Explorador de límites

Introduce una función y un punto a. La página acerca x a a por ambos lados, reduciendo diez veces la distancia en cada paso, y muestra cómo se comporta f: puede tender al mismo valor por ambos lados, acercarse a valores distintos, crecer sin límite u oscilar sin llegar a ningún valor.

El límite existe cuando por ambos lados se llega al mismo valor finito	$x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a^{-} lim f (x) = x \to a^{+} lim f (x) = L$
Continua en a	$x \to a lim f (x) = f (a)$
El límite en que se apoya la derivada del seno	$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

Ejemplo resuelto — Explorador de límites

Límite por la izquierda	1
Límite por la derecha	1
El límite	1
El valor en a	indefinido
Tipo	Discontinuidad evitable

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de límites

lim f(x) = L cuando x → a significa que puedes conseguir que f(x) esté tan cerca de L como quieras tomando x suficientemente cerca de a, con x ≠ a. El valor f(a) no interviene: puede no existir o ser distinto de L.

Qué significa cada símbolo

a: el punto al que se acerca x
L: el límite
L⁻, L⁺: los límites por la izquierda y por la derecha, con x < a y x > a
h: la distancia a a de los puntos donde la página evalúa f, desde 10⁻¹ hasta 10⁻⁸

De dónde viene la fórmula

Empieza por sustituir. Si f es continua, el límite coincide con su valor. Los polinomios, sin, cos y eˣ son continuos en todos los puntos; sus cocientes lo son donde el denominador no vale 0.
$x \to 2 lim (x^{2} + 1) = 2^{2} + 1 = 5$
Si obtienes 0/0, hay que seguir. Puedes simplificar un factor (x − a) común al numerador y al denominador, porque el límite no depende de lo que ocurra en x = a. Si hay una diferencia con una raíz, multiplica por su conjugado para racionalizar.
$\frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x - 1} = x + 1 (x \neq = 1) \Rightarrow x \to 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x - 1} = 2$
Examina ambos lados. Si los límites laterales son distintos o alguno es infinito, no hay límite finito. La forma en que esto ocurre permite clasificar la discontinuidad en la guía al pie de la página.
$x \to 0^{-} lim \frac{∣ x ∣}{x} = - 1 \neq = 1 = x \to 0^{+} lim \frac{∣ x ∣}{x}$
Acota lo que no puedas simplificar. Si g ≤ f ≤ h cerca de a, y g y h tienen el mismo límite L, entonces f también tiende a L. En la página sobre radianes se demuestra así que sin x / x → 1. Este mismo argumento permite ver cómo desaparece una oscilación cuando las cotas que la encierran se estrechan.
$- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2} \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$

Toda derivada es un 0/0 disfrazado 🖖

Para hallar la pendiente de una curva en un punto, querríamos poner h = 0 en (f(x+h) − f(x)) / h. Pero eso da 0/0 en cualquier punto donde f esté definida. La división no resuelve la cuestión: 0/0 no es un número, y ninguna manipulación algebraica puede convertirlo en uno. El límite permite avanzar. Busca a qué valor se acerca el cociente cuando h tiende a cero, sin llegar a ser cero. Ese valor es la pendiente de la recta tangente. En la página siguiente se calcula este límite para cada x.

Cuando la tabla numérica engaña 🖖

Pulsa Muestreo mal elegido. La página evalúa f en x = a ± 10⁻ⁿ para n de 1 a 8. Con sin(π/x) cerca de 0, todas las filas dan 0, porque sin(10ⁿπ) = 0 cuando el exponente es entero. Por eso la página indica un límite de 0. Entre esos puntos, la función sigue oscilando entre −1 y +1 indefinidamente, y el límite no existe. La convergencia numérica ofrece una pista; nunca constituye una demostración.

TEORÍA DE LÍMITES — QUÉ HACE LA GRÁFICA CUANDO x SE ACERCA A a

¿En qué caso de límite estás?

Un límite pregunta hacia dónde va f cuando x se acerca a a, nunca qué hace f en a. Lee primero los dos límites laterales: si coinciden, el límite existe y solo queda ver si f(a) encaja. Si no coinciden, la forma del desacuerdo nombra el caso — un salto, una explosión o un vaivén interminable.

