Grenzwert-Explorer

Gib eine Funktion und eine Stelle a ein. Die Seite nähert x von beiden Seiten schrittweise an a an, mit jedem Schritt zehnmal näher, und liest ab, was f dabei tut: derselbe Wert von beiden Seiten, zwei verschiedene Werte, das Streben nach Unendlich oder gar kein Einpendeln.

Ein Grenzwert existiert, wenn beide Seiten auf denselben endlichen Wert zulaufen	$x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = L$
Stetig an der Stelle a	$x \to a lim f (x) = f (a)$
Der Grenzwert, auf dem die Ableitung des Sinus beruht	$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

Rechenbeispiel — Grenzwert-Explorer

Linksseitiger Grenzwert	1
Rechtsseitiger Grenzwert	1
Der Grenzwert	1
Der Wert an der Stelle a	nicht definiert
Typ	Hebbare Unstetigkeit

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Grenzwert-Explorer

lim f(x) = L für x → a bedeutet, dass f(x) dem Wert L beliebig nahe kommt, sobald x nahe genug an a liegt, mit x ≠ a. Der Funktionswert f(a) spielt dabei keine Rolle: Er kann fehlen oder einen ganz anderen Wert annehmen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

a: die Stelle, der sich x nähert
L: der Grenzwert
L⁻, L⁺: der links- und rechtsseitige Grenzwert, für x < a und x > a
h: Abstand zu a, bei dem die Seite f auswertet, von 10⁻¹ bis hinab zu 10⁻⁸

Woher die Formel kommt

Zuerst einsetzen. Wo f stetig ist, entspricht der Grenzwert dem Funktionswert. Polynome, sin, cos und eˣ sind überall stetig, und ein Quotient aus ihnen überall dort, wo der Nenner nicht 0 ist.
$x \to 2 lim (x^{2} + 1) = 2^{2} + 1 = 5$
0/0 bedeutet Rechenarbeit. Ein gemeinsamer Faktor (x − a) in Zähler und Nenner lässt sich kürzen, da der Grenzwert die Stelle x = a selbst nie betrachtet. Einen Wurzelterm beseitigt man durch Erweitern mit dem konjugierten Ausdruck.
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1) \Rightarrow x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2$
Beide Seiten ablesen. Stimmen sie nicht überein oder streben gegen Unendlich, gibt es keinen endlichen Grenzwert. Die Art dieses Verhaltens bestimmt die Unstetigkeitsstelle in der Übersicht am Ende der Seite.
$x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} = - 1 \neq = 1 = x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x}$
Einschnüren, was sich nicht kürzen lässt. Gilt g ≤ f ≤ h nahe a und teilen sich g und h denselben Grenzwert L, so nimmt auch f diesen Wert an. Auf dem Bogenmaß-Blatt beweist man so sin x / x → 1, und so kommt auch jede Oszillation in einer schrumpfenden Einhüllenden zur Ruhe.
$- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2} \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$

Jede Ableitung ist ein verkapptes 0/0 🖖

Die Steigung einer Kurve in einem Punkt entspräche (f(x+h) − f(x)) / h mit h gleich 0, und das ist 0/0, wo immer f definiert ist. Mit Division kommt man hier nicht weiter: 0/0 ist keine Zahl, und keine Rechenregel macht sie dazu. Ein Grenzwert umgeht die Hürde. Er fragt, wohin der Quotient strebt, wenn h kleiner wird, nicht, welchen Wert er bei h = 0 annimmt. Genau daraus bezieht die Tangente ihre Steigung. Die nächste Seite widmet sich diesem Grenzwert an jeder Stelle x.

Wenn die Wertetabelle trügt 🖖

Klick auf Falsch abgetastet. Die Seite tastet f bei x = a ± 10⁻ⁿ für n von 1 bis 8 ab. Bei sin(π/x) nahe 0 steht in jeder Zeile 0, da sin(10ⁿπ) = 0 für jeden ganzzahligen Exponenten ist. Die Seite meldet deshalb den Grenzwert 0. Zwischen diesen Abtastpunkten pendelt die Funktion jedoch unaufhörlich zwischen −1 und +1 hin und her, und der tatsächliche Grenzwert existiert nicht. Numerische Konvergenz ist ein Indiz, niemals ein Beweis.

GRENZWERT-THEORIE — WAS DER GRAPH TUT, WENN x GEGEN a GEHT

Welcher Grenzwertfall liegt bei dir vor?

