Comprimento de onda de Broglie e ondas de matéria

Escolha uma partícula e a respetiva energia cinética ou, no caso de um eletrão ou protão, a tensão que a acelerou. Para a bola, indique a velocidade. A página calcula o comprimento de onda a partir do momento linear, tanto pelo método exato como pela fórmula dos manuais, e determina o ângulo com que a superfície de um cristal de níquel desviaria o feixe.

Exemplo resolvido — Comprimento de onda de Broglie e ondas de matéria

Energia de repouso	511,0 keV
Momento linear, na forma pc	7,429 keV
Comprimento de onda	0,1669 nm
Comprimento de onda pela fórmula não relativista	0,1669 nm
Excesso dessa fórmula	0,00264%
Velocidade como fração de c	0,01454

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Comprimento de onda de Broglie e ondas de matéria

Uma partícula em movimento tem um comprimento de onda associado, o comprimento de onda de de Broglie λ = h/p, em que p é seu momento e h é a constante de Planck. Assim, um feixe de partículas sofre difração numa rede cujo espaçamento seja comparável a λ, tal como acontece com a luz. Para uma partícula de massa m e energia cinética K, o momento é dado por pc = √(K² + 2K·mc²). Quando K é muito menor que a energia de repouso mc², essa expressão se reduz à conhecida fórmula p = √(2mK). Um elétron ou próton acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial de V volts tem K = eV.

O que significa cada símbolo

λ: o comprimento de onda de de Broglie da partícula
h: a constante de Planck, exatamente 6,62607015×10⁻³⁴ J·s
p: o momento da partícula; pc é a mesma grandeza expressa como energia
K: a energia cinética; para uma carga elementar acelerada por uma diferença de potencial de V volts, K = eV
mc²: a energia de repouso, 511,0 keV para um elétron e 938,3 MeV para um próton
d: o espaçamento entre as fileiras de átomos na face (111) do níquel, 0,2158 nm
φ: o ângulo entre o feixe incidente e o primeiro feixe difratado, obtido de sin φ = λ/d

Pressupõe: Todas as partículas do feixe têm a mesma energia, K = eV para uma carga acelerada a partir do repouso, medida fora do cristal. O feixe incide perpendicularmente sobre a superfície do níquel, tratada como fileiras de átomos separadas por 0,2158 nm que formam uma rede de reflexão; assim, apenas a camada superficial é considerada. O espaçamento do níquel é calculado a partir de seu parâmetro de rede, 0,352387 nm. Para a bola, adota-se a massa de 145 g, aproximadamente a de uma bola de beisebol.
Falha quando: Dentro do metal, o cristal atrai o elétron, que passa a se mover mais depressa que no exterior; por isso, seu comprimento de onda ali é menor. Em 1928, Davisson e Germer relataram que seus feixes não obedeciam à lei de Bragg nas camadas abaixo da superfície. Seguindo uma sugestão de Carl Eckart, atribuíram o desvio a essa refração. A fórmula das fileiras superficiais usada aqui não é afetada, pois a atração atua perpendicularmente à superfície e não altera o momento paralelo a ela. A fórmula vale para qualquer partícula, tenha ela carga ou não: em 1930, Immanuel Estermann e Otto Stern dirigiram feixes de átomos de hélio e moléculas de hidrogênio contra um cristal de fluoreto de lítio e observaram sua difração.

Um eletrão de 54 volts tem o tamanho da distância entre dois átomos 🖖

Clique em 54 V de Davisson e Germer. O comprimento de onda do elétron é 0,1669 nm. Na face (111) de um cristal de níquel, as fileiras de átomos estão separadas por 0,2158 nm; a superfície funciona, portanto, como uma rede de reflexão cujo espaçamento é apenas um pouco maior que o comprimento de onda. O primeiro feixe difratado emerge onde sin φ = λ/d, formando um ângulo de 50,66° com o feixe incidente. Em 1927, Clinton Davisson e Lester Germer, nos Bell Telephone Laboratories, em Nova York, lançaram elétrons acelerados por 54 V perpendicularmente contra uma face desse tipo e observaram um feixe intenso a 50°. O experimento começara como um estudo da dispersão de elétrons por metais e só se tornou um teste da ideia de de Broglie no verão de 1926. Clique em Quatro vezes a tensão: λ cai para quase a metade, 0,08344 nm, e o feixe se aproxima da direção incidente, passando a 22,75°. Abaixo de 32,30 V, o comprimento de onda é maior que o espaçamento entre as fileiras e não há qualquer feixe difratado. É o mesmo tipo de limite que a <a href="/phy/braggs-law">lei de Bragg</a> impõe aos raios X.

Um neutrão à temperatura ambiente já tem um comprimento de onda comparável ao de um cristal 🖖

Prima Neutrão térmico. A sua energia é 0,0253 eV, correspondente a kT a 20 °C: a energia típica de um neutrão que colidiu vezes suficientes com os átomos do moderador de um reator para atingir a mesma temperatura. Basta isso para obter um comprimento de onda de 0,1798 nm, maior do que o do eletrão de 54 V. Para igualá-lo, um eletrão precisa de 46,52 eV, ou seja, 1 839 vezes mais energia, precisamente a razão entre as duas massas. É o momento linear, não a energia, que determina o comprimento de onda. Para energias iguais, o momento linear é proporcional a √m, pelo que a partícula mais pesada tem a onda mais curta: na segunda tabela, um eletrão com os mesmos 0,0253 eV do neutrão tem 7,710 nm, um comprimento 42,9 vezes maior. Foi exatamente por esta razão que se fizeram passar neutrões lentos dos primeiros reatores de investigação através de cristais. Clifford Shull partilhou o Prémio Nobel da Física de 1994 pelo desenvolvimento da difração de neutrões.