Hueco evitable — ambos lados coinciden y falta f(a) L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

0/0 que se cancela — factoriza antes de concluir 0/0 → ÷(x − a)

Salto — los dos lados no coinciden L⁻ ≠ L⁺

Infinito — los valores se salen de la escala f → ±∞ at x = a

Oscilación — los valores nunca se asientan ∄L, |f| ≤ 1

Hueco evitable — ambos lados coinciden y falta f(a)

Qué sabes: Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y finitos, pero f(a) no está definida. Sustituir a da 0/0 y ningún factor se cancela.

Prueba: L⁻ = L⁺ ≠ f(a)

Ejemplo resuelto: f(x) = sin(x)/x en a = 0 → f(0) da 0/0, pero f(±0,001) = 0,99999983 → límite = 1

Abrir este caso: sinc sin(x)/x

Hueco evitable — ambos lados coinciden y falta f(a). Las dos ramas apuntan a la misma altura; solo se ha perforado el punto. Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales y finitos, pero f(a) no está definida. Sustituir a da 0/0 y ningún factor se cancela. — Las dos ramas apuntan a la misma altura; solo se ha perforado el punto.

0/0 que se cancela — factoriza antes de concluir

Qué sabes: Sustituir a da 0/0, y el numerador y el denominador comparten el factor (x − a).

Prueba: 0/0 → ÷(x − a)

Ejemplo resuelto: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) en a = 1 → (x − 1)(x + 1)/(x − 1) = x + 1 → límite = 2

Abrir este caso: 0/0 simplificable

0/0 que se cancela — factoriza antes de concluir. Tras cancelar, la gráfica es la recta y = x + 1 con un punto quitado. Sustituir a da 0/0, y el numerador y el denominador comparten el factor (x − a). — Tras cancelar, la gráfica es la recta y = x + 1 con un punto quitado.

Salto — los dos lados no coinciden

Qué sabes: Ambos límites laterales son finitos, pero son números distintos. La gráfica pasa de un nivel a otro en a.

Prueba: L⁻ ≠ L⁺

Ejemplo resuelto: f(x) = |x|/x en a = 0 → límite por la izquierda = −1, por la derecha = +1 → el límite no existe

Abrir este caso: Salto |x|/x

Salto — los dos lados no coinciden. Dos ramas planas a distinta altura: los lados discrepan, no hay un único límite. Ambos límites laterales son finitos, pero son números distintos. La gráfica pasa de un nivel a otro en a. — Dos ramas planas a distinta altura: los lados discrepan, no hay un único límite.

Infinito — los valores se salen de la escala

Qué sabes: Al menos un lado crece sin cota. Sustituir a da un número no nulo dividido por cero, así que hay una asíntota vertical en x = a.

Prueba: f → ±∞ at x = a

Ejemplo resuelto: f(x) = 1/x en a = 0 → por la izquierda → −∞ y por la derecha → +∞ → no hay límite finito

Abrir este caso: Infinito 1/x

Infinito — los valores se salen de la escala. Las dos ramas huyen a lo largo de la asíntota vertical x = a. Al menos un lado crece sin cota. Sustituir a da un número no nulo dividido por cero, así que hay una asíntota vertical en x = a. — Las dos ramas huyen a lo largo de la asíntota vertical x = a.

Oscilación — los valores nunca se asientan

Qué sabes: La función sigue acotada, pero recorre el mismo rango infinitas veces por cerca de a que mires.

Prueba: ∄L, |f| ≤ 1

Ejemplo resuelto: f(x) = sin(1/x) en a = 0 → entre x = 0,001 y x = 0,002 la gráfica completa unos 80 ciclos y toca todos los valores de [−1, 1]

Abrir este caso: Oscilación sin(1/x)

Oscilación — los valores nunca se asientan. El vaivén se acelera, no se reduce, cuando x se acerca a 0. La función sigue acotada, pero recorre el mismo rango infinitas veces por cerca de a que mires. — El vaivén se acelera, no se reduce, cuando x se acerca a 0.