Ein Grenzwert fragt, wohin f strebt, während x sich a nähert — nie, was f an der Stelle a tut. Lies zuerst die beiden einseitigen Grenzwerte ab: Stimmen sie überein, existiert der Grenzwert, und es bleibt nur die Frage, ob f(a) dazu passt. Stimmen sie nicht überein, benennt die Art der Abweichung den Fall — Sprung, Polstelle oder endloses Schwingen.

Hebbare Lücke — beide Seiten stimmen überein, f(a) fehlt L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

0/0 mit gemeinsamem Faktor — erst kürzen, dann urteilen 0/0 → ÷(x − a)

Sprung — die beiden Seiten widersprechen sich L⁻ ≠ L⁺

Polstelle — die Werte laufen aus der Skala f → ±∞ at x = a

Oszillation — die Werte kommen nie zur Ruhe ∄L, |f| ≤ 1

Hebbare Lücke — beide Seiten stimmen überein, f(a) fehlt

Was du weißt: Linker und rechter Grenzwert sind gleich und endlich, f(a) ist aber nicht definiert. Einsetzen von a liefert 0/0, und kein Faktor kürzt sich weg.

Test: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

Rechenbeispiel: f(x) = sin(x)/x bei a = 0 → f(0) ergibt 0/0, aber f(±0,001) = 0,99999983 → Grenzwert = 1

Diesen Fall öffnen: sinc sin(x)/x

Hebbare Lücke — beide Seiten stimmen überein, f(a) fehlt. Beide Äste zielen auf dieselbe Höhe; nur der Punkt selbst ist herausgestanzt. Linker und rechter Grenzwert sind gleich und endlich, f(a) ist aber nicht definiert. Einsetzen von a liefert 0/0, und kein Faktor kürzt sich weg. — Beide Äste zielen auf dieselbe Höhe; nur der Punkt selbst ist herausgestanzt.

0/0 mit gemeinsamem Faktor — erst kürzen, dann urteilen

Was du weißt: Einsetzen von a liefert 0/0, und Zähler und Nenner haben den Faktor (x − a) gemeinsam.

Test: 0/0 → ÷(x − a)

Rechenbeispiel: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) bei a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → Grenzwert = 2

Diesen Fall öffnen: 0/0 zum Kürzen

0/0 mit gemeinsamem Faktor — erst kürzen, dann urteilen. Nach dem Kürzen bleibt die Gerade y = x + 1 mit einem entfernten Punkt. Einsetzen von a liefert 0/0, und Zähler und Nenner haben den Faktor (x − a) gemeinsam. — Nach dem Kürzen bleibt die Gerade y = x + 1 mit einem entfernten Punkt.

Sprung — die beiden Seiten widersprechen sich

Was du weißt: Beide einseitigen Grenzwerte sind endlich, aber verschieden. Der Graph springt bei a von einem Niveau auf ein anderes.

Test: L⁻ ≠ L⁺

Rechenbeispiel: f(x) = |x|/x bei a = 0 → linker Grenzwert = −1, rechter Grenzwert = +1 → der Grenzwert existiert nicht

Diesen Fall öffnen: Sprung |x|/x

Sprung — die beiden Seiten widersprechen sich. Zwei waagerechte Äste auf verschiedenen Höhen: Die Seiten widersprechen sich. Beide einseitigen Grenzwerte sind endlich, aber verschieden. Der Graph springt bei a von einem Niveau auf ein anderes. — Zwei waagerechte Äste auf verschiedenen Höhen: Die Seiten widersprechen sich.

Polstelle — die Werte laufen aus der Skala

Was du weißt: Mindestens eine Seite wächst unbeschränkt. Einsetzen von a ergibt eine Zahl ungleich null geteilt durch null, also steht bei x = a eine senkrechte Asymptote.

Test: f → ±∞ at x = a

Rechenbeispiel: f(x) = 1/x bei a = 0 → von links → −∞, von rechts → +∞ → kein endlicher Grenzwert

Diesen Fall öffnen: Unendlich 1/x

Polstelle — die Werte laufen aus der Skala. Beide Äste fliehen entlang der senkrechten Asymptote x = a. Mindestens eine Seite wächst unbeschränkt. Einsetzen von a ergibt eine Zahl ungleich null geteilt durch null, also steht bei x = a eine senkrechte Asymptote. — Beide Äste fliehen entlang der senkrechten Asymptote x = a.

Oszillation — die Werte kommen nie zur Ruhe

Was du weißt: Die Funktion bleibt beschränkt, durchläuft denselben Bereich aber unendlich oft, egal wie nah an a du hinsiehst.