A 100 kV, a fórmula dos manuais dá um valor 4,78% demasiado grande 🖖

Prima Microscópio: 100 kV. A fórmula ensinada na maioria dos cursos, λ = h/√(2meV), dá 3,878 pm. Contudo, o eletrão move-se a 0,548c, e o seu momento linear já não é √(2mK). Usando a expressão exata (pc)² = K² + 2K·mc², obtém-se um comprimento de onda de 3,701 pm; o valor dos manuais é 4,78% demasiado grande. A sequência abaixo mostra o crescimento do erro: 0,00264% a 54 V, 0,488% a 10 kV e 18,0% a 400 kV. A relatividade também invalida a regra 1/√V seguida pelas duas primeiras predefinições. Entre 100 kV e 400 kV, com a tensão multiplicada por quatro, λ desce de 3,701 para 1,644 pm, um fator de 2,25 em vez de 2. Quando K se torna uma fração apreciável da energia de repouso, 511 keV, o momento linear cresce mais depressa do que √K. No gráfico, a linha exata afasta-se da linha tracejada perto de mₑc² e torna-se mais inclinada, aproximando-se de λ ∝ 1/K.

Problema resolvido na íntegra

Um eletrão e um raio X com o mesmo comprimento de onda 5 passos
Os raios X Kα do cobre, com 0,154184 nm, são os usados para medir cristais pela lei de Bragg. Que tensão dá a um eletrão o mesmo comprimento de onda? Quanta energia transporta um fotão de raios X desse comprimento de onda? E como muda a comparação para ondas mais longas? Prima Davisson-Germer: 54 V para obter o ponto de partida.

Abrir este problema na ferramenta
1. A 54 V, a página apresenta o comprimento de onda do eletrão:
  
  $λ_{54 V} = 0.1669 nm$
2. Muito abaixo de mc², λ é proporcional a 1/√V; para obter a onda mais curta, a tensão varia com o quadrado da razão:
  
  $V = 54 V \times (\frac{0 . 16689 nm}{0 . 154184 nm})^{2} = 63.27 V$
3. A energia de um fotão é hc/λ, com hc = 1239,84 eV·nm:
  
  $E_{γ} = \frac{h c}{λ} = \frac{1239 . 84 eV nm}{0 . 154184 nm} = 8, 041 eV$
4. O fotão transporta 127 vezes a energia do eletrão:
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{8 , 041 eV}{63 . 27 eV} = 127.1$
5. Para um eletrão lento, K = h²/(2mλ²), enquanto a energia do fotão é hc/λ; a razão entre ambas é 2mcλ/h, isto é, duas vezes o comprimento de onda dividido pelo comprimento de onda de Compton do eletrão, h/mₑc = 2,4263 pm.
  
  $\frac{E _{γ}}{K} = \frac{h c / λ}{h ^{2} / ( 2 m _{e} λ ^{2} )} = \frac{2 λ}{h / ( m _{e} c )} = \frac{2 \times 154 . 184 pm}{2 . 4263 pm} = 127.1$
Resposta

Uma tensão de 63,27 V dá ao eletrão os 0,154184 nm da radiação Kα do cobre. Um fotão com esse comprimento de onda transporta 8 041 eV, ou 127,1 vezes mais energia. Como a razão é 2λ/λ_C, cresce proporcionalmente ao comprimento de onda. Nas escalas relevantes para os cristais, uma partícula com massa atinge esses comprimentos de onda com uma pequena fração da energia necessária à luz; quanto mais pesada for a partícula, menor será essa fração. É o caso do neutrão da terceira predefinição. A razão só se aproxima de 1 para comprimentos de onda muito menores do que λ_C, quando o eletrão é tão rápido que a sua energia, tal como a do fotão, é simplesmente pc.

$K = 63.27 eV, E_{γ} = 8, 041 eV, \frac{E _{γ}}{K} \approx \frac{2 λ}{λ _{C}}$

Percurso de aprendizagem

Mecânica quântica: a matéria como onda

Referências (4)

Davisson's own account of the experiment: a 54-volt beam aimed at the (111) face of a nickel crystal, how the work began as a study of electron scattering and became a test of de Broglie only in 1926, and the check of λ = h/p against λ = 12.25/√V Å for nineteen beams: C. J. Davisson, "The discovery of electron waves." Nobel Lecture, 13 December 1937.
Diffraction is not special to electrons: Stern's account of sending helium atoms and hydrogen molecules at a lithium fluoride crystal, and checking de Broglie's formula to about 2%: O. Stern, "The method of molecular rays." Nobel Lecture, 12 December 1946.
The 54 V, 50° peak itself, and its reading as Bragg reflection from planes inside the crystal: R. Nave, "Davisson-Germer Experiment." HyperPhysics, Department of Physics and Astronomy, Georgia State University.
Neutrons from a reactor, slowed to thermal speeds and reflected by a crystal because of their wave nature, as the basis of neutron diffraction: The Royal Swedish Academy of Sciences, "The Nobel Prize in Physics 1994." Press release, 12 October 1994.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.