Problemas resueltos al detalle

0/0 y factorización 3 pasos
Calcula el límite de (x² − 9)/(x − 3) cuando x → 3.

Abre este problema en la herramienta
1. Empieza por sustituir. Obtienes 0/0, así que hay que seguir:
  
  $\frac{3 ^{2} - 9}{3 - 3} = \frac{0}{0}$
2. El numerador es una diferencia de cuadrados y tiene un factor común con el denominador. Simplifícalo; para calcular el límite no necesitas evaluar en x = 3:
  
  $\frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = \frac{( x - 3 ) ( x + 3 )}{x - 3} = x + 3 (x \neq = 3)$
3. La expresión que queda es continua en 3. Ahora puedes sustituir:
  
  $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 9}{x - 3} = x \to 3 lim (x + 3) = 6$
Respuesta

El límite es 6. La función no está definida en 3. La página muestra ambas cosas: el límite es 6 y el valor en a no está definido.
0/0 con una raíz cuadrada 3 pasos
Calcula el límite de (√(x + 4) − 2)/x cuando x → 0.

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1. Sustituye: otra vez 0/0.
  
  $\frac{0 + 4 - 2}{0} = \frac{0}{0}$
2. Aquí no puedes factorizar directamente. Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado √(x + 4) + 2. En el numerador obtienes una diferencia de cuadrados y puedes simplificar la x:
  
  $\frac{x + 4 - 2}{x} \cdot \frac{x + 4 + 2}{x + 4 + 2} = \frac{( x + 4 ) - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$
3. Ahora sustituye:
  
  $x \to 0 lim \frac{1}{x + 4 + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$
Respuesta

El límite es ¼. En la página, la columna izquierda se acerca a 0,25 por valores superiores y la derecha por valores inferiores.
sin 3x dividido entre x 3 pasos
Calcula el límite de sin(3x)/x cuando x → 0.

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1. Para aplicar el límite conocido, el argumento del seno debe coincidir con el denominador. Multiplica y divide por 3:
  
  $\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x}$
2. Cuando x → 0, también u = 3x tiende a 0, y puedes aplicar el límite conocido a u:
  
  $u = 3 x \to 0 : \frac{sin u}{u} \to 1$
3. Por tanto:
  
  $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot 1 = 3$
Respuesta

El límite es 3. El mismo procedimiento da sin(kx)/x → k para cualquier constante k distinta de cero.
1 − cos x dividido entre x² y una tabla que pierde precisión 3 pasos
Calcula el límite de (1 − cos x)/x² cuando x → 0 y explica por qué la última fila de la tabla da 0.

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1. Multiplica el numerador y el denominador por 1 + cos x y aplica la identidad 1 − cos²x = sin²x:
  
  $\frac{1 - cos x}{x ^{2}} \cdot \frac{1 + cos x}{1 + cos x} = \frac{1 - cos ^{2} x}{x ^{2} ( 1 + cos x )} = \frac{sin ^{2} x}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{1 + cos x}$
2. Ahora conoces el límite de cada factor:
  
  $x \to 0 lim (\frac{sin x}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + cos x} = 1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
3. En x = 10⁻⁸, cos x difiere de 1 en 5 × 10⁻¹⁷. Esa diferencia es menor que la mitad de la distancia entre 1 y el número inmediatamente inferior que puede almacenar un ordenador. Por eso el cálculo de cos x da exactamente 1 y el numerador queda en 0:
  
  $x = 1 0^{- 8} : cos x = 1 - 5 \times 1 0^{- 17} \Rightarrow fl (cos x) = 1, 1 - fl (cos x) = 0$
Respuesta

El límite es ½. La tabla mantiene 0,500000 hasta x = 10⁻⁵, se desvía en 10⁻⁶ y 10⁻⁷, y da 0 en 10⁻⁸. La página toma la estimación de las filas más estables, en lugar de la última, y muestra 0,5.
Un salto: límites laterales distintos 2 pasos
Calcula los límites laterales de |x − 2|/(x − 2) en x = 2 y decide si existe el límite.