Test: ∄L, |f| ≤ 1

Rechenbeispiel: f(x) = sin(1/x) bei a = 0 → zwischen x = 0,001 und x = 0,002 durchläuft der Graph rund 80 volle Perioden und trifft jeden Wert in [−1, 1]

Diesen Fall öffnen: Oszillation sin(1/x)

Oszillation — die Werte kommen nie zur Ruhe. Das Schwingen wird schneller, nicht kleiner, wenn x gegen 0 geht. Die Funktion bleibt beschränkt, durchläuft denselben Bereich aber unendlich oft, egal wie nah an a du hinsiehst. — Das Schwingen wird schneller, nicht kleiner, wenn x gegen 0 geht.

Aufgaben vollständig gelöst

0/0 durch Faktorisieren 3 Schritte
Bestimme den Grenzwert von (x² − 9)/(x − 3) für x → 3.

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1. Zuerst einsetzen: Das ergibt 0/0, hier gibt es also Rechenarbeit:
  
  $\frac{3 ^{2} - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$
2. Der Zähler ist eine Differenz zweier Quadrate und teilt denselben Faktor mit dem Nenner. Kürze ihn; der Grenzwert betrachtet x = 3 selbst nie:
  
  $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3 (x \neq = 3)$
3. Der verbleibende Ausdruck ist bei 3 stetig. Also einsetzen:
  
  $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6$
Antwort

Der Grenzwert ist 6. Die Funktion selbst hat an der Stelle 3 keinen Wert, und die Seite zeigt beides: den Grenzwert 6 und den Funktionswert bei a als undefiniert.
0/0 mit einer Quadratwurzel 3 Schritte
Bestimme den Grenzwert von (√(x + 4) − 2)/x für x → 0.

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1. Einsetzen: wieder 0/0.
  
  $\frac{0 + 4 - 2}{0} = \frac{0}{0}$
2. Hier lässt sich nichts ausklammern. Erweitere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Term √(x + 4) + 2, wodurch im Zähler eine Differenz von Quadraten entsteht, und kürze das x:
  
  $\frac{x + 4 - 2}{x} \cdot \frac{x + 4 + 2}{x + 4 + 2} = \frac{( x + 4 ) - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$
3. Jetzt einsetzen:
  
  $x \to 0 lim \frac{1}{x + 4 + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Antwort

Der Grenzwert ist ¼. In der Tabelle nähert sich die linke Spalte dem Wert 0,25 von oben und die rechte Spalte von unten an.
sin 3x durch x 3 Schritte
Bestimme den Grenzwert von sin(3x)/x für x → 0.

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1. Für den Standardgrenzwert muss im Argument des Sinus und im Nenner derselbe Ausdruck stehen. Erweitere mit 3:
  
  $\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x}$
2. Geht x → 0, so geht auch u = 3x gegen 0, und der Standardgrenzwert gilt für u:
  
  $u = 3 x \to 0 : \frac{sin u}{u} \to 1$
3. Folglich:
  
  $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot 1 = 3$
Antwort

Der Grenzwert ist 3. Dasselbe Vorgehen liefert sin(kx)/x → k für jede von null verschiedene Konstante k.
1 − cos x über x² und eine Tabelle, die Ziffern verliert 3 Schritte
Bestimme den Grenzwert von (1 − cos x)/x² für x → 0 und erkläre, warum in der letzten Zeile der Tabelle 0 steht.

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1. Erweitere Zähler und Nenner mit 1 + cos x und nutze 1 − cos²x = sin²x:
  
  $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \cdot \frac{1 + cos x}{1 + cos x} = \frac{1 - cos ^{2} x}{x ^{2} ( 1 + cos x )} = \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + cos x}$
2. Jeder Faktor hat nun einen bekannten Grenzwert:
  
  $x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + cos x} = 1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
3. Bei x = 10⁻⁸ weicht cos x um 5 × 10⁻¹⁷ von 1 ab. Das ist weniger als der halbe Abstand zwischen 1 und der nächstkleineren darstellbaren Zahl. Der berechnete cos x ist daher exakt 1 und der Zähler exakt 0:
  
  $x = 1 0^{- 8} : cos x = 1 - 5 \times 1 0^{- 17} \Rightarrow fl (cos x) = 1, 1 - fl (cos x) = 0$
Antwort

Der Grenzwert ist ½. Die Tabelle hält 0,500000 bis hinab zu x = 10⁻⁵, driftet bei 10⁻⁶ und 10⁻⁷ ab und zeigt bei 10⁻⁸ schließlich 0. Die Seite liest ihren Schätzwert aus den stabilsten Zeilen ab, nicht aus der letzten, und gibt 0,5 aus.
Ein Sprung: Die Seiten weichen ab 2 Schritte
Bestimme die einseitigen Grenzwerte von |x − 2|/(x − 2) bei x = 2 und entscheide, ob der Grenzwert existiert.

