.9231

$sec θ = \frac{13}{5}, cos θ = \frac{5}{13} \approx 0.3846, sin θ = - \frac{12}{13} \approx - 0.9231$
余接から余割を求める 2 ステップ
cot θ = 3/4, 180° < θ < 270° のとき、csc θ, sin θ, cos θ を求めよ。

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1. 第 III 象限では正弦は負で、余割も負です。1 + cot²θ = csc²θ より：
  
  $csc θ = - 1 + (\frac{3}{4})^{2} = - \frac{25}{16} = - \frac{5}{4}$
2. sin θ はその逆数で、cos θ = cot θ · sin θ です：
  
  $sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{5}) = - \frac{3}{5}$
解答

csc θ = −5/4, sin θ = −4/5, cos θ = −3/5

$csc θ = - \frac{5}{4}, sin θ = - \frac{4}{5}, cos θ = - \frac{3}{5}$
30° での正確な値 3 ステップ
sec 30°, csc 30°, cot 30° の正確な値を求めよ。

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1. 1 辺が 2 の正三角形を半分にすると、辺は 1, √3, 2 なので
  
  $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}, cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
2. 逆数をとり、分母を有理化します：
  
  $sec 3 0^{\circ} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = \frac{3 /2}{1/2} = 3$
3. 第二の関係式で確かめます：
  
  $1 + tan^{2} 3 0^{\circ} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = (\frac{2}{3})^{2}$
解答

sec 30° = 2√3/3 ≈ 1.1547, csc 30° = 2, cot 30° = √3 ≈ 1.7321

$sec 3 0^{\circ} = \frac{2 3}{3} \approx 1.1547, csc 3 0^{\circ} = 2, cot 3 0^{\circ} = 3 \approx 1.7321$
二つの関係式で簡単にする 2 ステップ
(1 − cos²θ)(1 + cot²θ) を簡単にせよ。
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1. どちらのかっこも、関係式の片側です。もう一方の側に置き換えます：
  
  $(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = sin^{2} θ \cdot csc^{2} θ$
2. そして csc θ = 1/sin θ より：
  
  $sin^{2} θ \cdot \frac{1}{sin ^{2} θ} = 1$
解答

1。ただし、cot θ が定義されない 180° の倍数の角は除く。

$(1 - cos^{2} θ) (1 + cot^{2} θ) = 1, θ \neq = k \cdot 18 0^{\circ}$
因数分解した関係式による証明 3 ステップ
1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ を示し、θ = 60° で確かめよ。

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1. 分子と分母に sec θ + tan θ を掛けます：
  
  $\frac{1}{sec θ - tan θ} = \frac{sec θ + tan θ}{sec ^{2} θ - tan ^{2} θ}$
2. 1 + tan²θ = sec²θ より、分母は 1 です：
  
  $= \frac{sec θ + tan θ}{1} = sec θ + tan θ$
3. 60° では sec θ = 2, tan θ = √3：
  
  $\frac{1}{2 - 3} = \frac{2 + 3}{( 2 - 3 ) ( 2 + 3 )} = \frac{2 + 3}{4 - 3} = 2 + 3$
解答

両辺が定義されるところでは常に等しい。60° ではどちらも 2 + √3 ≈ 3.7321。

$\frac{1}{sec 6 0 ^{\circ} - tan 6 0 ^{\circ}} = 2 + 3 \approx 3.7321$
どの角もとらない値 2 ステップ
sec θ = 1/2 となる角をすべて求めよ。

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1. sec θ = 1/2 だとすると
  
  $cos θ = \frac{1}{sec θ} = 2$
2. ところが cos θ は半径 1 の円周上の点の座標なので |cos θ| ≤ 1 であり、したがって
  
  $∣ sec θ ∣ = \frac{1}{∣ cos θ ∣} \geq 1$
解答

そのような角はない。sec θ と csc θ が −1 より大きく 1 より小さい値をとることはない。このサンプルは 1/2 を受けつけず、θ を 60° のままにします。そこでは逆数の関係が逆向きで、cos θ = 1/2、sec θ = 2 です。

${θ : sec θ = \frac{1}{2}} = \emptyset$
媒介変数を消去する 2 ステップ
曲線が x = 3 sec t, y = 2 tan t で与えられている。この曲線の x, y の方程式を求めよ。
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1. 二つの関数について解きます：
  
  $sec t = \frac{x}{3}, tan t = \frac{y}{2}$
2. これを sec²t − tan²t = 1 に代入します：
  
  $\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1$
解答

x²/9 − y²/4 = 1、双曲線。|sec t| ≥ 1 なので、曲線上のすべての点で |x| ≥ 3。

$\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{4} = 1, ∣ x ∣ \geq 3$

三つの関係式は、大きさの違う一つの三角形 🖖

√(1 − sin²θ) は cos θ ではない 🖖

sin θ = 3/5、第 II 象限を押してみましょう。相互関係から cos²θ = 1 − 0.36 = 0.64 となり、0.64 の平方根は二つあります。根号が表すのは正のほうなので、√(1 − sin²θ) は |cos θ| です。cos θ = √(1 − sin²θ) と書くと、第 II 象限と第 III 象限のすべての角で誤りになります。ここでは cos θ = −0.8 です。関係式が決めるのは大きさで、符号を決めるのは象限だけです。だから問題文は「θ は鈍角」のように、θ がどこにあるかを言わなければなりません。値を 0.6 のままにして I をクリックすると、θ は 36.8699° に移り、cos θ は +0.8 になります。III をクリックすると、ページは受けつけません。そこでは正弦が負だからです。

90° の近くでは、sec θ と tan θ は巨大でほとんど等しい 🖖

θ = 89°を押してみましょう。tan θ = 57.29、sec θ = 57.2987 で、差はわずか 0.0087 です。90° のすぐ近くで二つが離れられないのは、第二の関係式のためです。sec²θ − tan²θ = 1 と書いて因数分解すると (sec θ − tan θ)(sec θ + tan θ) = 1 となり、差はちょうど 1 を和で割ったもの、1/114.5887 ≈ 0.0087 です。θ を 90° に近づけると、和は限りなく大きくなり、差は 0 に向かって縮みます。90° ちょうどでは、どちらの関数も定義されません。この因数分解の形は、よく知られた証明の要でもあります。1/(sec θ − tan θ) = sec θ + tan θ が成り立つのは、分子と分母に sec θ + tan θ を掛けると分母が 1 になるからです。

学習の道すじ

三角関数の恒等式と方程式

参考文献 (2)

The reciprocal identities and the three Pythagorean identities, sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ and 1 + cot²θ = csc²θ (OpenStax lists the last two in the other order): J. Abramson, Precalculus 2e, OpenStax (2021), section 7.1, “Simplifying and Verifying Trigonometric Identities”.
Insight block 1: Fincke's Geometriae rotundi (1583) “introduces the terms ‘tangents’ and ‘secants’”: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Thomas Fincke”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 2012).

42Math チーム · 公表された資料と照合しています。訂正のご指摘を歓迎します。