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1. Escribe la expresión sin valor absoluto a cada lado de 2 por separado:
  
  $x < 2 : ∣ x - 2∣ = - (x - 2) \Rightarrow \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = - 1; x > 2 : \frac{∣ x - 2∣}{x - 2} = 1$
2. Obtienes un valor distinto por cada lado:
  
  $x \to 2^{-} lim f (x) = - 1 \neq = 1 = x \to 2^{+} lim f (x)$
Respuesta

El límite por la izquierda es −1, el límite por la derecha es 1 y el límite no existe. Ningún valor que asignes a f(2) puede corregirlo: hay una discontinuidad de salto.
Un límite infinito y otro que tampoco existe en ese sentido 3 pasos
Describe cómo se comporta 1/(x − 1)² cuando x → 1 y compáralo con 1/(x − 1).

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1. Sustituye: obtienes un número dividido entre 0. No hay límite finito; queda por averiguar hacia dónde crece la función.
  
  $\frac{1}{( 1 - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{0}$
2. El cuadrado es positivo por ambos lados y tiende a 0, así que la fracción crece por ambos lados. A una distancia de 10⁻³ ya alcanza el millón:
  
  $(x - 1)^{2} > 0 (x \neq = 1), x = 1 \pm 1 0^{- 3} : \frac{1}{1 0 ^{- 6}} = 1 0^{6}$
3. Por ambos lados se tiende a +∞, así que el límite se escribe +∞. Sin el cuadrado, x − 1 cambia de signo en 1 y los valores crecen en sentidos opuestos:
  
  $x \to 1 lim \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty; x \to 1^{\mp} lim \frac{1}{x - 1} = \mp \infty$
Respuesta

1/(x − 1)² → +∞ por ambos lados; 1/(x − 1) tiende a −∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha, y no tiene límite ni siquiera en ese sentido. Ninguna de las funciones está definida en 1, así que ninguna es continua en ese punto.
El teorema del encaje 3 pasos
Calcula el límite de x² sin(1/x) cuando x → 0.

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1. sin(1/x) oscila indefinidamente cerca de 0 y no tiene límite, así que no puedes calcular el límite del producto multiplicando los límites. Pero el seno está acotado:
  
  $- 1 \leq sin \frac{1}{x} \leq 1 (x \neq = 0)$
2. Multiplica toda la desigualdad por x², que nunca es negativo:
  
  $- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2}$
3. Ambas cotas tienden a 0. Por el teorema del encaje, la función que queda entre ellas también:
  
  $x \to 0 lim (- x^{2}) = x \to 0 lim x^{2} = 0 \Rightarrow x \to 0 lim x^{2} sin \frac{1}{x} = 0$
Respuesta

El límite es 0. La oscilación sigue siendo cada vez más rápida, pero queda encerrada entre unas cotas que se acercan a 0.
Elegir una constante para que una función sea continua 2 pasos
f(x) = kx + 1 si x < 2 y f(x) = x² si x ≥ 2. Halla k para que f sea continua en 2.
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1. Para que haya continuidad en 2, ambos límites laterales deben coincidir con f(2). Tanto el límite por la derecha como el valor de la función son 4:
  
  $x \to 2^{-} lim (k x + 1) = 2 k + 1, x \to 2^{+} lim x^{2} = 4 = f (2)$
2. Iguala el límite por la izquierda a ese valor:
  
  $2 k + 1 = 4 \Rightarrow k = \frac{3}{2}$
Respuesta

k = 3/2. Para cualquier otro valor de k, la gráfica presenta un salto en 2.
Un límite en el infinito 2 pasos
Calcula el límite de (3x² + 1)/(2x² − x) cuando x → ∞.
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1. Divide el numerador y el denominador por la mayor potencia de x del denominador, x²:
  
  $\frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3 + \frac{1}{x ^{2}}}{2 - \frac{1}{x}}$
2. Todos los términos con x en el denominador tienden a 0:
  
  $\frac{1}{x} \to 0, \frac{1}{x ^{2}} \to 0 \Rightarrow x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} + 1}{2 x ^{2} - x} = \frac{3}{2}$
Respuesta

El límite es 3/2, el cociente de los coeficientes principales. La gráfica tiene una asíntota horizontal en y = 3/2.
Demostrar que sin x / x → 1 con un δ para cada ε 5 pasos
Demuestra que sin x / x → 1 encontrando un δ para cada ε y predice las dos filas útiles de la tabla antes de consultarlas. Trabaja con f(x) = sin(x)/x cuando x → 0.