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1. Löse den Betrag für beide Seiten von 2 getrennt auf:
  
  $x < 2 : ∣ x - 2∣ = - (x - 2) \Rightarrow \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = - 1; x > 2 : \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = 1$
2. Die beiden Seiten liefern unterschiedliche Werte:
  
  $x \to 2^{-} lim f (x) = - 1 \neq = 1 = x \to 2^{+} lim f (x)$
Antwort

Der linksseitige Grenzwert ist −1, der rechtsseitige ist 1, und der Grenzwert existiert nicht. Keine Wahl von f(2) kann das beheben: Hier liegt ein Sprung vor.
Ein uneigentlicher Grenzwert und einer, der nicht einmal das ist 3 Schritte
Beschreibe das Verhalten von 1/(x − 1)² für x → 1 und vergleiche es mit 1/(x − 1).

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1. Einsetzen liefert eine Zahl geteilt durch 0. Das ist kein endlicher Grenzwert; die Frage ist, wohin der Ausdruck strebt.
  
  $\frac{1}{( 1 - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{0}$
2. Das Quadrat ist beidseitig positiv und schrumpft gegen 0, der Bruch wächst also auf beiden Seiten; bei einem Abstand von 10⁻³ erreicht er bereits eine Million:
  
  $(x - 1)^{2} > 0 (x \neq = 1), x = 1 \pm 1 0^{- 3} : \frac{1}{1 0 ^{- 6}} = 1 0^{6}$
3. Beide Seiten streben gegen +∞, daher schreibt man den Grenzwert als +∞. Ohne das Quadrat wechselt x − 1 bei 1 das Vorzeichen, und die beiden Seiten laufen in entgegengesetzte Richtungen:
  
  $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty; x \to 1^{\mp} lim \frac{1}{x - 1} = \mp \infty$
Antwort

1/(x − 1)² → +∞ von beiden Seiten; 1/(x − 1) strebt links gegen −∞ und rechts gegen +∞ und besitzt nicht einmal in diesem Sinne einen Grenzwert. Keine der beiden Funktionen hat an der Stelle 1 einen Wert, keine ist dort stetig.
Der Einschnürungssatz 3 Schritte
Bestimme den Grenzwert von x² sin(1/x) für x → 0.

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1. sin(1/x) oszilliert nahe 0 unaufhörlich und hat keinen Grenzwert. Der Grenzwert des Produkts lässt sich daher nicht als Produkt der Grenzwerte berechnen. Aber der Sinus ist beschränkt:
  
  $- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1 (x \neq = 0)$
2. Multipliziere mit x², das stets größer oder gleich null ist:
  
  $- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2}$
3. Beide Schranken streben gegen 0, die dazwischen liegende Funktion tut es ebenfalls:
  
  $x \to 0 lim (- x^{2}) = x \to 0 lim x^{2} = 0 \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$
Antwort

Der Grenzwert ist 0. Das Oszillieren bleibt – unendlich schnell –, aber gefangen in einer Hüllkurve, die sich bei 0 schließt.
Eine Konstante für Stetigkeit bestimmen 2 Schritte
f(x) = kx + 1 für x < 2 und f(x) = x² für x ≥ 2. Bestimme k so, dass f bei 2 stetig ist.
Lösung anzeigen
1. Stetigkeit bei 2 erfordert, dass beide einseitigen Grenzwerte gleich f(2) sind. Der Grenzwert von rechts und der Funktionswert betragen jeweils 4:
  
  $x \to 2^{-} lim (k x + 1) = 2 k + 1, x \to 2^{+} lim x^{2} = 4 = f (2)$
2. Setze den linksseitigen Grenzwert damit gleich:
  
  $2 k + 1 = 4 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
Antwort

k = 3/2. Für jedes andere k hat der Graph bei 2 einen Sprung.
Ein Grenzwert im Unendlichen 2 Schritte
Bestimme den Grenzwert von (3x² + 1)/(2x² − x) für x → ∞.
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1. Teile Zähler und Nenner durch die höchste Potenz im Nenner, also x²:
  