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1. Puedes dividir la serie del seno entre x siempre que x ≠ 0, que es precisamente donde se estudia el límite. La expresión resultante solo contiene potencias pares de x. Por eso las columnas izquierda y derecha de la tabla muestran exactamente las mismas cifras en cada fila.
  
  $\frac{sin x}{x} = \frac{1}{x} (x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots) = 1 - \frac{x ^{2}}{6} + \frac{x ^{4}}{120} - \dots$
2. Aquí bastan dos términos: el término en x⁴ ya es de 8,33 × 10⁻⁷, demasiado pequeño para afectar al sexto decimal.
  
  $x = \pm 0.1 : 1 - \frac{1 0 ^{- 2}}{6} + \frac{1 0 ^{- 4}}{120} - \dots = 1 - 1.666667 \times 1 0^{- 3} + 8.33 \times 1 0^{- 7} = 0.998334$
3. Si divides la distancia a 0 entre diez, la diferencia respecto a 1 se divide entre cien. La aproximación es cuadrática en x, una afirmación mucho más precisa que «el límite es 1». Las dos filas de la propia tabla bastan para reconocer ese comportamiento.
  
  $x = \pm 0.01 : 0.999983, \frac{1 - f ( 0.1 )}{1 - f ( 0.01 )} = \frac{1.665834 \times 1 0 ^{- 3}}{1.666658 \times 1 0 ^{- 5}} = 99.95$
4. Los datos no constituyen una demostración: necesitas acotar todo el resto de la serie. Para |x| ≤ 1, la serie es alternada y sus términos decrecen en valor absoluto. Por eso la suma de todos los términos posteriores al 1 tiene un valor absoluto menor que el primer término omitido, x²/6. Despeja |x| en la desigualdad y obtendrás una fórmula para δ sin tener que buscarlo por tanteo.
  
  $\frac{sin x}{x} - 1 \leq \frac{x ^{2}}{6} (∣ x ∣ \leq 1) ⟹ δ (ε) = 6 ε (ε \leq \frac{1}{6})$
5. Fíjate en lo que implica la raíz cuadrada. Para reducir ε un millón de veces, basta reducir mil veces la distancia de x a 0.
  
  $ε = 1 0^{- 6} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 3}; ε = 1 0^{- 12} \Rightarrow δ = 2.449 \times 1 0^{- 6}$
Respuesta

La tabla muestra 0,998334 en x = 0,1 y 0,999983 en x = 0,01. Aquí hemos obtenido ambos valores con cuatro términos de la serie antes de consultar el panel. La fórmula δ = √(6ε) aporta una garantía: para cualquier tolerancia que elijas, una raíz cuadrada te da la distancia que asegura cumplirla. Por mucho que sigas acercándote, no habrá sorpresas. La fórmula también explica por qué la tabla deja de aportar información. En cada fila, x se divide entre diez y la diferencia respecto a 1 entre cien. En la tercera fila, esa diferencia ya es de 1,6667 × 10⁻⁷, menos de media unidad del sexto decimal. Esa fila y las cinco siguientes muestran 1,000000, aunque el valor en x = 0,001 es 0,99999983. Conserva esa diferencia en lugar de descartarla: divide la de la primera fila, 1,665834 × 10⁻³, entre 0,01 y obtendrás 0,16658, una aproximación a 1/6. Bajo este límite tan conocido aparece otro, cuyo valor ya anunciaba la serie.

$δ (ε) = 6 ε, x \to 0 lim \frac{1 - \frac{s i n x}{x}}{x ^{2}} = \frac{1}{6}$

Ruta de aprendizaje

Por qué todo se ve recto de cerca

Referencias (1)

When “heading towards” stopped being a way of speaking and became something you can check: J. V. Grabiner, "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus", in Who Gave You the Epsilon? And Other Tales of Mathematical History, 5–13. Mathematical Association of America, 2009.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.