  $\frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3 + \frac{1}{x ^{2}}}{2 - \frac{1}{x}}$
2. Jeder Summand mit x im Nenner strebt gegen 0:
  
  $\frac{1}{x} \to 0, \frac{1}{x ^{2}} \to 0 \Rightarrow x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3}{2}$
Antwort

Der Grenzwert ist 3/2, das Verhältnis der Leitkoeffizienten. Der Graph hat die waagerechte Asymptote y = 3/2.
Beweis von sin x / x → 1 mit einem δ für jedes ε 5 Schritte
Beweise sin x / x → 1, indem du zu jedem ε ein passendes δ angibst, und sage die beiden brauchbaren Tabellenzeilen voraus, bevor du sie abliest. Es geht um f(x) = sin(x)/x mit x → 0.

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1. Die Sinusreihe durch x zu teilen, ist für jedes x ≠ 0 legitim – und nur darum geht es bei einem Grenzwert. Das Ergebnis enthält ausschließlich gerade Potenzen von x. Deshalb zeigen die linke und die rechte Tabellenspalte in jeder Zeile identische Ziffern.
  
  $\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120} - \dots$
2. Zwei Glieder genügen hier: Das Glied mit x⁴ liegt bereits bei 8,33 × 10⁻⁷, zu klein, um die sechste Nachkommastelle zu beeinflussen.
  
  $x = \pm 0.1 : 1 - \frac{1 0 ^{- 2}}{6} + \frac{1 0 ^{- 4}}{120} - \dots = 1 - 1.666667 \times 1 0^{- 3} + 8.33 \times 1 0^{- 7} = 0.998334$
3. Rückt man um den Faktor zehn näher heran, schrumpft der Abstand zu 1 um das Hundertfache. Die Annäherung erfolgt quadratisch in x. Das ist eine weit stärkere Aussage als nur “der Grenzwert ist 1”, und die beiden Zeilen der Tabelle genügen bereits, um sie zu belegen.
  
  $x = \pm 0.01 : 0.999983, \frac{1 - f ( 0.1 )}{1 - f ( 0.01 )} = \frac{1.665834 \times 1 0 ^{- 3}}{1.666658 \times 1 0 ^{- 5}} = 99.95$
4. Ein numerischer Hinweis ist kein Beweis, daher schätzen wir das gesamte Restglied auf einmal ab. Für |x| ≤ 1 ist die Reihe alternierend mit fallenden Gliedern. Alles nach der 1 ist dem Betrag nach kleiner als das erste weggelassene Glied, und das ist x²/6. Dreht man die Ungleichung um, wird δ zu einer Formel statt zu einem Suchspiel.
  
  $\frac{sin x}{x} - 1 \leq \frac{x ^{2}}{6} (∣ x ∣ \leq 1) ⟹ δ (ε) = 6 ε (ε \leq \frac{1}{6})$
5. Hier sieht man den Preis der Quadratwurzel: Verschärft man ε um den Faktor eine Million, gewinnt man für x lediglich einen Faktor tausend.
  
  $ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 3}; ε = 1 0^{- 12} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 6}$
Antwort

Die Tabelle zeigt 0,998334 bei x = 0,1 und 0,999983 bei x = 0,01. Beide Werte standen hier bereits aus vier Gliedern einer Reihe fest, noch ehe die Tabelle aufgeschlagen wurde. Was δ = √(6ε) hinzufügt, ist Gewissheit: Gib eine beliebige Fehlertoleranz vor, und das passende x ist nur eine Wurzeloperation entfernt. Kein noch so tiefes Hineinzoomen hält Überraschungen bereit. Das erklärt auch, warum der Tabelle irgendwann der Atem ausgeht: Ihre Zeilen teilen x durch zehn, während der Abstand um das Hundertfache fällt. Ab der dritten Zeile liegt diese Differenz bei 1,6667 × 10⁻⁷ – unter einer halben Einheit der sechsten Nachkommastelle. Diese Zeile und die fünf darunter zeigen daher allesamt 1,000000 an, obwohl der tatsächliche Funktionswert bei x = 0,001 genau 0,99999983 beträgt. Verwirf den Rest nicht: Teilt man den Wert 1,665834 × 10⁻³ der ersten Zeile durch 0,01, erhält man 0,16658, also 1/6. Unter dem berühmten Grenzwert liegt ein zweiter verborgen, und die Reihe hat ihn bereits angekündigt.

$δ (ε) = 6 ε, x \to 0 lim \frac{1 - \frac{s i n x}{x}}{x ^{2}} = \frac{1}{6}$

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Quellen (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.